第五章相交线与平行线导学案.docx
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第五章相交线与平行线导学案
第五章相交线与平行线
学校:
年级:
七年级主备人:
审核:
课题:
5.1.1相交线
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、了解两条直线相交所构成的角,理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
2、理解对顶角性质的推导过程,并会用这个性质进行简单的计算。
3、通过辨别对顶角与邻补角,培养识图的能力。
学习重点:
邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。
学习难点:
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2、
填空:
①两个角的和是,这样的两个角叫做互为补角,
即其中一个角是另一个角的补角。
②同角或的补角。
二、探索与思考
(一)邻补角、对顶角
1、观察思考:
剪刀剪开纸张的过程,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角度也相应。
我们把剪刀的构成抽象为两条直线,就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。
2、探索活动:
①任意画两条相交直线,在形成的四个角(∠1,∠2,∠3,∠4)中,两两相配共能组成对角。
分别是
。
②分别测量一下各个角的度数,是否发现规律?
你能否把他们分类?
完成教材中2页表格。
③再画两条相交直线比较。
3、归纳:
邻补角、对顶角定义
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点的两个角是邻补角。
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点的两个角是对顶角。
4、总结:
①两条直线相交所构成的四个角中,邻补角有对。
对顶角有对。
②对顶角形成的前提条件是两条直线相交。
5、对应练习:
①下列各图中,哪个图有对顶角?
BBBA
CDCDCD
AA
BBB(A)
CDCACD
AD
(二)邻补角、对顶角的性质
1、邻补角的性质:
邻补角。
注意:
邻补角是互补的一种特殊的情况,数量上,位置上有一条。
2、对顶角的性质:
完成推理过程
如图,∵∠1+∠2=,∠2+∠3=。
(邻补角定义)
∴∠1=180°-,∠3=180°-(等式性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
或者∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义),
∴∠l=∠3(同角的补角相等).
由上面推理可知,对顶角的性质:
对顶角。
(三)应用
(一)例如图,已知直线a、b相交。
∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数
解:
∠3=∠1=40°()。
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°()。
∠4=∠2=140°()。
你还有别的思路吗?
试着写出来
(二)练一练:
教材3页练习(在书上完成)
(三)变式训练:
把例题中∠1=40°这个条件换成其他条件,而结论不变,自编几道题.
变式1:
把∠l=40°变为∠2-∠1=40°
变式2:
把∠1=40°变为∠2是∠l的3倍
变式3:
把∠1=40°变为∠1:
∠2=2:
9
三、学习体会:
1、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
2、预习时的疑难解决了吗?
课题:
5.1.2垂线
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,培养学生用几何语言准确表达的能力。
2、了解垂直概念,能说出垂线的性质,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.。
学习重点:
垂线的定义及性质。
学习难点:
垂线的画法
学具准备:
相交线模型,三角尺,量角器
一、学前准备
1、如图,若∠1=60°,那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______
2、改变上图中∠1的大小,若∠1=90°,请画出这种图形,并求出此时
∠2、∠3、∠4的大小。
二、学习探究
(一)阅读教材3-4页完成下列问题:
1、上述问题中、当∠1=90°时、两条直线的关系是__________,两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。
2、用语言概括垂直定义
两条直线相交,所成四个角中有一个角是_____时,我们称这两条直线_______,
其中一条直线是另一条的_____,他们的交点叫做_____。
3、垂直的表示方法:
如果直线AB、CD互相垂直,记作,垂足为O。
4、垂直的推理应用:
由两条直线垂直,可知四个角为直角。
记为∵AB⊥CD(已知)
∴∠AOD=(垂直定义)
由两条直线交角为直角,可知两条直线互相垂直。
记为∵∠AOD=90°(已知)
∴(垂直定义)
(二)阅读教材4完成下下列问题
1、用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L,画出直线L的垂线,能画几条?
L
小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,
即存在,但位置有不______性。
(2)怎样才能确定直线L的垂线位置呢?
在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,能画几条?
再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
B.
.LL
A
从中你能得出什么结论?
____________________________________________
2、变式训练,请完成课本P5练习第2题的画图。
画完图后,归纳总结:
画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在______的垂线。
三、小结反思
1、你有什么收获?
2、你还有什么疑惑?
四、【自我检测】(有困难同学可以选做)
(一)、判断题.
1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.()
2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.()
3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.()
4.两条直线相交有一组对顶角互补,那么这两条直线互相垂直.()
(二)、填空题.
1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,
则∠BOD=________。
2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,
且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________。
3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,
那么射线OE与直线AB的位置关系是_________。
(三)、解答题
已知:
如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,
试判断OD与OE的位置关系。
课题:
5.1.2垂线
(2)
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,培养学生用几何语言准确表达的能力。
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离。
学习重点
垂线的性质及简单应用
学习难点
垂线的性质及简单应用
学习过程
一、学前准备
1、上学期我们学习过“什么最短”的几何知识,还记得吗?
2、思考课本P5图5.1-8中提出问题:
要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
3、自学课本P5-6页的内容后,你能解决2中提出的问题吗?
若不能,有哪方面的困惑?
二、学习探究
1、问题转化
如果把小河看成是直线L,把要挖的渠道看成是一条线段,则该线段的一个端点自然是农田P,另一个端点就是直线L上的某个点。
那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题?
(提示:
用数学眼光思考:
在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短?
)
2、学具感受
自制学具:
在硬纸板上固定木条L,L外有一点P,另一根可以转动
的木条a一端固定在点P,使木条a与L相交,左右摆动木条a,会发
现它们的交点A随之变化,线段PA长度也随之变化.观察:
当PA最短时,直线a与L的位置关系如何?
用三角尺检验一下。
3、画图验证
(1)画直线L,在L外取一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用度量法比较线段PO、PA1、PA2、PA3……的大小,.得出线段最小。
4、归纳结论:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,。
简单说成:
.
5.知识类比
(1)垂线段与垂线有何区别联系?
(2)垂线段与线段有何区别与联系?
6、解决问题:
此时你会解决课本P5图5.1-8中提出的问题吗?
在图形中画出“最短渠道”的位置。
7、探究“点到直线的距离”?
定义:
(1)学习课本P6第二段内容回答什么叫“点到直线的距离”?
默写一遍:
叫做点到直线的距离。
(2)对照课本P5图5.1-9,回答线段PO、PA1、PA2、PA3、PA4……中,哪一条或几条线段的长度是点P到直线L的距离?
(3)如果课本P5图5.1-8中比例尺为1:
100000,试计算农田P到小河的距离有多远?
三、运用举例
例1:
判断对错,并说明理由:
.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离。
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离。
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离。
四、反思总结
本节课你学到了哪些知识或方法?
还有什么困惑?
课题:
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、理解同位角、内错角、同旁内角的意义。
2、会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角。
3、培养学生分析、抽象、归纳能力,培养学生的识图能力
学习重点:
同位角、内错角、同旁内角的识别。
学习难点:
较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别。
学习过程
一、学前准备
在前面我们学习了两条直线相交于一点,得到四个角,即“两线四角”,这四个角里面,有对对顶角,有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交,结果又会怎样呢?
二、探究学习
1、阅读教材6-7完成下表
探索:
如图,直线c分别与直线a、b相交(也可以说两条
直线a、b被第三条直线c所截),得到8个角,通常称为
“三线八角”,那么这8个角之间有哪些关系呢?
观察填表:
表一
位置1
位置2
结论
∠1和∠5
处于直线c的同侧
处于直线a、b的同一方
这样位置的一对角就称为同位角
∠2和∠8
处于直线c的()侧
这样位置的一对角就称为()
∠3和∠6
处于直线a、b的()方
这样位置的一对角就称为()
∠4和∠7
这样位置的一对角就称为()
表二
位置1
位置2
结论
∠4和∠8
处于直线c的两侧
处于直线a、b之间
这样位置的一对角就称为内错角
∠3和∠5
这样位置的一对角就称为()
表三
位置1
位置2
结论
∠3和∠8
处于直线c的()侧
处于直线a、b()
这样位置的一对角就称为同旁内角
∠4和∠5
这样位置的一对角就称为()
2、归纳梳理
(1)“同位角、内错角、同旁内角”与“邻补角、对顶角”在识别方法上有什么区别?
(2)归纳总结同位角、内错角、同旁内角的特征:
同位角:
“F”字型,“同旁同侧”
“三线八角”内错角:
“Z”字型,“之间两侧”
同旁内角:
“U”字型,“之间同侧”
三、例题学习
自学课本P7例题
四、练习巩固
1.如图1所示,∠1与∠2是___角,∠2与∠4
是_角,∠2与∠3是___角.
(图1)
2.如图2所示,∠1与∠2是____角,是直线______
和直线_______被直线_______所截而形成的,∠1与∠3
是_____角,是直线________和直线______被直线
________所截而形成的.
(图2)
3、如图,直线DE、BC被直线AB所截.
⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?
⑵如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗?
为什么?
四、当堂检测:
1说出下列各对角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的什么角?
(1)∠1与∠2,∠1与∠3,∠3与∠4,∠2与∠4
(2)∠5与∠8,∠5与∠7,∠6与∠7,∠6与∠8
(3)∠9与∠10,∠11与∠12,∠9与∠11,∠10与∠12,∠B与∠13
2、如图(3),直线、被所截,∠1与∠2是内错角,
直线、被所截,∠1与∠B是同位角;
直线、被所截,∠3和∠B是同位角。
3、如右图所示:
(1)∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6是直线、
被第三条直线所截而成的。
(2)∠2的同位角是,∠1的同位角是。
(3)∠3的内错角是,∠4的内错角是。
(4)∠6的同旁内角是,∠5的同旁内角是,
(5)∠4与∠A是同旁内角吗?
为什么?
五、学习反思
课题:
5.2.1平行线
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的两种位置关系;
2、理解并掌握平行公理及其推论的内容;
3、会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线;
4、了解在实践中总结出来的基本事实的作用和意义,并初步感受公理化思想。
学习重点:
探索和掌握平行公理及其推论.
学习难点:
对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质
学习过程
一、学前准备
1、在上学期我们学过点和直线的位置关系,同学们还记得点和直线有几种位置关系吗?
请画出来,并尝试用几何语言来表示.
2、两条直线相交有个交点。
3、平面内两条直线的位置关系除相交外,还有哪些呢?
二、探索与思考
1、阅读教材12-13,完成下列探究
(1)探究一:
我们知道,火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象。
一般地,在同一平面内,不相交的两条直线叫做。
如图,记作或,读作:
请同学们思考一下:
在同一平面内,两条不重合的直线有几种位置关系?
动手画一画,并尝试用几何语言来表示。
探索二:
(2)画平行线
1、
工具:
直尺、三角板
2、方法:
一“落”;二“靠”;三“移”;四“画”。
3、请你根据此方法练习画平行线:
已知:
直线a,点B、点C,
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?
通过观察和画图,可以体验一个基本事实(平行公理):
经过直线外一点,一条直线与这条直线平行。
同样,我们还有(平行线的传递性):
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
简单的说就是:
。
用几何语言可表示为:
如果
∥
,
∥
,那么.
3、练习巩固
(一)选择题
1、下列说法中,正确的是()
A.两直线不相交则平行B.两直线不平行则相交
C.若两线段平行,那么它们不相交D.两条线段不相交,那么它们平行
2、下列说法中,错误的有().
①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种
A.3个B.2个C.1个D.0个
(二)填空题:
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________.
2.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的
另一条必__________.
3.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________.
4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.
5、在同一平面内,与已知直线L平行的直线有条,而经过L外一点,与已知直线L平行的直线有且只有条。
6、在同一平面内,直线L1与L2满足下列条件,写出其对应的位置关系:
(1)L1与L2没有公共点,则L1与L2;
(2)L1与L2有且只有一个公共点,则L1与L2;
(3)L1与L2有两个公共点,则L1与L2。
7、在同一平面内,一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角的大小关系是。
8、平面内有a、b、c三条直线,则它们的交点个数可能是个。
(三)、读下列语句,并画出图形:
⑴点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行,直线EF也经过点P且与直线AB垂直.
⑵直线AB,CD是相交直线,点P是直线AB,CD外一点,直线EF经过点P且与直线AB平行,与直线CD相交于E.
四、学习反思
本节课你有哪些收获?
课题:
5.2.2平行线的判定
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标
1、使学生掌握平行线的两判定方法,并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理,认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
学习重点:
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导
学习难点:
定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。
学习过程:
一、知识储备
1、填空:
经过直线外一点,________与这条直线平行。
2、如图1所示,∠1与∠2是___角,∠2与∠4
是_角,∠2与∠3是___角.
二、新知探究
1、如何过直线a外一点P画直线a的平行线。
并思考解答下列问题
(1)画图过程中三角尺起了什么作用?
(2)这两个角有什么样的位置关系,我们能否得到判定两直线平行的方法?
由此可得:
两直线平行的判定条件
1:
。
简述为:
。
应用格式:
∵∠1=∠2(已知)
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
2、应用:
木工师傅使用角尺画平行线,有什么道理?
3、思考:
教材14页(试着写出推理过程)
判定方法2:
应用格式:
。
∵∠2=∠3(已知)
简单说成:
。
∴a∥b(内错角相等,两直线平行)
三、知识巩固
1、如图1所示,若∠1=∠2,则_____∥______,
根据是______.
若∠1=∠3,则______∥______,
根据是_________.
2.如图所示,已知∠1=120°,∠2=60°.试说明
与
的关系
四、学习反思
你有什么收获、?
还有那些困惑?
5.2.2平行线的判定
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、使学生掌握平行线的另两种定方法,并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理,认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
学习重点:
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导
学习难点:
定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。
学习过程:
一、知识准备
1、判定两条直线平行的方法有那些?
定义:
。
平行线的传递性:
。
平行线的判定方法1:
。
平行线的判定方法2:
。
2、除了以上判定两直线平行的方法外,还有其他方法吗?
二、学习探究
1、阅读教材15页,完成下列问题
我们有同位角相等,两直线平行得到内错角相等两直线平行。
能否利用同旁内角来判定两直线平行呢?
如图:
∠1+∠4=180°,能得到a∥b吗?
试写出推理过程
∵∠1+∠4=180°(已知)
又∵∠3+∠4=180°()
∴∠1=∠3()
∴a∥b()
由此可得:
判定方法3:
应用格式:
。
∵∠2+∠4=180°(已知)
简单说成:
。
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)
三、应用
(一)自学例题:
教材15页
(二)练一练:
教材15页练习1、2、3
(三)总结直线平行的条件
(1)
(2)
方法1:
若a∥b,b∥c,则a∥c。
即两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行。
方法2:
如图1,若∠1=∠3,则a∥c。
即。
方法3:
如图1,若。
即。
方法4:
如图1,若。
即。
方法5:
如图2,若a⊥b,a⊥c,则b∥c。
即
。
四、学习体会
5.2.2平行线判定方法的应用
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、灵活选用平行线的判定方法进行说理。
2、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,进一步发展学生的空间观念和有条理的表达能力。
学习重点:
平行线判定方法的应用
学习难点:
灵活选用平行线的判定方法、有条理的说理。
学习过程:
一、学前准备
1、你知道哪些判定两直线平行的方法?
方法1:
三条直线a、b、c、,若a∥b,a∥c,则bc,理由是
。
方法2:
。
方法3:
。
方法4:
。
方法5:
。
2、应用巩固
如右图:
如果∠A=∠CBE,那么∥;
如果∠C=∠CBE,那么∥;
如果∠A+∠D=180°,那么∥;
如果∠A+∠ABC=180°,那么∥;
二、新例学习
例:
已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断
直线a、b的位置关系,并说明理由。
例:
如图,已知
,
,试问EF是
否平行GH,并说明理由。
三、练习巩固
1、下列说法错误的是()
A.同位角不一定相等B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行
2、如图1,直线a,b被直线c所截,现给出下
列四个条件:
①∠1=∠5;②∠1=∠7;
③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明
a∥b的条件序号为()
A.①②B.①③C.①④D.③④(图1)
3、如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
四、拓展延伸
1、已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a、b的位置关系,并说明理由.
2、如图,已知
,
,试问EF是否平行GH,并说明理由。
3.、如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
4、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=30°,试说明AB∥CD
5、课后反思
课题:
5.3.1平行线的性质
班级:
姓名:
学号:
小组:
学习目标:
1、使学生理解平行线的性质,能初步运用平行线的性质进行有关计算。
2、通过本节课的教学,培养学生的概括能力和“观察-猜想-证明”的科学探索方法,培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力。
3、培养学生的主体意识,向学生渗透讨论的数学思想,培养学生思维的灵活性和广阔性。
学习重点:
平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点.
学习难点:
正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点.
学习过程:
一、学前准备
通过前面的学习,你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗?
⑴平行线的定义:
⑵平行线的传递性:
⑶平行线的判定公理1:
⑷平行线的判定定理2:
⑸平行线的判定定理3:
⑹平行线的判定推论:
二、自学探究
探索一:
请同学们仔细阅读课本P19页,完成课本上的探究.根据探究内容,我们可以得到平行线的性质,如图,将下列空白补充完整(填1种就可以)
即:
归纳性质:
同位角。
两条平行线被第三条直线所截,。
。
∵AB∥CD(已知)
同位角。
∴∠1=∠5(两直线平行,
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- 关 键 词:
- 第五 相交 平行线 导学案