完整版高数常用公式手册.docx

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完整版高数常用公式手册

常用高数公式

1、乘法与因式分解公式

2、三角不等式

■Ti

3、一元二次方程UH-珀+巴=0的解

4、某些数列的前n项和

5、二项式展开公式

6、基本求导公式

7、基本积分公式

8—些初等函数两个重要极限

9、三角函数公式正余弦定理

10、莱布尼兹公式

11、中值定理

12、空间解析几何和向量代数

13、多元函数微分法及应用

14、多元函数的极值

15、级数

16、微分方程的相关概念

1、乘法与因式分解公式1.1a3'—护=（口一卜）（&+b）

1.2八土护干必十們

（a-b）（an~

（口十&）（厂

十络十a"皆abn~2十矿

+ftQ—&t1+'■'+fit—QJ

伉为正整数）

g为偶数）

n32n2n1、

abLabb）（n为奇数）

n■n/■、/n1n2.

gab（ab）（aab

2、三角不等式

2.1匕■.J-

2.2■'>r-L

2.3二；•-*门'

2.4■-■-■-r-■■-2.6|训£b旨一

3、一元二次方程。

十+斑十的解

3.2（韦达定理）根与系数的关系:

r>0万程口恂定一黄恨，

3-3利别朮沪-伽彳=0方程有相尊二买抿”

I

4、某些数列的前n项和

4.1

Tr-亦+1）

1十2十3十…•十沖=

4.2

1十3+B+—十（2⑺一1）=□&

4.3

2+4+5+■■■+（2外）=n（n十1）

44

［十沪十护十…十卅=巾+1）帥+1）

6

4.5

f十护十扌十…十（亦章=吧-1）

a

4.6

1彳+尸+*+…+异+

4

4.7P+孑十用+…十（加一⑵^一1）

4.8

1卄也十L）=*十挈+可

'J

5、二项式展开公式

5.1（一时—+严时答2-沪十捫一％一宀…+

7!

Up

+止土色土^右忖十十屮

Jd!

6、基本求导公式:

（C）0（C为常数）

（cotx）

csc2x

sin

"2

x

（secx）

（cscx）

secxtanx

escxcotx

（arcsin

x）

（logax）

1

1

（lnx）

x

xlna

（sinx）

cosx

（cosx）

sinx

（tanx）

sec2x

1

cos2x

（x）x1（为实数）

（ax）axlna（ex）ex

（arccos

（arctan

7、基本积分公式：

0dx

x）

x）

（arccotx）

1x2

1

1~x7

xdx

1）

Idx

x

x

edx

lnx

secxdx

lnsecx

tanx

C

cscxdx

lncscx

cotx

C

dx

arctanx

C

1x2

dx

arcsin

xC

疋12x2

exC

axdx

x

—CIna

dx

2~cosx

2sec

xdx

tan

cosxdxsinxC

sinxdxcosxC

8、一些初等函数：

两个重要极限:

双曲正弦:

shx

双曲余弦:

chx

xx

ee

2

xx

ee

2

双曲正切:

thx

shx

xe

chx

xe

arshxln（x

x21）

archxln（x

.x2

1）

x

e

e

dx

2

sinx

2csc

xdx

cotxC

secxtanxdx

cscxcotxdx

lim

x0

lim（1丄厂

xx

secx

cscxC

e2.718281828459045…

arthxIln1_-

21x

9、三角函数公式:

sin（

）sincos

cos

sin

cos（

）coscos

sin

sin

tan（

）tantan

1tantan

、cotcot

1

cot（

）

cotcot

■和差化积公式:

■和差角公式:

sin

sin

2sin

-cos

2

2

sin

sin

2cos

-sin

2

2

cos

cos

2cos-

cos-

2

2

cos

cos

2sin-

-sin-

2

2

■倍角公式:

■半角公式:

1cos

1cos

sin

2

1

cos

1

cos

sin

1cos

sin

2

tan—

2

cos—

2

1cos

V

2

cot—

2

1

cos

1cos

sin

1

cos

sin

1cos

■正弦定理:

a

sinA

b

sinB

—2R•余弦定理：

c2

sinC

22

ab2abcosC

•反三角函数性质：

arcsinx

arccosx

arctanx

—arccotx

2

（uv）（n）

n

C：

u（n

k0

kJ）

u（n）v

（n1）nuv

n（n1）u（n2）v

n（n1）（nk1）（nk）v（k）

10、高阶导数公式一一莱布尼兹（Leibniz）公式：

2!

k!

11、中值定理与导数应用:

UV

（n）

拉格朗日中值定理:

f（b）f（a）f（）（ba）

柯西中值定理：

当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理

12、空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：

dM1M2向量在轴上的投影：

PrjuAB

（X2X1）2Q2yJ2（Z2Z1）2

ABcos,是AB与u轴的夹角。

Prju@1a?

）Prja1Prja?

abcosaxbx

azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角:

cos

axb：

x

22一axay

ayby

T~'2

az...bx

azbz

22

bybz

cab

ax

bx

ay

by

kaz，cbz

absin

例：

线速度:

向量的混合积:

[abc]（a

b）c

ax

bx

ay

by

Cy

az

bz

Cz

ccos,为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程:

1、点法式：

A（xXo）B（yyo）C（zzo）0,其中n{代B,C},Mo（xo,yo,zo）

2、一般方程：

Ax

By

CzD

o

3、截距世方程：

△

y

z

-1

a

b

c

平面外任意一点到该平

面的距离:

|AxoByo

d

CzoD

〜、‘A2B

2c2

x

Xo

mt

空间直线的方程：

x

Xo

yyo

zzt,其中s

{m,n,p};参数方程：

y

yo

nt

m

n

P

Pt

z

zo

二次曲面：

2

2

2

1、椭球面：

y_

刍1

a

b2

c

2

2

2、抛物面：

丄

y_

z,（p,q同号）

2p

2q

3、双曲面：

2

2

2

单叶双曲面：

务

y_

刍1

a

b2

c

2

2

2

双叶双曲面：

q

y~~2

刍1（马鞍面）

abc

13、多元函数微分法及应用

全微分：

dz—dx—dy

xy

du

u.u.u.

dxdydz

xyz

全微分的近似计算：

Z

dz

fx（x,y）

Xfy（x,y）y

多元复合函数的求导法:

dz

z

uz

v

zf[u（t）,v（t）]

dt

u

tv

t

Zf[u（x,y）,v（x,y）]

z

z

uzv

X

u

xvX

当uu（x,y）,vv（x,y）时，

du—dx—dy

dv

—dx

—dy

xy

X

y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）0,

dy

Fx

茫（

=）+（

F）

dy

dx

Fy

dx

Fyy

Fy

dx

隐函数F（x,y,z）0,

z

Fx

X

Fz

yFz

隐函数方程组：

F（x,y,u,v）0

G（x,y,u,v）0

u

1

（F,G）

v

1

X

j

（x,v）

X

j

u

1

（F,G）

v

1

y

j

（y,v）

y

j

（F,G）（u,x）（F,G）（u,y）

微分法在几何上的应用:

曲面F（x,y,z）0上一点M（xo,yo,zo）,则：

1、过此点的法向量：

n{Fx（Xo,y°,zo）,Fy（xo,y°,Zo）,Fz（Xo,y°,Zo）}

Fz（xo,yo,zo）（zZo）

2过此点的切平面方程：

Fx（xo,y°,Zo）（xXo）Fy（xo,yo,zo）（yyo）

3、过此点的法线方程:

xxoyyozZo

Fx（Xo,y°,Zo）Fy（Xo,y°,Zo）Fz（x°,yo,Zo）

14、多元函数的极值及其求法:

设fx（xo,yo）

fy（Xo,yo）

0,令：

fxx（Xo,yo）A,fxy（Xo,yo）B,fyy（Xo,yo）C

AC

2

B

0时，A

A

o,（xo,yo）为极大值o,（Xo,yo）为极小值

则：

AC

B2

0时，

无极值

AC

2

B

0时,

不确定

15、级数

常数项级数:

等比数列：

1qq2

等差数列:

123

11

调和级数：

1--

23

qn1

1qn

1q

（n1）n

~2~

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法-

——根植审敛法（柯西判

1时，级数收敛

别法）

设：

limn;U；，则

n\n

1时，级数发散

1时，不确定

2、比值审敛法：

1时，级数收敛

设：

limUn1，则

1时，级数发散

nUn

1时，不确定

3、定义法：

SnU1U2Un；lim

n

Sn存在，则收敛；否则发

散。

交错级数Su2u3u4（或5u2u3,un

绝对收敛与条件收敛:

（1）u1u2un，其中un为任意实数；

（2）u*|比||出||Un

如果⑵收敛，则

（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果

（2）发散，而

（1）收敛，则称

（1）为条件收敛级数。

调和级数：

丄发散，而

n

（F收敛;

n

级数：

t收敛；

n

P级数:

1p

nPP

1时发散

1时收敛

幂级数:

函数展开成幂级数:

函数展开成泰勒级数：

f（x）

f（X。

）2

f（X°）（XX°）___（xx0）2

f（）（）余项：

Rnj

（n1）

（xX0）

1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：

］imRn0

Xo

0时即为麦克劳林公式:

f（x）f（0）

f（0）x学2

3n

n!

一些函数展开成幂级数:

16、微分方程的相关概念:

一阶微分方程：

yf（x,y）或P（x,y）dxQ（x,y）dy0

0,1）

可分离变量的微分方程：

一阶微分方程可以化为g（y）dyf（x）dx的形式，解法:

g（y）dy

f（x）dx

得：

G（y）

F（x）

C称为隐式通解。

齐次方程:

一阶微分方

程可以写成

dy

f（x,y）

（x,y）,即写成丄的函数，解法：

dx

X

设Uy,

则巴U

duX一,

duu

（u）,

dx

du分离变量，积分后将y代替u,

X

dx

dx

dx

X

（u）uX

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：

吐P（x）y

dx

Q（x）

当Q（x）

0时,为齐次方程，yCe

P（x）dx

当Q（x）

0时，为非齐次方程，y

P（x）dxP（x）dx

（Q（x）edxC）e

2贝努力方程:

dyn

匚P（x）yQ（x）y，（n

二阶微分方程:

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）ypyqy0,其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写岀特征方程：

（）r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;

2、求岀（）式的两个根*,r2

3、根据r,,r2的不同情况，按下表写岀（*）式的通解：

r1，r2的形式

（*）式的通解

2

两个不相等实根（p4q0）

r1xr2x

yqege

两个相等实根（p4q0）

y（C1C2x）er1x

一对共轭复根（p4q0）

yex（c1cosxc2sinx）

rii，ai

pJ4qp2

2，2

二阶常系数非齐次线性微分方程：

ypyqyf（x）,p,q为常数

f（x）exPm（x）型，为常数；

f（x）ex[R（x）cosxPn（x）sinx]型