ARCH模型和GARCH模型yukz.docx

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ARCH模型和GARCH模型yukz

ARCH模型和GARCH模型

RobertF.Engle

CliveW.J.Granger

本章模型与以前所学的异方差的不同之处：

随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。

引子---问题的提出

以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。

但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。

例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，

yt=yt-1+εt

其中εt为白噪声过程，

1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。

图1日元兑美元汇率序列JPY（1995-2000）图2日元兑美元汇率差分序列（收益）D（JPY）

图3收益绝对值序列（1995-2000）图4D（JPY）的平方（1995-2000）

这种序列的特征是

（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。

（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。

（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。

图5给出高峰厚尾分布示意图。

正态分布曲线

高峰厚尾分布曲线

图5高峰厚尾分布特征示意图

显然现期方差与前期的“波动”有关系。

描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。

使用ARCH模型的理由是：

（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；

（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。

§1、ARCH模型

1、条件方差

多元线性回归模型：

条件方差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为

其中

是信息集。

2、ARCH模型的定义

Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。

ARCH（q）模型：

（1）

的无条件方差是常数，但是其条件分布为

（2）

其中

是信息集。

方程

（1）是均值方程（meanequation）

✓

：

条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差

方程

（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），由二项组成

✓常数

✓ARCH项

：

滞后的残差平方

由于εt2的非负性，对?

i应有如下约束，

ω>0,?

i?

0,i=1,2,…q

当全部?

i=0,i=1,2,…,q时，条件方差?

t2=ω。

因为方差是非负的，所以要求ω>0。

3、ARCH模型的平稳性条件

为保证?

t2是一个平稳过程，

（2）式的特征方程

1-?

1L-?

2L2-…-?

qLq=0

的根都应在单位圆之外。

对?

i,i=1,2,…,q的另一个约束是

0?

?

1+?

2+…+?

q<1

对

（2）式求期望，

?

t2=ω+?

1E（εt-12）+?

2E（εt-22）+…+?

qE（εt-q2）

=ω+?

1?

t-12+?

2?

t-22+…+?

q?

t-q2

当T?

?

时，?

2=ω+?

1?

2+?

2?

2+…+?

q?

2

则无条件方差

可见若保证?

t2是一个平稳过程，应该有约束

0?

（?

1+?

2+…+?

q）<1。

因为Var（yt）=Var（εt）=?

t2，所以上式可以用来预测yt的方差。

综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有

1）1-?

1L-?

2L2-…-?

qLq=0的根都应在单位圆之外。

2）0?

?

1+?

2+…+?

q<1

为使模型能够成立还需要满足ω>0,?

i?

0,i=1,2,…q

例1ARCH

（1）模型中参数

的含义：

当

时，

当

时，退化为传统情形，

4、ARCH效应检验

ARCHLMTest：

拉格朗日乘数检验

建立辅助回归方程

此处

是回归残差。

原假设：

H0：

序列不存在ARCH效应

即H0：

可以证明：

若H0为真，则

此处，m为辅助回归方程的样本个数。

R2为辅助回归方程的确定系数。

Eviews操作：

①先实施多元线性回归

②view/residual/Tests/ARCHLMTest

§2、ARCH模型的实证分析

从收盘价，得到收益率数据序列。

seriesr=log（p）-log（p（-1））

点击序列p，然后view/linegraph

1、检验是否有ARCH现象。

首先回归。

取2000到2254的样本。

输入lsrc，得到

DependentVariable:

R

Method:

LeastSquares

Date:

10/21/04Time:

21:

26

Sample:

20002254

Includedobservations:

255

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

0.000432

0.001087

0.397130

0.6916

R-squared

0.000000

Meandependentvar

0.000432

AdjustedR-squared

0.000000

S.D.dependentvar

0.017364

S.E.ofregression

0.017364

Akaikeinfocriterion

-5.264978

Sumsquaredresid

0.076579

Schwarzcriterion

-5.251091

Loglikelihood

672.2847

Durbin-Watsonstat

2.049819

问题：

这样进行回归的含义是什么？

其次，view/residualtests/ARCHLMtest，得到

ARCHTest:

F-statistic

5.220573

Probability

0.000001

Obs*R-squared

44.68954

Probability

0.000002

TestEquation:

DependentVariable:

RESID^2

Method:

LeastSquares

Date:

10/21/04Time:

21:

27

Sample（adjusted）:

20102254

Includedobservations:

245afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

0.000110

5.34E-05

2.060138

0.0405

RESID^2（-1）

0.141549

0.065237

2.169776

0.0310

RESID^2（-2）

0.055013

0.065823

0.835766

0.4041

RESID^2（-3）

0.337788

0.065568

5.151697

0.0000

RESID^2（-4）

0.026143

0.069180

0.377893

0.7059

RESID^2（-5）

-0.041104

0.069052

-0.595260

0.5522

RESID^2（-6）

-0.069388

0.069053

-1.004854

0.3160

RESID^2（-7）

0.005617

0.069178

0.081193

0.9354

RESID^2（-8）

0.102238

0.065545

1.559806

0.1202

RESID^2（-9）

0.011224

0.065785

0.170619

0.8647

RESID^2（-10）

0.064415

0.065157

0.988613

0.3239

R-squared

0.182406

Meandependentvar

0.000305

AdjustedR-squared

0.147466

S.D.dependentvar

0.000679

S.E.ofregression

0.000627

Akaikeinfocriterion

-11.86836

Sumsquaredresid

9.19E-05

Schwarzcriterion

-11.71116

Loglikelihood

1464.875

F-statistic

5.220573

Durbin-Watsonstat

2.004802

Prob（F-statistic）

0.000001

得到什么结论？

2、模型定阶：

如何确定q

实施ARCHLMtest时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。

此处选取q＝3。

因此，可以对残差建立ARCH（3）模型。

3、ARCH模型的参数估计

参数估计采用最大似然估计。

具体方法在GARCH一节中讲解。

如何实施ARCH过程：

由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH

得到如下结果

DependentVariable:

R

Method:

ML-ARCH

Date:

10/21/04Time:

21:

48

Sample:

20002254

Includedobservations:

255

Convergenceachievedafter13iterations

Coefficient

Std.Error

z-Statistic

Prob.

C

-0.000640

0.000750

-0.852888

0.3937

VarianceEquation

C

9.24E-05

1.66E-05

5.569337

0.0000

ARCH

（1）

0.244793

0.082640

2.962142

0.0031

ARCH

（2）

0.081425

0.077428

1.051624

0.2930

ARCH（3）

0.457883

0.109698

4.174043

0.0000

R-squared

-0.003823

Meandependentvar

0.000432

AdjustedR-squared

-0.019884

S.D.dependentvar

0.017364

S.E.ofregression

0.017535

Akaikeinfocriterion

-5.495982

Sumsquaredresid

0.076872

Schwarzcriterion

-5.426545

Loglikelihood

705.7377

Durbin-Watsonstat

2.042013

为了比较，观察将q放大对系数估计的影响

DependentVariable:

R

Method:

ML-ARCH

Date:

10/21/04Time:

21:

54

Sample:

20002254

Includedobservations:

255

Convergenceachievedafter16iterations

Coefficient

Std.Error

z-Statistic

Prob.

C

-0.000601

0.000751

-0.799909

0.4238

VarianceEquation

C

9.38E-05

1.60E-05

5.880741

0.0000

ARCH

（1）

0.262009

0.090256

2.902959

0.0037

ARCH

（2）

0.041930

0.070518

0.594596

0.5521

ARCH（3）

0.452187

0.108488

4.168076

0.0000

ARCH（4）

-0.021920

0.050982

-0.429956

0.6672

ARCH（5）

0.037620

0.044394

0.847408

0.3968

R-squared

-0.003550

Meandependentvar

0.000432

AdjustedR-squared

-0.027830

S.D.dependentvar

0.017364

S.E.ofregression

0.017603

Akaikeinfocriterion

-5.483292

Sumsquaredresid

0.076851

Schwarzcriterion

-5.386081

Loglikelihood

706.1198

Durbin-Watsonstat

2.042568

观察：

说明q选取为3确实比较恰当。

4、ARCH模型是对的吗？

如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。

对q为3的ARCH模型做LMtest，发现没有了ARCH效应。

注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。

注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？

ARCHTest:

F-statistic

0.238360

Probability

0.992099

Obs*R-squared

2.470480

Probability

0.991299

TestEquation:

DependentVariable:

STD_RESID^2

Method:

LeastSquares

Date:

10/21/04Time:

21:

56

Sample（adjusted）:

20102254

Includedobservations:

245afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

1.102371

0.264990

4.160043

0.0000

STD_RESID^2（-1）

-0.038545

0.065360

-0.589741

0.5559

STD_RESID^2（-2）

-0.003804

0.065308

-0.058252

0.9536

STD_RESID^2（-3）

-0.057313

0.065303

-0.877649

0.3810

STD_RESID^2（-4）

-0.010325

0.065277

-0.158169

0.8745

STD_RESID^2（-5）

0.003537

0.065280

0.054185

0.9568

STD_RESID^2（-6）

-0.007420

0.065274

-0.113670

0.9096

STD_RESID^2（-7）

0.063317

0.065264

0.970165

0.3330

STD_RESID^2（-8）

-0.012167

0.065293

-0.186340

0.8523

STD_RESID^2（-9）

-0.010653

0.065278

-0.163194

0.8705

STD_RESID^2（-10）

-0.020211

0.065228

-0.309845

0.7570

R-squared

0.010084

Meandependentvar

1.007544

AdjustedR-squared

-0.032221

S.D.dependentvar

2.112747

S.E.ofregression

2.146514

Akaikeinfocriterion

4.409426

Sumsquaredresid

1078.160

Schwarzcriterion

4.566625

Loglikelihood

-529.1546

F-statistic

0.238360

Durbin-Watsonstat

2.000071

Prob（F-statistic）

0.992099

方程整体是不显着的。

还可以观察标准化残差

ARCH建模以后，procs/makeresidualseries/可以产生残差

和标准化残差

，以下分别是残差和标准化残差。

可以看出没有了集群现象。

还可以观察波动率（条件方差）的图形。

对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。

ARCH建模以后，procs/makegarchvarianceseries/得到

结论：

ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。

可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。

§3、GARCH模型

ARCH（q）模型是关于?

t2的分布滞后模型。

为避免εt2的滞后项过多，可采用加入?

t2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（GeneralizedARCH），主要就是针对q较大的情形

1、模型定义

条件方差方程

✓均值

✓

：

过去的条件方差（也即预测方差，forecastvariance）

注意：

均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如RC），则R2没有直观定义了，因此可为负）

例2GARCH（1,1）Model

标准的GARCH（1,1）描述为：

（a）

（b）

（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。

因为

是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。

条件方差的方程有三项。

是均值项；

；

；

在GARCH（1,1）的（1,1）表明有1阶GARCH项和1阶ARCH项。

一个ARCH模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即：

（c）

（d）

如果对

（2）式右边进行迭代。

可以有

…

这说明GARCH（1,1）的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分

构成。

令

将其代入（b）得,

由此可见，残差平方服从一个ARMA（1,1）过程。

自回归因子的根为

，如果

接近1，则冲击是长久的。

2、GARCH（p,q）模型的稳定性条件

计算扰动项的无条件方差：

从上式可推出稳定条件：

0?

为使模型有意义，系数还需要满足下面两条

1）ω>0,?

i?

0,i=1,2,…q,

2）βi?

0,j=1,2,…p

3、GARCH模型的参数估计

采用极大似然估计GARCH模型的参数。

下面以GARCH（1,1）为例。

由GARCH（1,1）模型

可以得到yt的分布为

由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为

第t个观察样本的对数似然函数值为

其中

注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。

似然函数为

取对数就得到了所有样本的对数似然函数。

其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。

4、模型的选择

两条原则：

1）若ARCH（q）中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH（p,q）

2）使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型

3）对于金融时间序列，一般选择GARCH（1,1）就够了。

回顾AIC和SC定义：

1）AIC准则（Akaikeinformationcriterion）

AIC越小越好，结合如下两者：

K（自变量个数）减少，模型简洁

LnL增加，模型精确

2）SC准则（Schwazcriterion）

习题1：

通货膨胀率有ARCH效应吗？

GreeneP572

点击数据文件usinf_greene_p572。

进行回归

lsinflationcinflation（-1）

DependentVariable:

INFLATION

Method:

LeastSquares

Date:

11/19/04Time:

10:

37

Sample（adjusted）:

19411985

Includedobservations:

45afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

2.432859

0.816345

2.980184

0.0047

INFLATION（-1）

0.493213

0.131157

3.760466

0.0005

R-squared

0.247477

Meandependentvar

4.740000

AdjustedR-squared

0.229976

S.D.dependentvar

4.116784

S.E.ofregression

3.612519

Akaikeinfocriterion

5.450114

Sumsquaredresid

561.1625

Schwarzcriterion

5.530410

Loglikelihood

-120.6276

F-statistic

14.14110

Durbin-Watsonstat

1.612442

Prob（F-statistic）

0.000507

检验ARCH效应

ARCHTest:

F-statistic

0.215950

Probability

0.953308

Obs*R-squared

1.231192

Probability

0.941850

TestEquation:

DependentVariable:

RESID^2

Method:

LeastSquares

Date:

11/19/04Time:

10:

46

Sample（adjusted）:

19461985

Includedobservations:

40afteradjustingendpoints

Variable

Coefficient

Std.E