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普通高等学校招生全国统一考试
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科预测试题(江西卷)
(满分150分,考试时间120分)
第I卷
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1•设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x—y=3},则满足M?
(AAB)的集合M的个数是()
C.2D.3
解析:
选C由题中集合可知,集合A表示直线x+y=1上的点,集合B表示直线x—
r
x+y—1
y=3上的点,联立F'可得AAB—{(2,—1)},M为AAB的子集,可知M可能为
lx—y—3
{(2,—1)},?
,所以满足M?
(AAB)的集合M的个数是2,故选C.
A.m>1,且n<1
C.m>0,且n<0
解析:
选B因为y——mx+1经过第
nn
=2X
C.2D.4
解析:
选A输入一1,满足xw0,所以f(—1)—4X(—1)——4;输入2,不满足x<0,所以f
(2)—22—4,
即f(—1)+f
(2)—0•故选A.
3.—次函数y=—m^x+n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()
B.mn<0
D.m<0,且*0
三、四象限,故—m>0,'<0,即m>0,n<0,
n'n'''
4•某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:
中学
A
B
C
D
人数
30
40
20
10
为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四
所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查,则A,B,C,D四所中学,抽取学生数分别是多少名()
A.10,20,15,5B.15,20,10,5
C.10,15,20,5D.3,4,2,1
解析:
选B由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100,
5..(2015广州一模)任取实数a,b€[—1,1],贝Ua,b满足|a—2b|w2的概率为(
1
B.1
37
c・4D.8
解析:
选D如图所示,则事件|a—2b|w2所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区
域,易知直线a—2b=—2分别交直线a=—1与y轴于点E—1,1,F(0,1).
所以|BE|=2,|BF|=1.
1111
所以sabef=2be||bf|=2x2x1=4,
易得△DHGBABEF.
P==霁7X1=
S四边形ABCD224
6•若命题“?
xo€R,x0+(a—1)x°+1v0”是真命题,则实数a的取值范围是(
A•[—1,3]B.(-1,3)
C.(—s,—1]U[3,+s)D.(—s,—1)U(3,+s)
解析:
选D因为命题“?
x°€R,x0+(a—1)xo+1v0”等价于x2+(a—1风+1=0有两个不等的实根,所以△=(a—1)2—4>0,即卩a2—2a—3>0,解得av—1或a>3,故选D.
n
7•已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=3,b=2acosB,c=1,
则厶ABC的面积等于()
C.
D.
解析:
选B由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinn=3,又B€(0,
3
n,所以B=n又A=B=扌,则厶ABC是正三角形,所以&abc=*bcsinA=*x1x1X爭=
__3
才.
a—2<0,
于是有
|a—2X2<
由此解得a<
8
即实数a的取值范围是-S,7.
9.将进货单价为80元的商品按90元出售时,能卖出400个•若该商品每个涨价1元,
其销售量就减少20个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个()
B.105元
A.115元
解析:
选C设售价定为(90+x)元,卖出商品后获得利润为:
y=(90+x—80)(400—20x)=20(10+x)(20—x)=20(—x2+10x+200)=—20(x2—10x—200)=—20[(x—5)2—225],•••当x=5时,y取得最大值,即售价应定为:
90+5=95(元),选C.
2—1,xw0,
10.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)―若方程f(x)=x+a有两个不
f(x—1卜x>0,
同实根,贝Ua的取值范围为()
A.(―汽1)B.(―汽1]
C.(0,1)D.(—m,+m)
解析:
选Axw0时,
\:
J
1V—]
f(x)=2—x—1,
V
vcv
0 o 1231 —(X—1) f(x)=f(x—1)=2—1. 故x>0时,f(x)是周期函数, 如图所示. 若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同 交占 故a<1,即a的取值范围是(一g,1),故选A. 第n卷 二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分。 22 11.已知双曲线話=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆 与双曲线渐近线的一个交点是(4,3).则此双曲线的方程为. 22 解析: 卷—話=1由题意,c=-J42+32=5, •-a2+b2=c2=25.① 又双曲线的渐近线为y=±x,.・.b=3.②则由①②解得a=3,b=4,•双曲线方程 22 为匸x2=1. 12. O的球面上,则该圆 一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球锥的体积与球O的体积的比值为 解析: 设等边三角形的边长为2a,则V圆锥=1-n•3a=^na3;又R2=a2+(,3a—R)2, 33 13.在数列{a*}中,ai=1,an+2+(—1)nan=1,记Sn是数列{a*}的前n项和,则= 解析: 依题意得,当n是奇数时,an+2—an=1,即数列{a.}中的奇数项依次形成首项为 30x29 1、公差为1的等差数列,a1+a3+a5+-+859=30x1+盯x1=465;当n是偶数时, an+2+an=1,即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1,a2+a4+比+a8+…+a58+ a60=(a2+a4)+(a6+ag)+…+(a58+a6o)=15.因此,该数列的前60项和S6o=465+15=480. 答案: 480 z=OAOP=x+2y,显然在B(0,1)处Zmax=2. x 14.已知函数f(x)=X+2(X>0).如下定义一列函数: f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)= f(f2(X)),…,fn(x)=f(fn-1(X)),…,n€N*,那么由归纳推理可得函数fn(X)的解析式是fn(X)= X 3x+4xx f3(x)=x+2=7x+8=23—1X+23,…, 3x+4 x 由此归纟内可得fn(x)=2*_1x+2“(x>0). [答案] (1)12—22+32—42+-+(—1)n+1n2=(—1)n+1njn+± (2)2n—1Xx+2n(x>0) 三、选做题: 请在下列两题中任选一题作答。 若两题都做,则按第一题评阅计分。 本题 共5分15. (1)若|x—1|<1,|y—2|<1,则|x—2y+1|的最大值为. 解析: X—2y+1|=|(x—1)—2(y—2)—2|<|x—1|+2|y—2|+2=5. 答案: 5 222 2te2t2f1+1L2 =4—3X2=4—3x.又x=2= 1+t1+t1+t =2—备€[0,2),•••x€[0,2). •••所求的普通方程为3x+y—4=0(x€[0,2)). 答案: 3x+y—4=0(x€[0,2) 四、解答题: 本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.在厶ABC中,角A,B, C所对的边分别为a,b,c,cos2C+22cosC+2=0. (1)求角C的大小; 厂V2 ⑵若b=,2a,△ABC的面积为qsinAsinB,求sinA及c的值. 解: (1)•/cos2C+22cosC+2=0, •2cos2c+2.2cosC+1=0, 即^2cosC+1)2=0,「.cosC=-^2. ⑵•/c2=a2+b2—2abcosC=3a2+2a2=5a2, •c=5a,即sinC=5sinA,•sinA=15sinC=/)° ©1「亞 -Saabc=? absinC,且&ABc=ysinAsinB, 12 …2absinC=~sinAsinB, sinAsinBsinC=2,由正弦定理得: sinCsinC=2, 解得c=1. 16.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,a+1=an+6an-1(n》2). (1)求证: {an+1+2an}是等比数列; ⑵求数列{an}的通项公式. 解: (1)证明: .an+1=an+6an-1(n》2), •-an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n》2). 又a〔=5,a2=5, ••a? +2a〔15, --an+2an-1工0(n》2), •••数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由 (1)得an+1+2an=153=5X3, 则an+1=—2an+5x3n, •an+1—3"1=—2(an—3"). 又a1—3=2,•an—3丰0, •-{an—3n}是以2为首项,—2为公比的等比数列. •an—3n=2X(—2)n—1, 即an=2x(—2)n—1+3n(n€N*). 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC丄底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB丄AD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点. (1)求证: 平面EAC丄平面PBC; (2)若二面角P-AC-E的余弦值为-3,求直线FA与平面EAC所成角的正弦值. 解: (1)证明: TPC丄底面ABCD,•PC丄AC, •••底面ABCD是直角梯形,且AB=2AD=2CD=2, •AC=飞)2,BC=叮2. •AB2=AC2+BC2, •AC丄BC, •/PCnBC=C,.・.AC丄平面PBC, •/AC? 平面EAC, •平面EAC丄平面PBC. ⑵建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设PC=a,则A(0,0,0), (13a) C(1,1,0),E2,2,2,P(1,1,a),B(0,2,0). —13a— •AC=(1,1,0),AE=2,2,2,AP=(1,1,a),BC=(1,— 1,0). 设平面EAC的法向量为v=(x,y,z), 则v=“,—1,2], •/BC丄平面PAC, •••平面PAC的一个法向量为u=BC=(1,-1,0), 设二面角P-AC-E的大小0, 2 1x1+—1x—1+0x- 2x2+ a 解得a=2, •直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 —v•AP1x1+1X—1+2X12 cos〈v,AP>==;=—. |v||AP|V3XJ63 19.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示: 全市100000名男生的身高服从正 态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生 身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组: 第1组[160,164), 第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; ⑵求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数; ⑶在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X,求X的数学期望. 参考数据: 若X〜N((1,(T),贝U P(1一o P(i-2( P(i-3( 解: (1)由频率分布直方图,经过计算得该校高三年级男生平均身高为162X100+ 78221 166x而+170x云+174x而+178x而+182x忒4=16872, 高于全市的平均值168. (2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)X4=0.2,人数为0.2X50= 10,即这50名男生身高在172cm以上洽172cm)的人数为10. (3)•/P(168—3X4 •••P(X>180)=1—缪974=0.0013, 0.0013X100000=130. •全市前130名的身高在180cm以上,这50人中180cm以上的有2人. 随机变量X可取0,1,2,于是 C828»八加16 P(X=0)=C20=45,P(X=1)^^=45, 2 20.已知椭圆方程为2+x2=1,斜率为k(kz0)的直线I过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m). (1)求m的取值范围; ⑵求△MPQ面积的最大值. 解: (1)设直线l的方程为y=kx+1, y=kx+1, I22 由v22可得(k2+2)x2+2kx—1=0. y2+x=1, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), —2k1 贝UX1+X2=2丄,X1x2=—2丄。 . k十2k十2 设线段PQ的中点为N,则点N的坐标为k—+k2,皋, \k+2k+2丿 11 可得m=d,又kz0,所以0 k+22 故m的取值范围为0,f. 21 (2)设椭圆的焦点为F,由 (1)可得k=m—2, 小1 则S^mpq=2|FM||x1—X2| 12 =尹-mI寸(Xi+x22—4X! X2 122k2+1 =1|1—m|k =2m1—m3, 所以△MPQ的面积为2m1—m ^[0 设f(m)=m(1—m)3,贝Uf'(m)=(1—m)2(1—4m). 所以,当m=中时,f(m)有最大值f£=256. 即当m=丁时,△MPQ的面积有最大值穿^6. 21已知f(x)=eX(x3+mx2—2x+2). (1)假设m=—2,求f(x)的极大值与极小值; m的取值范围;如 ⑵是否存在实数m,使f(x)在[—2,—1]上单调递增? 如果存在,求 果不存在,请说明理由. 解: (1)当m=—2时, f(x)=ex(x3—2x2—2x+2),其定义域为(—°°,+°°). 则f'(x)=ex(x3—2x2—2x+2)+ex(3x2—4x—2) =xex(x2+x—6) =(x+3)x(x—2)ex, •••当x€(—^,—3)或x€(0,2)时,f'(x)<0; 当x€(—3,0)或x€(2,+^)时,f'(x)>0; f'(—3)=f'(0)=f' (2)=0, •f(x)在(—a,—3)上单调递减,在(—3,0)上单调递增;在(0,2)上单调递减,在(2,+a)上单调递增, •••当x=—3或x=2时,f(x)取得极小值; 当x=0时,f(x)取得极大值, —32 •f(x)极小值=f(—3)=—37e—3,f(x)极小值 f(x)极大值=f(0)=2. ⑵f'(x)=ex(x3+mx2—2x+2)+ex(3x2+2mx—2)=xex[x2+im+3x+2m—2]. •••f(x)在[—2,—1]上单调递增, •••当x€[—2,—1]时,f'(x)>0. 又•••当x€[—2,—1]时,xex<0, .•.当x€[—2,—1]时,x2+(m+3)x+2m—2<0, 2 尸(—2)—2(m+3户2m—2<0,=—12—m+3+2m—2<0, •••当m€(—I4]时,f(x)在[—2,—1]上单调递增.
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