最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现.doc

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现代测量数据处理方法

学生课题论文

论文题目：

最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现

学院：

土木工程学院

年级专业班：

2013级测绘工程一班

学生姓名：

学生学号：

指导老师

提交时间：

2016年1月

成绩

教师签名

目录

0引言 3

1曲线拟合与最小二乘法概述 4

1.1曲线拟合简介 4

1.2最小二乘法简介 5

2曲线拟合的最小二乘法原理 6

2.1原理的阐述及理论公式推导 6

2.2结合实例分析与理解 8

2.3总结归纳求解步骤 11

3基于MATLAB的最小二乘曲线拟合 12

3.1MATLAB软件介绍 12

3.2求解的基本理论阐述 13

3.3结合实例进行MATLAB解算 14

4最小二乘曲线拟合案例分析与解算 16

4.1案例叙述 16

4.2数据输入与分析 17

4.3进行拟合求解 18

4.3.1手工解算 18

4.3.1基于MATLAB的解算 19

4.4拟合函数的精度检测 21

4.5拟合函数在实际运用中的优势 22

5结论 23

参考文献 24

最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现

陈涛1

（1.重庆交通大学土木工程学院，重庆400074；）

摘要

随着人类认识能力的不断进步以及计算技术的快速发展，对于变量之间的未知关系，应用曲线拟合的方法对揭示其内在规律具有重要的理论与现实意义。

在科学实验数据的处理、分析时，实验数据拟合是经常采用的一种方法。

本文将采用最小二乘法对给定的实验数据进行拟合并得到拟合曲线，加深大家对最小二乘曲线拟合原理的理解。

同时将根据最小二乘拟合理论，并利用MATLAB数值分析软件进行编程，解决最小二乘曲线拟合在塔机起重量监测系统中的应用问题，实现相应案例数据的曲线拟合，获得了曲线模型对相应数据的拟合曲线，很好地解决了该工程案例的曲线拟合问题。

关键词：

曲线拟合，最小二乘法，MATLAB

0引言

在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组数据中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系。

由于观测数据往往不准确，因此不要求经过所有带点，而只要求在给定点上的误差按某种标准最小。

若记，就是要求向量的范数最小。

如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数作为误差度量的标准。

的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。

如果是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。

最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。

这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定的形式，然后利用最小二乘曲线拟合去构造一个近似解析式。

利用该方法“拟合”出的函数曲线虽然不能保证通过所有的样本点，但是很好地“逼近”了它们，充分反映了已知数据间内在的数量关系。

因此，这种方法在生产实践和科学实验中具有广泛的应用前景。

本文针对最小二乘曲线拟合的有关理论和应用问题以及相应的MATLAB实现进行探讨。

1曲线拟合与最小二乘法概述

1.1曲线拟合简介

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。

曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。

用解析表达式逼近离散数据的一种方法。

在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（i＝1，2，…，m），其中各是彼此不同的。

人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。

常称作拟合模型，在式中是一些待定参数。

当c在中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。

有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差（或离差）的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。

有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。

至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。

1.2最小二乘法简介

最小二乘法是法国大数学家A.M.Legendre最先于1805年发表的，其动机是为处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合，工程施工中，我们会经常取得一些相关的数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或实验中，我们可以通过作图或多段插值取得变量之间的联系，但作图和插值查图往往误差较大。

这时可采用最小二乘法先拟合出一个多项式，再根据此多项式求解任一自变量所对应的因变量较精确的结果，据此绘图可得到较精确、较合理的曲线。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星[2],经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

2曲线拟合的最小二乘法原理

2.1原理的阐述及理论公式推导

给定数据，设拟合函数形式为

2.11

其中为已知的线性无关函数（如果存在不全为零的常熟，使得，则称函数线性相关，否则称为线性无关）。

求系数，使得

2.12

最小，若

2.13

则称相应的

为最小二乘拟合曲线。

特别的，若

则称为次最小二乘拟合多项式。

下面用求多元函数极值的方法来求最小点。

将（2.12）式两边对求偏导。

并令

化简得

2.14

为了进一步化简，可以引入内积符号。

在线性代数中，中两个向量及的内积定义为，将它加以推广，得到下面结论：

设与是两个已知函数，记，，令

利用内积的定义，式（2.14）可以写为

2.15

其中

，，···，，2.16

方程组（2.15）称为正规方程组或法方程组，其中系数矩阵是对称的。

可以证明，当函数线性无关时，方程组（2.15）是对称正定的，因此有唯一解。

求出方程组（2.15）的解后，代入式（2.11）即可得最小二乘拟合函数。

另外，对带权的最小二乘拟合函数有如如下的定义：

设，给定在个节点上的函数值及一组权系数，若有函数，满足

则称为在个节点上关于权系数的最小二乘拟合函数。

2.2结合实例分析与理解

Intel公司董事长Moore在上个世纪的60年代就观察到一个很有趣的现象：

集成电路上可容纳的单晶体数量每隔一年半左右并会增长一倍，从而使集成电路的性能也能提高一倍。

据此他提出了轰动世界的Moore定律，预测这种增长趋势会一直延续下去。

下面给出Moore数据，如表1所示：

（年）

1959

1962

1963

1964

1965

（增长倍数）

1

3

4

5

6

表1Moore数据

画出相应的散点图如图1所示：

图1Moore数据散点图

表1中第二行数据为芯片上晶体数目在不同年代与1959年时的数目比较的倍数，通过观察k与t中间大致呈线性关系，如图1所示。

据此导出了著名的Moore定律。

通过以上的分析，可设

2.21

将表1中的数据代入式（2.21）的超定方程组

，

其中，t表示时间，k表示增长倍数，a,b为待定系数。

若将表1中的数据代入式（2.21），得线性方程组

2.22

方程组（2.22）是一个朝顶方程组，在这五个线性方程中，任意两个联立求解可得到十组不同的解。

即是说该方程组不存在通常意义上的解。

现将线性方程组（2.22）写出矩阵形式,其中

，，

此超定方程组五常义解，即是说不存在使得，但是该超定方程组存在最小二乘解，也就是说存在，使得达到最小，并且是线性方程组

2.23

的解。

我们称式（2.23）为法方程组，在本例中它是一个二阶线性方程组，即

解这个方程组得

.

由此得到Moore公式

.

需要说明的是，对于，显然，但是根据曲线拟合的最小二乘原理，从整体趋势上使偏差达到最小，此处的偏差，这个值已经很小了、满足要求。

2.3总结归纳求解步骤

下面我们就以上摩尔（Moore）预测公式实例总结利用最小二乘曲线拟合原理求解实际问题的步骤：

（1）分析数据，根据散点图设定拟合函数

（2）代入数据得到超定方程组

，

该超定方程组的矩阵形式为，其中

，

，.

（3）如表2所示，建立法方程组.

1959

1

1959

3837681

1962

3

5886

3849444

1963

4

7852

3853369

1964

5

9820

3857296

1965

6

11790

3861225

表2

据表2中计算结果得

其中m为实测数据组数。

（4）解法方程组得拟合参数向量

并据此得到拟合曲线函数

（5）通过将所得的拟合函数曲线与原始数据散点图进行同坐标对比或计算总体趋势上的偏差值检验拟合函数的精度。

3基于MATLAB的最小二乘曲线拟合

3.1MATLAB软件介绍

MATLAB是matrix和laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。

是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。

它