九年级上册数学压轴题精选及详细解析.docx
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九年级上册数学压轴题精选及详细解析
九年级上册数学压轴题精选及详细解析
∴在Rt△DEF中,EF=
=
,
∴OE=OF+EF=
+
=
∴y=
DF•OE=
•
•
=
(0<x<
)
考点:
1.垂径定理;2.勾股定理;3.三角形中位线定理
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:
△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系;
(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由.
【答案】
(1)证明见解析:
(2)AD=DG+DM.(3)AD=DG-DN.理由见解析.
【解析】
试题分析:
(1)利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形;
(2)延长ED使得DN=DM,连接MN,即可得出△NDM是等边三角形,利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案;
(3)利用等边三角形的性质得出∠H=∠2,进而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB即可得出答案.
试题解析:
(1)证明:
如图1所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=
AB.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=
AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形;
(2)结论:
AD=DG+DM.
证明:
如图2所示:
延长ED使得DN=DM,连接MN,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,
又∵DM=DN,
∴△NDM是等边三角形,
∴MN=DM,
在△NGM和△DBM中,
∵
∴△NGM≌△DBM,
∴BD=NG=DG+DM,
∴AD=DG+DM.
(3)结论:
AD=DG-DN.
证明:
延长BD至H,使得DH=DN.
由
(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等边三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°,
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DG-ND.
考点:
1.等边三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质.
3.如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP•AD.
(1)求证:
AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°,⊙O的半径为1,且P为
的中点,求AD的长.
【答案】
(1)证明见试题解析;
(2)3.
【解析】
试题分析:
(1)根据AB2=AP•AD,可以连接BP,构造相似三角形.根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD,再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,从而由等角对等边证明结论;
(2)因为有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,发现等边三角形ABC,再根据点P为弧的中点,连接BP,发现30°的直角三角形,且BP是直径,从而求得AP的长,AB的长.再根据已知中的条件求得AD的长.
试题解析:
(1)连接BP,∵AB2=AP•AD,∴
,又∵∠BAD=∠PAB,∴△ABD∽△APB,
∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC;
(2)由
(1)知AB=AC,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵P为
的中点,∴∠ABP=∠PAC=
∠ABC=30°,∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°,∴BP为直径,∴BP过圆心O,∴BP=2,∴AP=
BP=1,∴
,∵AB2=AP•AD,∴AD=
=3.
考点:
1.圆周角定理;2.相似三角形的判定与性质.
4.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足
,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
(1)求证:
AE⊥DE;
(2)若∠CBA=60°,AE=3,求AF的长.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)2.
【解析】
试题分析:
(1)首先连接OC,由OC=OA,
,易证得OC∥AE,又由DE切⊙O于点C,易证得AE⊥DE;
(2)由AB是⊙O的直径,可得△ABC是直角三角形,易得△AEC为直角三角形,根据AE=3求得AC的长,然后连接OF,可得△OAF为等边三角形,知AF=OA=
AB,在△ACB中,利用已知条件求得答案.
试题解析:
(1)证明:
连接OC,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵
∴∠BAC=∠EAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵DE切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,
∴AE⊥DE;
(2)解:
∵AB是⊙O的直径,
∴△ABC是直角三角形,
∵∠CBA=60°,
∴∠BAC=∠EAC=30°,
∵△AEC为直角三角形,AE=3,
∴AC=2
,
连接OF,
∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,
∴△OAF为等边三角形,
∴AF=OA=
AB,
在Rt△ACB中,AC=2
,tan∠CBA=
,
∴BC=2,
∴AB=4,
∴AF=2.
考点:
切线的性质.
5.
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求
的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,
,
,点M,N是BD边上的任意两点,且
,将△ABM绕点A逆时针旋转
至△ADH位置,连接
,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若
,
,
,求AG,MN的长.
【答案】
(1)45°.
(2)MN2=ND2+DH2.理由见解析;(3)5
.
【解析】
试题分析:
(1)根据高AG与正方形的边长相等,证明三角形全等,进而证明角相等,从而求出解.
(2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论.
(3)设出线段的长,结合方程思想,用数形结合得到结果.
试题解析:
(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).
∴∠BAE=∠GAE.
同理,∠GAF=∠DAF.
∴∠EAF=
∠BAD=45°.
(2)MN2=ND2+DH2.
∵∠BAM=∠DAH,∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.
∴∠HAN=∠MAN.
又∵AM=AH,AN=AN,
∴△AMN≌△AHN.
∴MN=HN.
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.
∴NH2=ND2+DH2.
∴MN2=ND2+DH2.
(3)由
(1)知,BE=EG,DF=FG.
设AG=x,则CE=x-4,CF=x-6.
在Rt△CEF中,
∵CE2+CF2=EF2,
∴(x-4)2+(x-6)2=102.
解这个方程,得x1=12,x2=-2(舍去负根).
即AG=12.(8分)
在Rt△ABD中,
∴BD=
.
在
(2)中,MN2=ND2+DH2,BM=DH,
∴MN2=ND2+BM2.
设MN=a,则a2=(12
-3
-a)2+(3
)2.
即a2=(9
-a)2+(3
)2,
∴a=5
.即MN=5
.
考点:
1.正方形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.勾股定理.
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