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工程流体力学课后习题答案
第1章绪论
【1-1】500cm3的某种液体,在天平上称得其质量为0.453kg,试求其密度和相对密度。
【解】液体的密度
m0.4530.906103kg/m34V510
相对密度0.906103
0.906w1.0103
【1-2】体积为5m3的水,在温度不变的条件下,当压强从98000Pa增加到4.9×105Pa时,体积减少1L。
求水的压缩系数和弹性系数。
【解】由压缩系数公式
p1dV0.0015.11010Pa-15VdP5(4.91098000)
E1
p11.96109Pa105.110
【1-3】温度为20℃,流量为60m3/h的水流入加热器,如果水的体积膨胀系数βt=0.00055K-1,问加热到80℃后从加热器中流出时的体积流量变为多少?
【解】根据膨胀系数
t1dV
Vdt
则
Q2Q1tdtQ1
600.00055(8020)60
61.98m3/h
1
【1-4】用200升汽油桶装相对密度0.70的汽油。
罐装时液面上压强为98000Pa。
封闭后由于温度变化升高了20℃,此时汽油的蒸汽压力为17640Pa。
若汽油的膨胀系数为0.0006K-1,弹性系数为13.72×106Pa,(1
)试计算由于压力温度变化所增加的体积,
(2)问灌装时汽油的体积最多不应超过桶体积的百分之多少?
【解】
(1)由
p
dVP1
可得,由于压力改变而减少的体积为VdpE
VPdVp
VdP20017640
0.257LE13.72106
由于温度变化而增加的体积,可由
t
1dVt
VdT
得
(2)因为V?
t
VtdVttVdT0.0006200202.40L
Vp
,相比之下可以忽略由压力变化引起的体积
改变,则
由得
V1198.8%2001tdT10.000620
VVtdT200L
【1-5】图中表示浮在油面上
的平板,
其水平运动速度为u=1m/s,油品的粘度μ=0.9807Pa·s,求作单位面积上的阻力。
【解】根据牛顿内摩擦定律
=
dudy
习题1-5图
δ=10mm,用在平板
则
习题1-6图
=u
0.9807198.07N/m20.01
【1-6】已知半径为R圆管中的流速分布为
r2
u=c(12)R
式中c为常数。
试求管中的切应力τ与r的关系。
【解】根据牛顿dr22r[c(12)]c2drRR
3
第2章流体静力学
【2-1】容器中装有水和空气,求A、B、C和D各点的表压力?
【解】空气各点压力相同,与空气接触的液面压力即为空气的压力,另外相互连通的同种液体同一高度压力相同,即等压面
pMAg(h3h4)
pMBpMAg(h3h4h2)gh2pMCpMBgh2
pMDpMCg(h3h2)g(h32h2)
【2-2】如图所示的U形管中装有水银
与水,试求:
(1)A、C两点的绝对压力及表压
力各为多少?
(2)求A、B两点的高度差h?
【解】由p
a
题2-2图
1.01325105Pa,w1103Kg/m3,
H13.6103Kg/m3得
(1)
101325+10009.80.3 104265Pa
pab(A)pawg0.3
1
10009.80.3 2940Pa
pab(C)pawg0.3Hg0.1
pMAwg0.3
10132598000.3136009.80.1 117593Pa
pMCwg0.3Hg0.1
98000.3136009.80.1 16268Pa
(2)选取U形管中水银的最低
液面为等压面,则
g0.3gh
得h0.310.32.2cm
w
H
题2-3图
w
H
13.6
【2-3】在一密闭容器内装有水及油,密度分别为ρw及ρo,油层高度为h1,容器底部装有水银液柱压力计,读数为R,水银面与液面的高度差为h2,试导出容器上方空间的压力p与读数R的关系式。
【解】选取压力计中水银最低液面为等压面,则
pogh1wg(h2Rh1)HgR
得
pHgRogh1wg(h2Rh1)
【2-4】油罐内装有相对
密度为0.7的汽油,为测定油面高度,利用连通器原理,把U形管内装上相对
2
题2-4图
密度为1.26的甘油,一端接通油罐顶部空间,一端接压气管。
同时,压力管的另一支引入油罐底以上的0.4m处,压气后,当液面有气逸出时,根据U形管Hgoh1.260.70.40.41.66mo0.7
【2-5】图示两水管以U形压力计相连,A、B两点高差1m,
U形管pBpAwg(Hw)gh
10009.8(136001000)9.80.5
7.154104Pa
3
【2-6】图示油罐发油装
置,将直径为d的圆管伸进
罐内,端部切成45°角,用
盖板盖住,盖板可绕管端上
面的铰链旋转,借助绳系上
来开启。
已知油深H=5m,题2-6图圆管直径d=600mm,油品相对密度0.85,不计盖板重力及铰链的摩擦力,求提升此盖板所需的力的大小?
(提示:
盖板为椭圆形,要先算出长轴2b和短轴2a,就可算出盖板面积A=πab)。
【解】分析如图,a
d,b2以盖板上的铰链为支点,根据力矩平衡,即拉力和液体总压力对铰链的力矩平衡,以及切角成45°可知
TdPL
其中
PogHAogHab
0.851039.85(3.14
16643.2N0.6
24
LyDyCJC
yCA
ab3
0.431m可得TPL16643.20.43111955.4Nd0.6
【2-7】图示一个安全闸门,
宽为0.6m,高为1.0m。
距底边
0.4m处装有闸门转轴,使之仅
可以绕转轴顺时针方向旋转。
不
计各处的摩擦力,问门前水深h
为多深时,闸门即可自行打开?
【解】分析如图所示,由公式yD题2-7图yCJCyCA可知,水深
h越大,则形心和总压力的作用点间距离越小,即D点上移。
当D点刚好位于转轴时,闸门刚好平衡,即yDyC0.1m。
则由B=0.6m,H=1m,可知
BH3
J1yDyCC0.1myCA(h0.5)BH12(h0.5)
5
得
h1.33m
【2-8】有一压力贮油箱(见
等效自由液面
图),其宽度(垂直于纸面方向)b=2m,箱内油层厚h1=1.9m,密度ρ0=800kg/m3,
汞油层下有积水,厚度h2=0.4m,
箱底有一U型水银压差计,所测之值如图所示,试求作用在半径R=1m的圆柱面AB上的总压力(大小和方向)。
【解】分析如图所示,先需确定自由液面,选取水银压差计最低液面为等压面,则
Hg0.5pBog1.9wg1.0
pBHg0.5-og1.9wg1.0
136009.80.5-8009.81.9-10009.8 41944(Pa)
由pB不为零可知等
效自由液面的高度
h*
pB41944
5.35mog8009.8
曲面水平受力
6
PxoghCAx og(h*
R
)Rb2
1
8009.8(5.35)2
2
91728N
曲面垂直受力
PZogV
1 og(R2Rh*)b
4
1
8009.8(3.145.35)2
4
96196.8N
P132.92kN
则
arctan(
Px91728
)arctan()43.7oPZ96196.8
【2-9】一个直径2m,长5m的圆柱体放置在图示的斜坡上。
求圆柱体所受的水平力和浮力。
【解】分析如图所示,因为斜坡的倾斜角为60°,故经D点过圆心的直径与自由液面交于F点。
题2-9图
BC段和CD段水平方向的投影面积相同,力方向相反,相互抵消,故圆柱体所受的水平力
7
PxghCA(FB)x
1.01039.80.51524.5kN
圆柱体所受的浮力
分别画出F-A段和A-D段曲面的压力体,虚实抵消,则
PZg(V1V2)g(SFADS半圆FBD)L11
1.01039.8(13.141)5
22
119.364kN
【2-10】图示一个直径D=2m,长L=1m的圆柱体,其左半边为油和水,油和水的深度均为1m。
已知油的密度为ρ=800kg/m3,求圆柱体所受水平力和浮力。
水的等效
自由液面
题2-10图
【解】因为左半边为不同液体,故分别来分析AB段和BC段曲面的受力情况。
(1)AB曲面受力
R
RL2
8009.80.511Px1oghC1Ax1og3.92kN
8
1
PZ1og(R2R2)L
4
1
8009.8(113.141)1
4
1.686kN
(2)BC曲面受力
首先确定自由液面,由油水界面的压力
poBogR
可确定等效自由液面高度
HRh*R
poB
10.81.8mwg
则
R
)RL2
11039.8(0.80.5)1Px2wghC2Ax2wg(h*12.74kN
1
PZ2wg(V1V2)wg(Rh*R2)L
41
11039.8(10.83.141)1
4
15.533kN
则,圆柱体受力
PxPx1Px23.9212.7416.66kN
PZPZ2PZ115.5331.68613.847kN(方向向
上)
【2-11】图示一个直径为
1.2m的钢球安装在一直径为1m
9
题2-11图
的阀座上,管g(R3r20.5)3410009.8(3.140.633.140.520.5)3
5.016kN
【2-12】图示一盛水的密闭容器,中间用隔板将其分隔为上下两部分。
隔板中有一直径d=25cm的圆孔,并用一个直径D=50cm质量M=139kg的圆球堵塞。
设容器顶部压力表读数pM=5000Pa,求测压管中水面高x大于若干时,圆球即被总压力向上顶开?
【解】分析如图所示,由于液面不是自由液面,需10
将液面压力转化为该液体的等效高度h*,确定等效自由液面。
然后将整个钢球曲面分段,分别考虑受力。
首先考虑隔板上面的液体对曲面的作用力,即分别画出a-d、a-b和c-d段曲面的压力体;再考虑隔板下面液体对曲面的作用力,即画出b-c段曲面的压力体;最后压力体虚实抵消,图中虚压力体(-)为一球体和圆柱体体积之和,其中圆柱体底面直径为隔板圆孔直径。
根据受力分析可知,当x值等于某一值时,圆球所受的浮力和重力相同,当x大于该值是圆球即被顶开,由受力平衡可确定这一临界值。
g(V1V2)Mg
g[R3d2(xh*)]Mg4
314
则
4(
xM4R3)pM3d2g
13944(3.140.253)50003.140.25210009.8
11
2.0m
h*=pM题2-12图
12
第三章流体运动学
【3-1】已知流场的速度分布为
ux2yi3yj2z2k
(1)属几元流动?
(2)求(x,y,z)=(3,1,2)点的加速度?
【解】
(1)由流场的速度分布可知
uxx2yuy3y2uz2z
流动属三元流动。
(2)由加速度公式
duxuxuxuxuxauuuxyzxdttxyzduyuyuyuyuyuxuyuzaydttxyzduuuuuazzzuxzuyzuzzdttxyz
得
ax2x3y23x2yay9y
3az8z
故过(3,1,2)点的加速度
1
ax2331332127ay919
3az8264
其矢量形式为:
a27i9j+64k,大小a=70。
【3-2】已知流场速度分布为ux=x2,uy=y2,uz=z2,试求(x,y,z)=(2,4,8)点的迁移加速度?
【解】由流场的迁移加速度
uxuxuxauuuxxyzxyzuyuyuyauuuyxyzxyzuuuazuxzuyzuzzxyz
ax2x33ay2y3az2z得
故(2,4,8)点的迁移加速度
ax22316 3ay241283az281024
矢量形式:
a16i128j1024k ,大小a=1032。
【3-3】有一段收缩管如图。
已知u1=8m/s,u2=2m/s,l=1.5m。
试求2点的迁
移加速度。
2题3-3图
【解】因为是一段收缩管,其流动方向为从2点所在断面流到1点所在断面。
由流场的迁移加速度
axuxuxx其中:
ux
xu1u2824s-1l1.5
则2点的迁移加速度为
axu2ux248m/s2x
【3-4】某一平面流动的速度分量为ux=-4y,uy=4x。
求流线方程。
【解】由流线微分方程
dxdyuxuy
将速度分量代入流线微分方程并简化,得
dxdyyx
整理,得
xdxydy0
两边积分,解得流线方程
x2y2c
可见流线为一簇同心圆,当c取不同值时,即为不同的流线。
3
【3-5】已知平面流动的速度为uByBxij,式中2(x2y2)2(x2y2)B为常数。
求流线方程。
【解】平面流动的速度分量
Byux2(x2y2)Bxuy2(x2y2)
代入流线微分方程
dxdyuxuy
简化得
dxdyyx
变形得
xdxydy0
两边积分可解得流线方程
x2y2c
可见流线为一簇双曲线,c取不同值时即为不同的流线。
【3-6】用直径200mm的管输送相对密度为0.7的汽油,使流速不超过1.2m/s,问每秒最多输送多少kg?
【解】由质量流量公式
QmvAvd24
4
得
3.140.22
Qm1.20.710326.376kg/s4
【3-7】截面为300mm×400mm的矩形孔道,风量为2700m3/h,求平均流速。
如风道出口处截面收缩为150mm×400mm,求该处断面平均流速。
【解】由平均流速公式
vQA
得
vQ27006.25m/sbh0.30.43600
如风道出口处截面收缩为150mm×400mm,则
vQ270012.5m/sbh0.150.43600
【3-8】已知流场的速度分布为ux=y+z,uy=z+x,uz=x+y,判断流场流动是否有旋?
【解】由旋转角速度
1uzuy1()(11)0x2yz21uxuz1)(11)0y(2zx21uyux1()(11)0z2xy2
可知ωxiyjzk0故为无旋流动。
5
【3-9】下列流线方程所代表的流场,哪个是有旋运动?
(1)2Axy=C
(2)Ax+By=C(3)Alnxy2=C
【解】由流线方程即流函数的等值线方程,可得
则
(1)速度分量
u2Axxyu2Ayyx由题意可知流函数ψ分别为2Axy、Ax+By、Alnxy2,
旋转角速度z(1uyux1)(00)02xy2
可知ωxiyjzk0,故为无旋流动。
(2)速度分量
uBxyuAyx
旋转角速度
z(1uyux1)(00)02xy2
6
可知ωxiyjzk0,故为无旋流动。
(3)速度分布
2AuxyyuA
yxx
旋转角速度
1uyuxz2xy
xyz1A2A02x2y2可知ijk0,故为有旋流动。
【3-10】已知流场速度分布为ux=-cx,uy=-cy,uz=0,c为常数。
求:
(1)欧拉加速度a=?
;
(2)流动是否有旋?
(3)是否角变形?
(4)求流线方程。
【解】
(1)由加速度公式
uxuxuxauuuc2xxxyzxyzuyuyuyauuuc2yyxyzxyzuuuazuxzuyzuzz0xyz
得ac2xicy2j
(2)旋转角速度
7
1uzuy()0x2yz1uxuz()0y2zx1uyux()0z2xy
可知
xiyjzk0,故为无旋流动。
(3)由角变形速度公式
1uyux()0xy2xy1uxuz)0xz(2zx1uyuz)0zy(2zy
可知为无角变形。
(4)将速度分布代入流线微分方程
dxdycxcy
变形得
dxdyxy
两边积分,可得流线方程xc,流线为一簇射线。
y
8
第四章流体动力学
【4-1】直径d=100mm的虹
吸管,位置如图所示。
求流量
和2、3点的压力(不计水头损失)。
【解】列1、4点所在断面的题4-1图
伯努利方程,以过4点的水平面为基准面。
得
Q2v45000029.8v4=9.9m/s
4d2v43.140.129.90.078m3/s4
列1、2点所在断面的伯努利方程,以过1点的水平面为基准面
2p2v20000g2g(v2=v4)
得10009.92
p24.9104Pa222v2
列1、3点所在断面的伯努利方程,以过1点的水平面为基准面
2p3v30002g2g(v3=v4)
9
得
9.92
p32980010006.86104Pa
2
【4-2】一个倒置的U形测压管,上部为相对密度0.8的油,用来测定水管中点的速度。
若读数
△h=200mm,求管中流速u=?
【解】选取如图所示1-1、2-2
题4-2图
断面列伯努利方程,以水管轴线为基准线
p1pu2
0020wg2gwg
其中:
p1和p2分别为1-1、2-2断面轴线上的压力。
设U形测压管中油的最低液面到轴线的距离为x,选取U形测压管中油的最高液面为等压面,则
p1wgxoghp2wg(xh)
p2p1(wo)gh
则
u0.885m/s
【4-3】图示为一文丘里管和压力计,试推导体积流量和压力计读数之间的关系式。
当z1=z2时,
题4-3图
ρ=1000kg/m3,ρH=13.6×103kg/m3,d1=500mm,d2=50mm,H=0.4m,流量系数α=0.9时,求Q=?
【解】列1-1、2-2断面的伯努利方程、以过1-1断面中心点的水平线为基准线。
2
p1v12p2v2
0z1z2
g2gg2g
设过1-1断面中心点的水平线到压力计中水银的最高液面的距离为x。
选取压力计中水银的最低液面为等压面,则
p1g(xH)p2g(z1z2x)HgH
p1p2()z1z2HHz1z212.60.4g
又由v
1
Q4Q2
d123.140.54
、v
2
Q4Q
d223.140.0524
,代入伯努利
方程,得
Q0.02m/s
3
p
Q实际Q0.020.90.018m3/s
【4-4】管路阀门关闭时,压力表读数为49.8kPa,阀门
题4-4图
2
11
打开后,读数降为9.8kPa。
设从管路进口至装表处的水头损失为流速水头的2倍,求管路中的平均流速。
【解】当管路阀门关闭时,由压力表度数可确定管路轴线到自由液面的高度H
p49.8103
H5.082mg11039.8
当管路打开时,列1-1和2-2断面的伯努利方程,则
22p2v2v2H0002g2g2g
简化得2v2p3H25.08214.082m2gg
得
v25.164m/s【4-5】为了在直径
D=160mm的管线上自动掺入
另一种油品,
自锥管喉道处引出一个小支管
通入油池12
油品的相对密度为0.8,油池油面距喉道高度H=1.5m,如果掺入油量约为原输量的10%左右,B管水头损失设为0.5m,试确定B管的管径。
【解】列1-1和2-2断面的伯努利方程,则
2
p1v12p2v2
00
1g2g1g2g
其中:
v1
Q1
D24Q12d4
40.03
1.493m/s2
3.140.16
40.03
23.885m/s
3.140.042
v2
得
2
v12v21.493223.88525
p2p112.31090025719Pa
22
列4-4自由液面和3-3断面的伯努利方程,以4-4
自由液面为基准面,则
2
p3v3
000Hhw43
2g2g
其中:
p3=p2
v3
0.1Q40.10.030.0038
22
123.14ddBBdB4
则
2v3(
p30.00382
)2g(Hhw43)2
dB2g
25718.9
0.5)
8009.8
19.6(1.5
13
解得
dB0.028m。
【4-6】一变直径的管段AB,直径dA=0.2m,dB=0.4m,高差h=1.0m,用压力表测得pA=
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