高考数学理二轮专题练习专题11集合与常用逻辑用语含答案.docx
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高考数学理二轮专题练习专题11集合与常用逻辑用语含答案
第1讲 集合与常用逻辑用语
考情解读 1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断.
1.集合的概念、关系
(1)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.
(2)集合与集合之间的关系:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.
2.集合的基本运算
(1)交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
重要结论:
A∩B=A⇔A⊆B;
A∪B=A⇔B⊆A.
3.四种命题及其关系
四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命
题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理.
4.充分条件与必要条件
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.
5.简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题.
(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).
6.全称量词与存在量词
“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,綈p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.
热点一 集合的关系及运算
例1
(1)(2014·四川)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
(2)(2013·广东)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S 思维启迪 明确集合的意义,理解集合中元素的性质特征. 答案 (1)A (2)B 解析 (1)因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A. (2)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S的说法均错误,可以排除选项A、C、D,故选B. 思维升华 (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验结果. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. (1)已知集合M={1,2,3},N={x∈Z|1 A.M⊆NB.N=M C.M∩N={2,3}D.M∪N=(1,4) (2)(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9 答案 (1)C (2)C 解析 (1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数,所以N={x∈Z|1 (2)x-y∈ . 热点二 四种命题与充要条件 例2 (1)(2014·天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)(2014·江西)下列叙述中正确的是( ) A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0” D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β 思维启迪 要明确四种命题的真假关系;充要条件的判断,要准确理解充分条件、必要条件的含义. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)当b<0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|; 当b=0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|; 当b>0时,a>b有|a|>|b|,所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|,故选C. (2)由于“若b2-4ac≤0,则ax2+bx+c≥0”是假命题,所以“ax2+bx+c≥0”的充分条件不是“b2-4ac≤0”,A错; 因为ab2>cb2,且b2>0,所以a>c.而a>c时,若b2=0,则ab2>cb2不成立,由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件,B错;“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”,C错;由l⊥α,l⊥β,可得α∥β,理由: 垂直于同一条直线的两个平面平行,D正确. 思维升华 (1)四种命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价; (2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例. (1)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是________. (2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件.(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写) 答案 (1)若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数 (2)充分不必要 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”. (2)由log3M>log3N,又因为对数函数y=log3x在定义域(0,+∞)单调递增,所以M>N;当M>N时,由于不知道M、N是否为正数,所以log3M、log3N不一定有意义.故不能推出log3M>log3N,所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件. 热点三 逻辑联结词、量词 例3 (1)已知命题p: ∃x∈R,x-2>lgx,命题q: ∀x∈R,sinx A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题 C.命题p∧(綈q)是真命题D.命题p∨(綈q)是假命题 (2)(2013·四川)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ∀x∈A,2x∈B,则( ) A.綈p: ∀x∈A,2x∈BB.綈p: ∀x∉A,2x∉B C.綈p: ∃x∉A,2x∈BD.綈p: ∃x∈A,2x∉B 思维启迪 (1)先判断命题p、q的真假,再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假; (2)含量词的命题的否定既要否定量词,还要否定判断词. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)对于命题p,取x=10,则有10-2>lg10,即8>1,故命题p为真命题;对于命题q,取x=- ,则sinx=sin(- )=-1,此时sinx>x,故命题q为假命题,因此命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∧(綈q)是真命题,命题p∨(綈q)是真命题,故选C. (2)命题p: ∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B,选D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念: 命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立; (2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. (1)已知命题p: 在△ABC中,“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件;命题q: “a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A.p真q假B.p假q真 C.“p∧q”为假D.“p∧q”为真 (2)已知命题p: “∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q: “∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”.若命题“(綈p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤-2或a=1B.a≤2或1≤a≤2 C.a>1D.-2≤a≤1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)△ABC中,C>B⇔c>b⇔2RsinC>2RsinB(R为△ABC外接圆半径), 所以C>B⇔sinC>sinB. 故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件,命题p是假命题. 若c=0,当a>b时,则ac2=0=bc2,故a>b ac2>bc2,若ac2>bc2,则必有c≠0,则c2>0,则有a>b,所以ac2>bc2⇒a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,故命题q也是假命题,故选C. (2)命题p为真时a≤1;“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.(綈p)∧q为真命题,即綈p真且q真,即a>1. 1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和Venn图加以解决. 2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的. 真题感悟 1.(2014·浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于( ) A.∅B.{2} C.{5}D.{2,5} 答案 B 解析 因为A={x∈N|x≤- 或x≥ }, 所以∁UA={x∈N|2≤x< },故∁UA={2}. 2.(2014·重庆)已知命题 p: 对任意x∈R,总有2x>0; q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.綈p∧綈q C.綈p∧qD.p∧綈q 答案 D 解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故选D. 押题精练 1.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( ) A.(0,1]B.[1,+∞) C.(0,1)D.(1,+∞) 答案 B 解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.应选B. 2.若命题p: 函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q: 函数y=x- 的单调递增区间是[1,+∞),则( ) A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题 C.綈p是真命题D.綈q是真命题 答案 D 解析 因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x- 的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题,綈q为真命题,故选D. 3.函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A.a<0B.0 C. 答案 A 解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.
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- 高考 学理 二轮 专题 练习 11 集合 常用 逻辑 用语 答案