数学人教B必修4课件第二章平面向量归纳提升.docx
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数学人教B必修4课件第二章平面向量归纳提升
章末归纳提升
第二章平面向量
向量的应用
归纳提升
Zhuantiguinatisheng
1•向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.
2・向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运
算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心,是向量线性运算的关键所在,常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.
4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、
求点或向量的坐标等.
卜例n如图,在厶ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,4E的延长线交BC于F.MH//AF交EC
于//・求证:
HF=BH=FC.
图2-1
【思路点拨】选择两不共线向量作基底,然后用基底
向量表示出矗、丽与戒?
即可证得.
【规范解答】^BM=a,
则BH^a+b,
HF=HB-\-BA+AF=-BH+2BM+2MH
a—方+2«+2方=。
+方,
MH=b,
・铠占建呢
・q+L=qlc—qd+qlc—H
II僅十—僅d十q-rH
74B—HV+WH+qlc—=ttt-ttfl
7HW+WHlr=OH十HdHuHA—A—JA—flA—
»变Itfilla
如图所示,M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、
BC的中点,且AD=2AB.求证:
四边形PM0N为矩形.
图2-2
【证明】设页=a,BN=b,
由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD.BC的中
点,且AD=2AB,得\a\=\b\,NA=a~b,CM=a~b,故滋=页,所以丸4〃CM.
又丽=a+b,命=a+b,所以踰=疋),所以BM〃ND从而四边形PMQN是平行四边形.
又由BM^=(a+b)(a-b)=a-b2=0,故朗丄A&,即BM丄M4.
所以四边形PM0N为矩形.
1•向量的数量积是一个数量,当两个向量的夹角是锐角时,它们的数量积为正数;当两个向量的夹角为钝角时,它们的数量积为负数;当两个向量的夹角是90。
时,它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.
2.通过向量的数量积的定义和由定义推岀的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直.
卜例如图所示,在RtAABC中,已知BC=a,若长
为2°的线段P0以点4为中心,问西与茕的夹角0取何值
时丽•耳的值最大?
并求出这个最大值.
图2-3
【思路点拨】因为已知BC=a,PQ=2a,ZB4C=90。
甩与说夹角为0,故应尽量选这些线段对应向量表示待求向量构建目标函数求解.
【规范解答】TAS丄At,AAB.AC=O.
y^AP=-AQ,BP=AJP~AB,CQ=AQ~AC,
•••BPCQ=(AP-ABy(AQ-AC)
=APAO-APAXJ-ABAO+ABAC=-a-APAC+ABAP
=—tz2+AP-(AB—AC)
故当cos6»=l,即O=O°(PQ与说方向相同)时,丽•选最
大,其最大值为0.
»娈垃训练
已知P是边长为2的正三角形4BC的边BC上的动点,
【解析】如图,VAB+AC=
AD=2AO,AABC为正三角形,
・•・四边形ABDC为菱形,
BCLAO,
•••乔在向量Ab上的射影为花,又\A0\=^3,
:
.AP-(AB+AC)=L40I-L4DI=6,故选B・
【答案】B
向量的坐标运算A
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后,向量的运算完全化为代数运算,实现数与形的统一.
2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.
3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、
夹角判断共线、平行、垂直等问题.
已知向量石=(4,3),Ab=(—3,—1),点4(—1,
—2)・
(1)求线段的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足筋=2BZ)(zeR),求y与久的值.
【思路点拨】
(1)先求B、D点的坐标,再求M点坐标;
(2)由向量相等转化为y与A的方程求解.
【规范解答】
(1)设点B的坐标为g,刃).
TAB=(4,3),A(—1,—2),
・°・(刃+1,刃+2)=(4,3).
.%1+1=4,
『1+2=3,
X[=3?
•••爲.
A5(3,1).
同理可得D(-4,一3)・
设线段BD的中点M的坐标为(疋,力),
则兀2=^=
1-3
沪丁=T,
・・・M(—1-1).
⑵由已知得PB=(3,1)—(2,
BD=(-4,-3)-(3,l)=(-
又囲=流,
A(1J—y)=A(—7,—4),
1——7儿
1—y=—4A,
A=1
3y=T
y)=(tl-y),
-7,一4)・
»变mill缰
设a=(y[?
>,—1),〃=(£,爭),若存在不同时为零的实数P和/,使x=a~\~{t—3)b,y=—ka~\~tb,且兀丄y.
(1)试求函数关系式k=f⑴;
(2)求使几。
>0的t的取值范围.
【解】(l)Ta0=O,x±j,lal=2,血1=1,
[a+(/—3)/>]•(—ka+tb)=O.
即一ka1+[t~k(t~3)]ab+t(t~3)b2=0,
—4£+孑一3f—0.
.*.Zr=^(r—3r).
•:
k、T不同时为0,
・•・函数定义域为{〃WR且t^O}.
(2)由/W>0,即|(?
-30>0,解得T>3或(V0.
即》的取值范围为(―°°,0)U(3,+°°).
1•向量在平面几何中的应用,向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
2.向量在解析几何中的应用,主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.
3.在物理中的应用,主要解决力向量、速度向量等问题.
四边形ABCD中,AB=(6,1),BC=(x,y),CD
=(_2,-3),
(1)若说〃负,求兀与y之间的关系式;
⑵满足⑴的条件,同时又有花丄丽,求x、y的值以及四边形ABCD的面积.
【思路点拨】
(1)由向量共线的等价条件列式可求;
(2)先构建x,y的方程组求%,y值,再求面积.
【规范解答】⑴VAD=AB+BC+CD
=(6,1)+(兀,y)+(—2,—3)=(兀+4,y—2),
DA=_AD=(_x_4,2_y)・
又9:
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- 关 键 词:
- 学人 必修 课件 第二 平面 向量 归纳 提升