版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第1节.docx

版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第1节.docx

《版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第1节.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第1节.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第1节

第1节　集　合

最新考纲　1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或

BA.

（3）相等：

若A⊆B,且B⊆A,则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U,则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A,或x∈B}

{x|x∈A,且x∈B}

{x|x∈U,且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）A∩A＝A,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A.

（2）A∪A＝A,A∪∅＝A,A∪B＝B∪A.

（3）A∩（∁UA）＝∅,A∪（∁UA）＝U,∁U（∁UA）＝A.

[微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：

A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）,∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x,y）|y＝x2＋1}.（　　）

（2）若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.（　　）

（3）对于任意两个集合A,B,关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　　）

（4）含有n个元素的集合有2n个真子集.（　　）

解析　

（1）错误.{x|y＝x2＋1}＝R,{y|y＝x2＋1}＝[1,＋∞）,{（x,y）|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

（2）错误.当x＝1时,不满足集合中元素的互异性.

（4）错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.

【参考答案】

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2.（必修1P12A5改编）若集合P＝{x∈N|x≤

},a＝2

则（　　）

A.a∈PB.{a}∈P

C.{a}⊆PD.a∉P

解析　因为a＝2

不是自然数,而集合P是不大于

的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.

【参考答案】D

3.（必修1P12B1改编）已知集合M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.

解析　由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26＝64（个）.

【参考答案】64

4.（2018·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x2－x－2>0},则∁RA＝（　　）

A.{x|－1

B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x<－1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析　法一　A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|（x－2）（x＋1）>0}＝{x|x<－1或x>2},所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.

法二　因为A＝{x|x2－x－2>0},所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.

【参考答案】B

5.（2019·南昌模拟）已知集合P＝{x|x2≤1},M＝{a}.若P∪M＝P,则实数a的取值范围为（　　）

A.[－1,1]B.[1,＋∞）

C.（－∞,－1]D.（－∞,－1]∪[1,＋∞）

解析　∵P＝{x|－1≤x≤1},且P∪M＝P,

∴M⊆P,∴a∈P,因此－1≤a≤1.

【参考答案】A

6.（2017·全国Ⅲ卷改编）已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2＝1},B＝{（x,y）|x,y∈R,且y＝x},则A∩B中元素的个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合,集合B表示直线y＝x上所有点的集合,易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.

【参考答案】2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）（2019·湖北四地七校联考）若集合M＝{x||x|≤1},N＝{y|y＝x2,|x|≤1},则（　　）

A.M＝NB.M⊆N

C.M∩N＝∅D.N⊆M

（2）若x∈A,则

∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

解析　

（1）易知M＝{x|－1≤x≤1},N＝{y|y＝x2,|x|≤1}＝{y|0≤y≤1},∴N⊆M.

（2）具有伙伴关系的元素组是－1,

2,所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1},

.

【参考答案】

（1）D　

（2）B

规律方法　1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】

（1）（2018·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8C.5D.4

（2）设集合A＝{x|（x－a）2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）由题意知A＝{（－1,0）,（0,0）,（1,0）,（0,－1）,（0,1）,（－1,

－1）,（－1,1）,（1,－1）,（1,1）},故集合A中共有9个元素.

（2）由题意得

解得

所以1

【参考答案】

（1）A　

（2）（1,2]

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

x∈R},B＝{x|x＝m2,m∈A},则（　　）

A.ABB.BA

C.A⊆BD.B＝A

（2）（2019·郑州调研）已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0},集合B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1},

所以B＝{x|x＝m2,m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.

当B＝∅时,有m＋1≥2m－1,则m≤2.

当B≠∅时,若B⊆A,如图.

则

解得2

综上,m的取值范围为（－∞,4].

【参考答案】

（1）B　

（2）（－∞,4]

规律方法　1.若B⊆A,应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2018·唐山模拟）设集合M＝{x|x2－x>0},N＝

则（　　）

A.MNB.NM

C.M＝ND.M∪N＝R

（2）若将本例

（2）的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变,则m的取值范围是________.

解析　

（1）集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0},N＝

＝{x|x>1或x<0},所以M＝N.

（2）A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}.

当B＝∅时,有m＋1≥2m－1,则m≤2.

当B≠∅时,若B⊆A,

则

或

解之得m≥6.

综上可知,实数m的取值范围是（－∞,2]∪[6,＋∞）.

【参考答案】

（1）C　

（2）（－∞,2]∪[6,＋∞）

考点三　集合的运算　

多维探究

角度1　集合的基本运算

【例3－1】

（1）（2017·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x<2},B＝{x|3－2x>0},则（　　）

A.A∩B＝

B.A∩B＝∅

C.A∪B＝

D.A∪B＝R

（2）（2018·天津卷）设全集为R,集合A＝{x|0

A.{x|0

C.{x|1≤x<2}D.{x|0

解析　

（1）因为B＝{x|3－2x>0}＝

A＝{x|x<2},所以A∩B＝

A∪B＝{x|x<2}.

（2）因为B＝{x|x≥1},所以∁RB＝{x|x<1},因为A＝{x|0

【参考答案】

（1）A　

（2）B

角度2　抽象集合的运算

【例3－2】设U为全集,A,B是其两个子集,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”,则一定有“A∩B＝∅”；反过来,若“A∩B＝∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁UC.

【参考答案】C

规律方法　1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.

2.注意数形结合思想的应用.

（1）离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

【训练3】

（1）（2019·延安模拟）若全集U＝{－2,－1,0,1,2},A＝{－2,2},B＝{x|x2－1＝0},则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{－1,0,1}B.{－1,0}

C.{－1,1}D.{0}

（2）（2019·新乡模拟）已知集合A＝{x|x2－x≤0},B＝{x|a－1≤x

A.0B.1C.2D.1或2

解析　

（1）B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1},阴影部分所表示的集合为

∁U（A∪B）.A∪B＝{－2,－1,1,2},全集U＝{－2,－1,0,1,2},所以∁U（A∪B）＝{0}.

（2）易知A＝[0,1],因为A∩B只有一个元素,所以a－1＝1,解得a＝2.

【参考答案】

（1）D　

（2）C

[思维升华]

1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合）,要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2018·全国Ⅲ卷）已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝（　　）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

解析　由题意知,A＝{x|x≥1},则A∩B＝{1,2}.

【参考答案】C

2.设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为（　　）

A.3B.4C.5D.6

解析　因为A＝{1,2,3},B＝{4,5},

又M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},

∴M＝{5,6,7,8},即M中有4个元素.

【参考答案】B

3.（2019·佛山质检）已知全集U＝{0,1,2,3,4},若A＝{0,2,3},B＝{2,3,4},则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A.∅B.{1}C.{0,2}D.{1,4}

解析　因为全集U＝{0,1,2,3,4},A＝{0,2,3},B＝{2,3,4},所以∁UA＝{1,4},∁UB＝{0,1},因此（∁UA）∩（∁UB）＝{1}.

【参考答案】B

4.（2018·石家庄质检）设集合A＝{x|－1

A.（∁RA）∩B＝{x|x<－1}

B.A∩B＝{x|－1

C.A∪（∁RB）＝{x|x≥0}

D.A∪B＝{x|x<0}

解析　易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2},∁RB＝{x|x≥0},

∴（∁RA）∩B＝{x|x≤－1},A项不正确.

A∩B＝{x|－1

【参考答案】B

5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0},B＝{x|2x≥8},则集合A∩B的子集的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0,1,2,3,4},B＝{x|x≥3},所以A∩B＝{3,4},所以集合A∩B的子集个数为4.

【参考答案】D

6.（2019·豫北名校联考）已知集合M＝{x|y＝

},N＝{x|y＝log2（2－x）},则

∁R（M∩N）＝（　　）

A.[1,2）B.（－∞,1）∪[2,＋∞）

C.[0,1]D.（－∞,0）∪[2,＋∞）

解析　由题意可得M＝{x|x≥1},N＝{x|x<2},∴M∩N＝{x|1≤x<2},∴∁R（M∩N）＝{x|x<1或x≥2}.

【参考答案】B

7.设集合A＝{（x,y）|x＋y＝1},B＝{（x,y）|x－y＝3},则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由

得

∴A∩B＝{（2,－1）}.

由M⊆（A∩B）,知M＝∅或M＝{（2,－1）}.

【参考答案】C

8.（一题多解）（2018·中原名校联考）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）},B＝{x|x2－cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围为（　　）

A.（0,1]B.[1,＋∞）

C.（0,1）D.（1,＋∞）

解析　法一　由题意知,A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0

法二　A＝{x|y＝lg（x－x2）＝{x|x－x2>0}＝{x|0

【参考答案】B

二、填空题

9.（2016·全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0},T＝{x|x>0},则（∁RS）∩T＝________.

解析　易知S＝{x|x≤2或x≥3},

∴∁RS＝{x|2

因此（∁RS）∩T＝{x|2

【参考答案】{x|2

10.已知集合A＝{1,2},B＝{a,a2＋3},若A∩B＝{1},则实数a的值为________.

解析　由A∩B＝{1}知,1∈B,又a2＋3≥3,则a＝1.

【参考答案】1

11.（2019·福州质检）已知集合A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________.

解析　∵A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},

∴B＝{3,7,9,15},

∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15},

∴集合A∪B中元素的个数为6.

【参考答案】6

12.集合A＝{x|x<0},B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]},若A－B＝{x|x∈A,且x∉B},则A－B＝________.

解析　由题意知,B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}＝{x|x（x＋1）>0}＝{x|x<－1或x>0},则A－B＝{x|－1≤x＜0}.

【参考答案】{x|－1≤x＜0}

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.（2018·河南百校联盟联考）若集合A＝{x|y＝lg（3x－x2）},B＝

则A∩（∁RB）等于（　　）

A.（0,2]B.（2,3）C.（3,5）D.（－2,－1）

解析　由3x－x2>0,得0

∴B＝

＝（2,5）,

则∁RB＝（－∞,2]∪[5,＋∞）,故A∩（∁RB）＝（0,2].

【参考答案】A

14.已知集合A＝{x|y＝

},B＝{x|a≤x≤a＋1},若A∪B＝A,则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞,－3]∪[2,＋∞）　B.[－1,2]

C.[－2,1]　D.[2,＋∞）

解析　集合A＝{x|y＝

}＝{x|－2≤x≤2},因A∪B＝A,则B⊆A,又B≠∅,所以有

所以－2≤a≤1.

【参考答案】C

15.（2019·皖南八校联考改编）已知集合A＝{（x,y）|x2＝4y},B＝{（x,y）|y＝x},则A∩B的真子集个数是________.

解析　由

得

或

即A∩B＝{（0,0）,（4,4）},∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.

【参考答案】3

16.集合U＝R,A＝{x|x2－x－2<0},B＝{x|y＝ln（1－x）},则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析　易知A＝（－1,2）,B＝（－∞,1）,∴∁UB＝[1,＋∞）,A∩（∁UB）＝[1,2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

【参考答案】[1,2）