高一数学集合知识点总结.docx

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高一数学集合知识点总结

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　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念。

　　1）集合（集）：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.其中每一个对象叫元素

　　注意：

①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性（a?

A和a?

A，二者必居其一）、互异性（若a?

A，b?

A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

　　③集合具有两方面的意义，即：

凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2）集合的表示方法：

常用的有列举法、描述法和图文法

　　3）集合的分类：

有限集，无限集，空集。

　　4）常用数集：

N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1）子集：

若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）;

　　2）真子集：

AB且存在x0∈B但x0A;记为AB（或，且）

　　3）交集：

A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　4）并集：

A∪B={x|x∈A或x∈B}

　　5）补集：

CUA={x|xA但x∈U}

　　注意：

①?

A，若A≠?

，则?

A;

　　②若，，则;

　　③若且，则A=B（等集）

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：

（1）与、?

的区别;

（2）与的区别;（3）与的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

　　④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=iAB。

　　5.交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩?

=?

，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?

=A，A∪B=B∪A;

　　③Cu（A∪B）=CuA∩CuB，Cu（A∩B）=CuA∪CuB;

　　6.有限子集的个数：

设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A）M=NPB）MN=PC）MNPd）NPM

　　分析一：

从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：

对于集合M：

{x|x=,m∈Z};对于集合N：

{x|x=,n∈Z}

　　对于集合P：

{x|x=,p∈Z}，由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

　　分析二：

简单列举集合中的元素。

　　解答二：

M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

　　=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

　　点评：

由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：

设集合，，则（B）

　　=NNMd.

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A）1B）2C）3d）4

　　分析：

确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：

集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：

∵A*B={x|x∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。

选d。

　　变式1：

已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?

a∈M，那么集合M的个数为

　　A）5个B）6个C）7个d）8个

　　变式2：

已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：

由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?

4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?

2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：

∵A∩B={1}∴1∈B∴12?

4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?

4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?

2,1,3},?

2B,∴?

2∈A

　　∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴∴

　　变式：

已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

　　解：

∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?

2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

　　又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-（2+2）=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|（x-1）（x+1）（x+2）>0},集合B满足：

A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：

先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：

A={x|-21}。

由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而（-∞,-2）∩B=ф。

　　综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　变式1：

若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。

（答案：

a=-2，b=0）

　　点评：

在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：

设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：

M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：

所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

　　分析：

先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

　　解答：

（1）若，在内有有解

　　令当时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：

若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：

解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

　　⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

　　（A）4（B）5（C）6（d）7

　　2.集合{1，2，3}的真子集共有

　　（A）5个（B）6个（C）7个（d）8个

　　3.集合A={x}B={}C={}又则有

　　（A）（a+b）A（B）（a+b）B（C）（a+b）C（d）（a+b）A、B、C任一个

　　4.设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是

　　（A）CUACUB（B）CUACUB=U

　　（C）ACUB=（d）CUAB=

　　5.已知集合A={}，B={}则A=

　　（A）R（B）{}

　　（C）{}（d）{}

　　6.下列语句：

（1）0与{0}表示同一个集合;

（2）由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1};（3）方程（x-1）2（x-2）2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2};（4）集合{}是有限集，正确的是

　　（A）只有

（1）和（4）（B）只有

（2）和（3）

　　（C）只有

（2）（d）以上语句都不对

　　7.设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

　　（A）X（B）T（C）Φ（d）S

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0（a　　（A）R（B）（C）{}（d）{}

　　填空题

　　9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

　　10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=

　　11.若A={x}B={x},全集U=R，则A=

　　12.若方程8x2+（k+1）x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

　　13设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是。

　　14.设全集U={x为小于20的非负奇数}，若A（CUB）={3，7，15}，（CUA）B={13，17，19}，又（CUA）（CUB）=，则AB=

　　解答题

　　15（8分）已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求实数a。

　　16（12分）设A=，B=，

　　其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。

　　四.习题答案

　　选择题

　　12345678

　　CCBCBCdd

　　填空题

　　9.{（x,y）},11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

　　解答题

　　=-1

　　16.提示：

A={0，-4}，又AB=B，所以BA

　　（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4（a2-1）　　（Ⅱ）B={0}或B={-4}时，0得a=-1

　　（Ⅲ）B={0，-4}，解得a=1

　　综上所述实数a=1或a-1

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