非线性方程的不动点迭代方法研究.docx
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非线性方程的不动点迭代方法研究
重庆文理学院
2011-2012下学期《数值方法》课程论文
题目:
非线性方程的不动点迭代方法研究
学科专业:
信息与计算科学
指导教师:
学生:
学号:
中国﹒重庆
2012年06月
摘要
通过从现实的一个球体的实际问题引出对非线性方程的不动点迭代研究,在理解迭代规则的基础上通过对迭代法和不动点迭代法的基本思想即找的同解变形,然后运用初值迭代,求出误差范围内的近似解。
运用函数连续性证明不动点的存在性和运用中值定理和均值定理证明不动点唯一性,进而推导出不动点迭代法的推导步骤。
然后又用均值定理和数学归纳法证明出收敛性,并在此基础上引出误差边界。
再通过对开题提出的球体问题案例的求解,进一步来加深非线性方程对不动点迭代法实证说明,由此联系到不动点迭代法在其他一些领域如物理和工程等的运用。
不动点迭代式(2.2)通常只有线性收敛,有时甚至不收敛,进而在原有的基础上拓展到加速迭代法的收敛性的讨论通常,从而对Steffensen加速迭代和Aitken(埃特金)加速迭代的讨论。
关键字不动点迭代;收敛性;Steffensen加速迭代;Aitken加速迭代
1问题的提出--------------------------------------------------------1
2算法的思想--------------------------------------------------------1
2.1迭代法的基本思想----------------------------------------------1
2.2不动点迭代法的基本思想----------------------------------------2
3算法的推导及步骤--------------------------------------------------2
3.1算法的推导----------------------------------------------------2
3.2算法的步骤----------------------------------------------------3
4算法的分析--------------------------------------------------------4
4.1收敛性分析----------------------------------------------------4
4.2误差性分析----------------------------------------------------6
4.3稳定性分析----------------------------------------------------7
5算法的实现--------------------------------------------------------7
5.1案例----------------------------------------------------------7
5.2求解过程------------------------------------------------------7
5.3不动点迭代法代码及输出结果------------------------------------8
6运用举例---------------------------------------------------------10
7知识拓展---------------------------------------------------------10
7.1Steffensen加速迭代-------------------------------------------10
7.2Aitken(埃特金)加速迭代法-------------------------------------11
1问题的提出
在现实生活当中我们会遇到很多关于诸如像球体的物理和工程问题,例如:
球体的半径为,并浸入水中,深度为,假设这个球由由一种密度为=0.638的长叶松构成,且它的半径=10cm。
当球浸入水中时,它的进水的质量为多少?
而这些现实中的问题的解决都要涉及到求解方程的根、线性和非线性方程组以及微分方程的数值解。
如上例问题的解决:
当一个球以深度d浸入水中时,所排开水的质量为:
(1.1)
而球体的质量为:
(1.2)
根据阿基米德定律有:
(1.3)
由方程(1.1)、(1.2)、(1.3)联立得:
而当r=10,=0.638时,方程为:
此时这个物理学中的实际问题就变为了一个3次非线性方程的根,在根据具体现实情况舍去不合理的根。
要解决如上的一些实际问题,就需要求解方程的根、线性和非线性方程组的解以及微分方程的解。
计算机科学中的一个基本要素就是迭代,迭代技术用来求解方程的根、线性和非线性方程组的解以及微分方程的解,而不动点迭代法就是迭代法的一种基本方法。
在此我们仅对非线性方程的不动点迭代进行研究。
2算法的基本思想
2.1迭代法的基本思想
迭代算法是数值计算方法中一种逐次逼近的方法,首先将方程改写成某种等价的形式,由等价形式构造相应的迭代公式然后选取方程的某个初值近似根代入公式反复校正根的近似值,直到满足精度为止。
2.2不动点迭法代的基本思想
将非线性方程化为等价形式:
(2.1)
称为函数的一个不动点,给定初始近似值,可以得到,如此反复,构造迭代公式:
(2.2)
此处为迭代函数。
如果对任何初值,由(2.2)得到的序列有极限
则称迭代公式(2.2)收敛,且是的不不动点,故(2.2)就是不动点迭代法
3算法的推导及步骤
3.1算法的推导
3.1.1不动点的存在性推导及证明
设是一个连续函数,且是由不动点迭代生成的序列。
如果,则是的不动点。
证明:
如果,则。
根据这个结论,的连续性和存在如下关系:
(3.1)
因此,是的不动点。
3.1.2不动点的唯一性推导及证明
设函数。
如果对于所有,映射的范围满足,则函数在内有一个不动点。
(1)
此外,设定义在内,且对于所有,存在正常数,使得,,则函数在内有唯一的不动点。
(2)
证明:
对于命题
(1)
如果或,则断言为真;否则必须满足,的值必须满足。
表达式有如下特性:
且
对应用中值定理,而且由于常量,可推断出存在数,且,满足。
因此,,且是的不动点。
对于命题
(2)
必须证明结果是唯一的。
采用反证法,设存在两个不动点和。
根据均值定理,可推断出存在数,满足:
(3.2)
根据假设,有且,对3.2式的右边进行化简可得
但是这与命题
(2)中假设在内有矛盾,因此不可能存在两个不动点。
所以,在命题
(2)的假设条件下,在内有一个唯一的不动点。
3.2算法的步骤
(1)确定方程的等价形式,为确保迭代工程的收敛,要求满足李普希茨条件(或);
(2)选取初始值,按公式
进行迭代;
(3)若,则停止计算。
4算法分析
4.1收敛性分析
设有:
①,;
②是一个正常数;
③;
④对于所有,有。
如果对于所有,有,则迭代将收敛到唯一的不动点。
在这种情况下,称为吸引(attractive)不动点。
(3)
如果对于所有,有,则迭代将不会收敛到这种情况下,称为排斥(repelling)不动点,而且迭代显示出局部发散性。
(4)
批注:
①在命题(4)中假设。
②因为函数在包含的一段间隔中是连续的,可在命题(3)和命题(4)中分别利用更简单的判别条件和。
证明:
对于命题(3)
首先要证明点都位于内。
从开始,根据均值定理,可推导出存在一个值满足
(3.3)
因此,比更接近,且如图1.一般情况下设,则:
(3.4)
因此,,而且可归纳出所有的点位于内。
图1、,,,和之间的关系
为完成命题(3)的证明,需要证明如下表达式成立:
(3.5)
首先,用归纳法的证明可建立如下不等式:
(3.6)
当时满足关系式3.3。
利用归纳假设和关系式3.4的思路,可得到:
这样,通过归纳法可以得出,所有的满足不等式3.6.由于,所以当趋于无穷大时,项趋近于0.因此
(3.7)
的极限压缩在左右两边的0之间,所以可得出,且根据前面定理3.1,迭代收敛到不动点。
因此命题(3)得证。
对于命题(4)
首先要证明点都位于内。
从开始,根据均值定理,可推导出存在一个值满足:
(3.8)
因此,比更接近,且,一般情况下设,则:
(3.9)
因此,,而且可归纳出所有的点位于内。
为完成命题(3)的证明,需要证明如下表达式成立:
(3.10)
首先,用归纳法的证明可建立如下不等式:
(3.11)
当时满足关系式3.8。
利用归纳假设和关系式3.9的思路,可得到:
这样,通过归纳法可以得出,所有的满足不等式3.11.由于,所以当趋于无穷大时,项趋近于。
因此
(3.12)
的极限延伸到右边的之外,所以可得出。
因此命题(4)得证。
4.2误差分析
设函数满足:
①,;
②是一个正常数;
③;
④对于所有,有。
当用去近似时,引入误差边界如下:
对于所有
对于所有
4.3稳定性分析
在原有不动点迭代法的基础上将原有的初始值修改为然后按照迭代规则:
求出迭代通项最后比较其最后的所得值与真实值满足误差范围内内则其算法是稳定的即:
5算法实现
5.1案例
在此案例就已论文开头提出的关于物理球体问题为例:
球体的半径为,并浸入水中,深度为,假设这个球由由一种密度为=0.638的长叶松构成,且它的半径=10cm。
当球浸入水中时,它的进水的质量为多少?
5.2求解过程
当一个球以深度d浸入水中时,所排开水的质量为:
(5.1)
而球体的质量为:
(5.2)
根据阿基米德定律有:
(5.3)
由方程(5.1)、(5.2)、(5.3)联立得:
而当=10,=0.638时,方程为:
此时这个物理学中的实际问题就变为了一个3次非线性方程的根。
对于此方程的求解可以用到不动点迭代法求解。
解方程步骤如下:
首先有题意可知起
①方程的等价形式为:
当时:
②选取初始值=12然后按公式进行迭代。
③若,则停止计算。
5.3不动点迭代法代码及输出结果
代码:
function [k,p,err,P]=fixpt(g,p0,tol,max1)
P
(1)=p0;
for k=2:
max1
P(k)=feval(g,P(k-1));
err=abs(P(k)-P(k-1));
relerr=err/(abs(P(k))+eps);
p=P(k);
if (err end if k == max1 disp('maximun nuumber of iterations exceeded') end P=P'; [k,p,err,P]=fixpt(gx,12,0.000000000001,200) 输出结果: k= 45 p= 11.86150150813511 err= 1.007904870675702e-011 P= 12.00000000000000
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- 非线性 方程 不动 点迭代 方法 研究