人教版八年级数学上册第十五章 分式.docx

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人教版八年级数学上册第十五章分式

第十五章　分式

15．1　分　　式

15．1.1　从分数到分式

1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．

2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．

重点

理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

难点

能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

一、复习引入

1．什么是整式？

什么是单项式？

什么是多项式？

2．判断下列各式中，哪些是整式？

哪些不是整式？

①；②1＋x＋y2；③；④；⑤；⑥；⑦.

二、探究新知

1．分式的定义

（1）学生看教材的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分析：

设江水的流速为v千米/时．

轮船顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，所以＝.

（2）学生完成教材第127页“思考”中的题．

观察：

以上的式子，，，，有什么共同点？

它们与分数有什么相同点和不同点？

可以发现，这些式子都像分数一样都是（即A÷B）的形式．分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母．

归纳：

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．

巩固练习：

教材第129页练习第2题．

2．自学教材第128页思考：

要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．

学生自学例1.

例1　下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

（1）；

（2）；（3）；（4）.

解：

（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；

（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；

（3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠；

（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.

思考：

如果题目为：

当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？

巩固练习：

教材第129页练习第3题．

3．补充例题：

当m为何值时，分式的值为0?

（1）；

（2）；（3）.

思考：

当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？

分析：

分式的值为0时，必须同时满足两个条件：

（1）分母不能为零；

（2）分子为零．

答案：

（1）m＝0；

（2）m＝2；（3）m＝1.

三、归纳总结

1．分式的概念．

2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．

3．分式的值为零的条件：

（1）分母不能为零；

（2）分子为零．

四、布置作业

教材第133页习题15.1第2，3题．

在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．

15．1.2　分式的基本性质（2课时）

第1课时　分式的基本性质

1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．

2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．

重点

理解并掌握分式的基本性质．

难点

灵活运用分式的基本性质进行分式变形．

一、类比引新

1．计算：

（1）×；

（2）÷.

思考：

在运算过程中运用了什么性质？

教师出示问题．学生独立计算后回答：

运用了分数的基本性质．

2．你能说出分数的基本性质吗？

分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变．

3．尝试用字母表示分数的基本性质：

小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式．

＝，＝.（其中a，b，c是实数，且c≠0）

二、探究新知

1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．

你能用式子表示这个性质吗？

＝，＝.（其中A，B，C是整式，且C≠0）

如＝，＝，你还能举几个例子吗？

回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．

学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．

2．想一想

下列等式成立吗？

为什么？

＝；＝＝－.

教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．

例1　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：

（1）；

（2）；（3）－.

例2　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：

（1）；

（2）；（3）.

引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．

例3　填空：

（1）＝，＝；

（2）＝，＝.（b≠0）

解：

（1）因为的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即

＝＝.

同样地，因为的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，即

＝＝.

所以，括号中应分别填入x2和2x.

（2）因为的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即

＝＝.

同样地，因为的分母a2乘b才能化为a2b，所以分子也需乘b，即

＝＝.

所以，括号中应分别填a和2ab－b2.

在解决例题1，2的第

（2）小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第

（1）小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．

三、课堂小结

1．分式的基本性质是什么？

2．分式的变号法则是什么？

3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？

学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．

四、布置作业

教材第133页习题15.1第4，5题．

通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘（或除）的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．

第2课时　分式的约分、通分

1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．

2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．

重点

运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分．

难点

通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．

一、类比引新

1．在计算×时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？

分式，相等吗？

为什么？

利用分式的基本性质，分式约去分子与分母的公因式a，并不改变分式的值，可以得到.

教师点拨：

分式可以化为，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．

2．怎样计算＋？

怎样把，通分？

类似的，你能把分式，变成同分母的分式吗？

利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．

二、探究新知

1．约分：

（1）；

（2）；

（3）.

分析：

为约分，要先找出分子和分母的公因式．

解：

（1）＝－＝－；

（2）＝＝；

（3）＝＝2（x－y）．

若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．（不能再化简的分式）

2．练习：

约分：

；；；；；.

学生先独立完成，再小组交流，集体订正．

3．讨论：

分式，，的最简公分母是什么？

提出最简公分母概念．

一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．

学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：

（1）系数取各分式的分母中系数最小公倍数；

（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母．

4．通分：

（1）与；

（2）与.

分析：

为通分，要先确定各分式的公分母．

解：

（1）最简公分母是2a2b2c.

＝＝，

＝＝.

（2）最简公分母是（x－5）（x＋5）．

＝＝，

＝＝.

5．练习：

通分：

（1）与；

（2）与；（3）与.

教师引导：

通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．

学生板演并互批及时纠错．

6．思考：

分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？

这些做法的根据是什么？

教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．

三、课堂小结

1．什么是分式的约分？

怎样进行分式的约分？

什么是最简分式？

2．什么是分式的通分？

怎样进行分式的通分？

什么是最简公分母？

3．本节课你还有哪些疑惑？

四、布置作业

教材第133页习题15.1第6，7题．

本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．

15．2　分式的运算

15．2.1　分式的乘除（2课时）

第1课时　分式的乘除法

1．理解并掌握分式的乘除法则．

2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．

重点

掌握分式的乘除运算．

难点

分子、分母为多项式的分式乘除法运算．

一、复习导入

1．分数的乘除法的法则是什么？

2．计算：

×；÷.

由分数的运算法则知×＝；÷＝×＝.

3．什么是倒数？

我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？

这就是我们这节要学习的内容．

二、探究新知

问题1：

一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b时，当容器的水占容积的时，水面的高度是多少？

问题2：

大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

问题1求容积的高·，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的÷倍．

根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？

分式的乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

分式的除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

·＝；÷＝·＝.

三、举例分析

例1　计算：

（1）·；

（2）÷.

分析：

这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．

解：

（1）·＝＝；

（2）÷＝·＝－＝－.

例2　计算：

（1）·；

（2）÷.

分析：

这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则．

解：

（1）原式·＝；

（2）原式÷

＝·＝－.

例3　“丰收1号”小麦试验田边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

分析：

本题的实质是分式的乘除法的运用．

解：

（1）略．

（2）÷＝·＝.

“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．

四、随堂练习

1．计算：

（1）·；

（2）－·；（3）÷（－）；

（4）－8xy÷；（5）－·；

（6）÷（3－y）．

答案：

（1）abc；

（2）－；（3）－；（4）－20x2；（5）－；（6）.

2．教材第137页练习1，2，3题．

五、课堂小结

（1）分式的乘除法法则；

（2）运用法则时注意符号的变化；

（3）因式分解在分式乘除法中的应用；

（4）步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如或.

六、布置作业

教材第146页习题15.2第1，2题．

本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．

第2课时　分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．

2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．

重点

分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．

难点

分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．

一、复习引入

1．分式的乘除法法则．

分式的乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．

分式的除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

2．乘方的意义：

an＝a·a·a·…·a（n为正整数）．

二、探究新知

例1（教材例4）　计算÷·.

解：

÷·

＝··　（先把除法统一成乘法运算）

＝.（约分到最简公式）

分式乘除运算的一般步骤：

（1）先把除法统一成乘法运算；

（2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；

（3）确定分式的符号，然后约分；

（4）结果应是最简分式．

1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．

（1）（）2＝·＝；

　　　　　↑　　　↑

　由乘方的意义　由分式的乘法法则

（2）同理：

（）3＝··＝；

（）n＝··…·n个＝＝.

2．分式乘方法则：

分式：

（）n＝.（n为正整数）

文字叙述：

分式乘方是把分子、分母分别乘方．

3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？

（1）an·an＝am＋n；

（2）am÷an＝am－n；

（3）（am）n＝amn；（4）（ab）n＝anbn；

（5）（）n＝.

三、举例分析

例2　计算：

（1）（）2；

（2）（）3÷·（）2.

（3）（－）2·（－）3÷（－）4；

（4）÷（）2.

解：

（1）原式＝＝；

（2）原式＝··＝－；

（3）原式＝·（－）·＝－x5；

（4）原式＝·＝.

学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：

①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．

例3　计算：

（1）·；

（2）（xy－x2）÷·；

（3）（）2÷（）2.

解：

（1）原式＝·＝；

（2）原式＝－··＝－y；

（3）原式＝·＝.

本例题是本节课运算题目的拓展，对于

（1）指数为字母，不过方法不变；

（2）（3）是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．

四、巩固练习

教材第139页练习第1，2题．

五、课堂小结

1．分式的乘方法则．

2．运算中的注意事项．

六、布置作业

教材第146页习题15.2第3题．

分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．

15．2.2　分式的加减（2课时）

第1课时　分式的加减

理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．

重点

运用分式的加减运算法则进行运算．

难点

异分母分式的加减运算．

一、复习提问

1．什么叫通分？

2．通分的关键是什么？

3．什么叫最简公分母？

4．通分的作用是什么？

（引出新课）

二、探究新知

1．出示教材第139页问题3和问题4.

教材第140页“思考”．

分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：

＋＝，－＝－，＋＝＋＝，－＝－＝.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则．

学生讨论：

组内交流，教师点拨．

2．同分母的分式加减法．

公式：

±＝.

文字叙述：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

3．异分母的分式加减法．

分式：

±＝±＝.

文字叙述：

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

三、典型例题

例1（教材例6）　计算：

（1）－；

（2）＋.

解：

（1）－

　＝＝＝；

（2）＋

　＝＋

　＝＝.

小结：

（1）注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．

（2）把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．

例2　计算：

＋－.

分析：

（1）分母是否相同？

（2）如何把分母化为相同的？

（3）注意符号问题．

解：

原式＝－－

　＝

　＝

　＝1.

四、课堂练习

1．教材第141页练习1，2题．

2．计算：

（1）－＋；

（2）＋；

（3）a＋2－；

（4）－.

五、课堂小结

1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．

2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．

3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．

4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．

六、布置作业

教材第146页习题15.2第4，5题．

从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．

第2课时　分式的混合运算

1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．

2．能灵活运用运算律简便运算．

重点

熟练地进行分式的混合运算．

难点

熟练地进行分式的混合运算．

一、复习引入

回忆：

我们已经学习了分式的哪些运算？

1．分式的乘除运算主要是通过（　　　　）进行的，分式的加减运算主要是通过（　　　　）进行的．

2．分数的混合运算法则是（　　　　），类似的，分式的混合运算法则是先算（　　　　），再算（　　　　），最后算（　　　　），有括号的先算（　　　　）里面的．

二、探究新知

1．典型例题

例1　计算：

（＋）÷.

分析：

应先算括号里的．

例2　计算：

x＋2y＋－.

分析：

（1）本题应采用逐步通分的方法依次进行；

（2）x＋2y可以看作.

例3　计算：

－·（－x－y）．

分析：

本题可用分配律简便计算．

例4　[－]÷（－）．

分析：

可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．

例5（教材例7）　计算（）2·－÷.

解：

（）2·－÷

＝·－·

＝－＝－

＝＝

＝.

点拨：

式与数有相同的混合运算顺序：

先乘方，再乘除，然后加减．

例6（教材例8）　计算：

（1）（m＋2＋）·；

（2）（－）÷.

解：

（1）（m＋2＋）·

＝·

＝·

＝·

＝－2（m＋3）；

（2）（－）÷

＝[－]·

＝·

＝

＝.

分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：

（1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．

（2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．

（3）注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．

（4）结果要化为最简分式．

强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．

三、巩固练习

1．

（1）－x－1；

（2）（1－）2÷；

（3）＋；

（4）（＋）÷.

2．教材第142页第1，2题．

四、课堂小结

1．分式的混合运算法则是先算（　　　　），再算（　　　　），最后算（　　　　），有括号先算（　　　　）里的．

2．一些题应用运算律、公式能简便运算．

五、布置作业

1．教材第146页习题15.2第6题．

2．先化简再求值－·，其中x＝－1.

分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．

15．2.3　整数指数幂

1．知道负整数指数幂a－n＝.（a≠0，n是正整数）

2．掌握整数指数幂的运算性质．

3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．

重点

掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数．

难点

负整数指数幂的性质的理解和应用．

一、复习引入

1．回忆正整数指数幂的运算性质：

（1）同底数的幂的乘法：

am·an＝am＋n（m，n是正整数）；

（2）幂的乘方：

（am）n＝amn（m，n是正整数）；

（3）积的乘方：

（ab）n＝anbn（n是正整数）；

（4）同底数的幂的除法：

am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；

（5）分式的乘方：

（）n＝（n是正整数）．

2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0＝1.

二、探究新知

（一）1.计算当a≠0时，a3÷a5＝＝＝，再假设正整数指数幂的运算性质am÷an＝am－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中的m＞n这个条件去掉，那么a3÷a5＝a3－5＝a－2.于是得到a－2＝（a≠0）．

总结：

负整数指数幂的运算性质：

一般的，我们规定：

当n是正整数时，a－n＝（a≠0）．

2．练习巩固：

填空：

（1）－22＝________，　　　　

（2）（－2）2＝________，

（3）（－2）0＝________，（4）20＝________，

（5）2－3＝________，（5）（－2）－3＝________．

3．例1　（教材例9）

计算：

（1）a－2÷a5；

（2）（）－2；

（3）（a－1b2）3；（4）a－2b2·（a2b－2）－3.

解：

（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝；

（2）（）－2＝＝a4b－6＝；

（3）（a－1b2）3＝a－3b6＝；

（4）a－2b2·（a2b－2）－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.

[分析]　本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．

4．练习：

计算：

（1）（x3y－2）2；

（2）x2y－2·（x－2y）3；

（3）（3x2y－2）2÷（x－2y）3.

5．例2　判断下列等式是否正确？

（1）am÷an＝am·a－n；

（2）（）n＝anb－n.

[分析]　类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．

（二）1.用科学记数法表示值较小的数

因为0.1＝＝10－1；0.01＝________＝________；

0．001＝________＝________……

所以0.000025＝2.5×0.00001＝2.5×10－5.

我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.

2．例3（教材例10）　纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓