第2章导数与微分总结.docx
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第2章导数与微分总结
1基础总结
1、极限的实质是:
动而不达
limo
导数的实质是:
一个有规律商的极限。
规律就是:
2、导数的多种变式定义:
lim-=lim
x0xx0
f(x
X)f(x)
x
lim
xxo
f(x)
f(xo)
Xo
要注意细心观察发现,
lim丄一x)f°)是描述趋近任意x时的斜率。
而
x0
叫号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
3、I
若x没趋近到x0,那么除法得到的值是这段的平均斜率,如果趋近到了x0,得到
的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:
导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上,该点自然存在,而且还得等于左右极限。
因此,可导一定是连续的。
反之,如果连续,不一定可导。
不多说。
同理,如果不连续,肯定某点要么无定义,要么定义点跳跃跑了,肯定极限有可能存在,但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数,那么在左侧该点一定是存在的。
如:
f(x)x,x0
这个函数,在0点就不存在左导数,只存在右导数。
为什么嫩?
看定义:
万不要以为导数是一种简单的极限,极限是可以在某点无定义的,而导数却是该点必须存在!
由此引发了一些容易误判的血案:
例如:
A旦主^謎I
CmF左电鼓
pg总生戟乞
f(x)f(x)
-中的f(x))至u底是神马。
比如求上图
由此也可以知道,f(x)2x3,x1这个函数是不存在导数的,也不存在左导数,
3
只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:
f'(X)
(f1(y))'
但是
注意,求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变,与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算果显然是错误的。
举例子:
反函数的导数是x
求yex的导数。
显然反函数(不要换元)是xiny
反函数导数的倒数是y=ex,因此,(ye)'
再如,求arcsin(x)的导数。
6、复合函数求导法则:
只要父函数和子函数随时能有定义,就拆着求就可以了。
7、高阶导数:
如果f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。
sin(n)(x)sin(x—);cos(n)(x)cos(x—);其余的也记不住,自己慢慢推导。
22
(uv)(n)u(n)v(n);
n
nknkk
(uv)Cnuv
二项式定理中有:
n;类似的,乘法的n阶
k0
(u*v)(n)
导数也有:
8、隐函数,参数方程的导数,相关变化率
建议隐函数,参数方程的导数,以及求导数的相关变化率时使用只有这样才能准确,安全,方便。
举例:
求exye0(隐函数f(x,y)=O)中y对x的导数①dx
解:
两边求导,d@xye)竺
dxdx
d(緡
dx
岐捡述y“(t)x'(t)y;(t)x”(t)。
麻烦吗?
根本不要记,dtdx
连参数方程的公式都不要记,自己慢慢算,算到哪里推导到哪里,简单又方便。
相关变化率问题,是说字佥之间的关系
求dy时有一个技巧,如果函数含有幕指数,包括这一类(幕指数是-)
dx2
般都是对方程两边先求对数,再求解,这样求解起来应该会简单。
9、微分
微分用dy表示。
dyy.微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x后
对应的近似的y。
实际上,yf(xx)f(x),若可以化简成yf(Xox)f(xo)kxo(x)形式,则称f(x)在该点x0处可微记作
dy|xX。
kx,这部分称为线性部分。
o(x)是x的高阶无穷小,因此在计算时可以省去,这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y了。
y(kxo(x))0
当x0时,dy(kx)0,经过计算llxmo_dy=...=1,可见,
dy与y在x0时是等价无穷小,即有y:
dy
可微与可导的关系:
可微和可导是等价的,互为充要条件。
关系如图
课本上的一些重要易错的题
要注意的就是x2x
1,,
limh[f(a)f(a)]存在hh
叫
Hh
mo
Hh
叫
Hh
个要注意。
如果用讥心x)f(x)怎么算?
13.甲弱以吐mb酌逹率向东行驶,乙賂以Ekmh的連率向南厅出在中午十二点此乙昵醫于甲船之北1知处.问下牛一点正两寵相扈的速率为多少丁
V设从中午十二点开給一经迂r小对「商嚅之阖的磋离为工瓦有
訪耍=-1罠16-朋"牙,
dS-16d6-&)+7^矿25
当Al时,E=g
叩下竿一点正两嗚梅卷的連更为2.«kmh
此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题
2扩展部分
第二章导数与微分
第一节导数槪念
知识要点与考点
1•导数概念【粤点】
由瞬时速度与切线斜率等典型实例•可引入导数定义”简记为八\!
■/(為+心〉—/缶〉df
jC-TqzLith■*f
gf。
4ra工鼻■窃
或fS=lim器日im/U十2一八巳
gFQAfQifl
要注意函数在一点轨处的导数是数值孑而在某区间I上的导(函)数是函数•并且
rtxo)与gj丁mrco)与[/(Q)了(=o)
具有不同的涵义.
左、右导数分别为二
/(氐+
而x处的导函数只有一种定义
f'(x)
f(xh)f(x)
Am—h—
3.曲线的切线方程与法线方程切线半y~y^f(工JQ—工』i
法线:
y—%=—尸(;抒&_齐匕
可导与连续的关系:
可导指的是:
存在左导数和右导数,且两者相等。
而左导数还是右导数的实质是单侧极限问题。
而若两侧(导函数的)极限都存在,那么必然该导函数存在极限,即该种极限的导函数即导数存在。
故可导的充要条件是存在左右极限且相等。
单侧导数与单侧极限一样,光有一个说明不了导数(极限)存在可导必然连续,连续未必可导。
因为连续在公式上的表现是lim与=°
可导在公式上表现是存在lim△^<=f'(x)
以用反证法证明)这些不用死记。
第二节函数的和■差、积、商的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则
偃设函数讥ReCr)在点t可导,则它们的和、差、积、商的导
数都存在,且
(»+v)rHfZ士",
{uvY^UD^UVf
还有:
(CuY^Cu1(C为常数),
(於士廿士…=/士*士…士欢/,
(V)=_寻WHO),
(mnjr〕'=sg$*(cotz)'=—c肚N*
^>f=secztant. 3.其余基本初导函数的求导公式 (arcsintY—<'-arccos丁)'=,- /l—-r (arctan上〉尸=(—arccotx)J—t——;;[十无 1■反函数的导数 若才=侃W在区间人内单调.可导且则其反函数y瘁八小在对应区间人内也可导,且 2.复合函數求导法则I连锁规则)(考点】dy_dydududxdudv 反函数存在的充要条件是原函数单调。 Tan,cot,sec,esc,arctan,arcsin,arccos,arccot导数都可以自己推倒出来。 用的就是反函数的导数公式。 (logax)' 1 ayIna 1 xlna arcsinQ-^―1 sin(y)'cos(y).1sin2(y) 如果哪个忘了,要能够自己推导。 第五节高阶导数 知识要点与考点 1•高阶异数的概念 由加速度引入二阶导数般地+_1)阶导数的导 戲叫做匕墮曼婪,记为豊仝 2.计算离阶导数的公式【考点】 樹用如下公式计算高阶导数; ra为常数” 芳(Tn) (才)z=Q(nN;m^>n*m^N); (#)s严一1)…(戸一挖+])才iG€R); r(lo岳工"=(一l〉iG—1)J工flog^e* On工)"=(—-工] [In(1+刃严=〔「1厂心_1)! (1+jt)-j 5°(sin«r)E=$iii工+梵•守;, (cosx>f,l>~cos工+号); 6°(肚士卍=t/讨±i/柿9(cu>u>=cu(->; *=0 nnknkk 【回忆】牛顿二项式展开(ab)Cnab与莱布尼茨高阶导形式类似。 0 这一节就是练习给出f(x)求f(x)(n)。 本节的题比较难。 主要方法是: 1归纳法。 将f'(x),f''(x)求出整理归纳出n阶导数 莱布尼茨公式求UV乘积的高阶导数 2遇到一些求分数函数的高阶导数的式子,一般就要先化简。 最好是想办法化成和的形式, 再分别求高阶导数。 3遇到三角函数的高阶导数时,要把三角函数降阶到1阶再求。 一般给出f(x)求f(X)(n)需要综合运用各种方法才能算出来。 如先化简,再用归纳法,莱 布尼茨公式等。 还有题是变量替换题。 d2y x鱼 dx 例: 设y=y(x)定义在(-“)上且二阶可导,满足方程(1x2/ 带入可证明结论。 第六节隐函数的导数由参数方程所 确定的函数的导数相关变化率 知识要点与老点 1•隐函数的导数【考点】 求隐函数对x导数,要注意对y求导。 例如xey的导数为1eyy' 3”参數式确定函数的导数【考点】 ££/算或宀予 最好用dy方法做,而不是用y'因为常用的y'是对x求导,如果现在对t求导,会不小心dx 弄混。 用dy可以显见y对t还是x求导,不易出错。 当然,如果只是F(x,y)=0对x求dx 导,无中间量,还好,不会乱。 通过证明(需要自己会证明推倒),显而易见这三个条件都要满足。 (实际应用中似乎没啥用) 本节题就是隐函数,参数函数的求导数,要在运算中时刻想着化简,特别是求某点的导数值 时,更要是定值就代入,以便于方便后续运算。 在运算时,还要记住综合各种方法,如对数 求导法 2•对数求导法【考点} 当函数式较复杂《含乘■除■乘方■开方■幕揩两数舒〕时•可先取对数再求导解出y,这就是对数求导法*也可利用对数恒等式将函数写成复合指数函数再求导,这是对数求导法的另一书写形 第七节函数的微分 知识要点与爭点 ijy=/ 其中/! 为不依赖于的常数次: [称"刃在丢可徽.d^AAAr为/Q)在班的微分,它是Aj的线性主部,有 iy—djj=w(Aj-)▼或 dy的几何意文是曲线的切线上点的纵坐标的增量* 总结起来就是: dyf'(xo)x一「定要注意有个x0,而不是x,这表示f'(x0)是一个与厶x无关的常数。 yf(Xox)f(Xo)f'(xo)x也要注意的是xo,而不是x。 这个公式常常用来估算 和证明。 △/=dy+o(dy)△<=dx(严格来说,其实就是把△x写成了dx,好像比较统一一样,但△/一定要注意工dy) 具体如图: 如证明: sin(x)~x,当|x|<<1时。 (其实即x0t0) 证明: •••△(xO)=sin(xO+A()-sin(x0)~sin'(x0)△ •'•sin(x0+△)~sin(xO)+cos(xO)△ 令x=x0+△ •sin(x)~sin(xO)+cos(xO)(x-xO)(注意: 目的就是去掉式子里的厶x) •sin(x)~sin(0)+cos(0)(x-0)=x 即当|x|<<1时,sin(x) 证明具体的更简单,如求sin(29)的近似值 •••sin(30-1)-sin(30)~cos(30)*1° •sin(29)~1/2+(v3/2)*n/180(角度必须转换成弧度! 公式是角度=角度*n/180,角度=弧 度*180/冗)总习题2 设函数f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是? f(a2h)f(ah)存在h B啊 C讥 Dihm 切訣[弘+刃一代)]存在 f(ah)f(ah)存在 2h ㈣f(ah)存在 h fg存在,故不能选(Ah 取/Cjt)= E叮]显然恤辱铲如我但心〉在,=0处lU,JT=th片T川 不可导J故不能选择(B). 2h 取只刃=|工|・显然1血如也存上也=0.但/(刃在丄=0处不可 导电故不能选择KCX 而1曲f3_gf=応色出书二如存在■按导数定盘知 mflrk>~h 干“)存在,故选择ID). 我觉得BC项可以通过改式来推导。 例如C 本来这个公式没什么问题,但是f(a)又没有说存在,就不能随便加个f(a)。 i 遇到ex,xt0的极限时应该特别小心,因为从表面上看是th,但细分析会发现需要讨论 0的左右极限。 Xt0+时,值为+8,xt0-时,值为0 要特别注意参数方程二阶导数求法: 卢艸甲⑴-矿(“⑴ 设参数方程 ,则0(0’ —[如 注意: 二阶导数分母是3次方
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- 导数 微分 总结
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