大学物理第一章答案.docx
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大学物理第一章答案
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答]
(1)角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1),
法向加速度为
an=rω2=230.4(m·s-2);
角加速度为
β=dω/dt=24t=48(rad·s-2),
切向加速度为
at=rβ=4.8(m·s-2).
(2)总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即
.
由此得,
即,
解得.
所以
=3.154(rad).
(3)当at=an时,可得rβ=rω2,
即24t=(12t2)2,
解得t=(1/6)1/3=0.55(s).
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.
由于,所以
at=2h/Δt2=0.2(m·s-2).
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6(m·s-1),
这也是边缘的线速度,因此法向加速度为
=0.36(m·s-2).
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
;
螺帽做竖直上抛运动,位移为
.
由题意得h=h1-h2,所以
,
解得时间为
=0.705(s).
算得h2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a+g,而初速度为零,可列方程
h=(a+g)t2/2,
由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动,运动方程为x(t)=6t2-2t3.试求:
(1)第2s内的位移和平均速度;
(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;
(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.
[解答]
(1)质点在第1s末的位移大小为
x
(1)=6×12-2×13=4(m).
在第2s末的位移大小为
x
(2)=6×22-2×23=8(m).
在第2s内的位移大小为
Δx=x
(2)–x
(1)=4(m),
经过的时间为Δt=1s,所以平均速度大小为
=Δx/Δt=4(m·s-1).
(2)质点的瞬时速度大小为
v(t)=dx/dt=12t-6t2,
因此v
(1)=12×1-6×12=6(m·s-1),
v
(2)=12×2-6×22=0,
质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即Δs=Δx=4m.
(3)质点的瞬时加速度大小为
a(t)=dv/dt=12-12t,
因此1s末的瞬时加速度为
a
(1)=12-12×1=0,
第2s内的平均加速度为
=[v
(2)-v
(1)]/Δt=[0–6]/1=-6(m·s-2).
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.
1.2一质点作匀加速直线运动,在t=10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为.
并由上述数据求出量值.
[证明]依题意得vt=nvo,
根据速度公式vt=vo+at,得
a=(n–1)vo/t,
(1)
根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as,得
a=(n2–1)vo2/2s,
(2)
(1)平方之后除以
(2)式证得
.
计算得加速度为
=0.4(m·s-2).
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m·s-2.问:
(1)矿坑有多宽?
他飞越的时间多长?
(2)他在东边落地时的速度?
速度与水平面的夹角?
[解答]方法一:
分步法.
(1)夹角用θ表示,人和车(他)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为
vy0=v0sinθ=24.87(m·s-1).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
vt-v0=at,
这里的v0就是vy0,a=-g;当他达到最高点时,vt=0,所以上升到最高点的时间为
t1=vy0/g=2.49(s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2-v02=2as,
可得上升的最大高度为
h1=vy02/2g=30.94(m).
他从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为
h2=h1+h=100.94(m).
根据自由落体运动公式s=gt2/2,得下落的时间为
=4.49(s).
因此他飞越的时间为
t=t1+t2=6.98(s).
他飞越的水平速度为
vx0=v0cosθ=60.05(m·s-1),
所以矿坑的宽度为
x=vx0t=419.19(m).
(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy=gt=69.8(m·s-1),
落地速度为
v=(vx2+vy2)1/2=92.08(m·s-1),
与水平方向的夹角为
φ=arctan(vy/vx)=49.30?
,
方向斜向下.
方法二:
一步法.取向上的方向为正,他在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2,移项得时间的一元二次方程
,
解得
.
这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为
t=6.98(s).
由此可以求解其他问题.
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt=-kv2,k为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;
(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.
[证明]
(1)分离变量得,
积分,
可得.
(2)公式可化为,
由于v=dx/dt,所以
积分.
因此.证毕.
[讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v),根据牛顿第二定律得f=ma.
由于a=d2x/dt2,
而dx/dt=v,
所以a=dv/dt,
分离变量得方程
,
解方程即可求解.
在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比,则
dv/dt=-kvn.
(1)如果n=1,则得
,
积分得
lnv=-kt+C.
当t=0时,v=v0,所以C=lnv0,因此
lnv/v0=-kt,
得速度为
v=v0e-kt.
而dv=v0e-ktdt,积分得
.
当t=0时,x=0,所以C`=v0/k,因此
.
(2)如果n≠1,则得,积分得
.
当t=0时,v=v0,所以,因此
.
如果n=2,就是本题的结果.
如果n≠2,可得
,
读者不妨自证.
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答]
(1)角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1),
法向加速度为
an=rω2=230.4(m·s-2);
角加速度为
β=dω/dt=24t=48(rad·s-2),
切向加速度为
at=rβ=4.8(m·s-2).
(2)总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即
.
由此得,
即,
解得.
所以
=3.154(rad).
(3)当at=an时,可得rβ=rω2,
即24t=(12t2)2,
解得t=(1/6)1/3=0.55(s).
1.6一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v=300m·s-1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为a=20m·s-2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ,
v0y=v0sinθ.
加速度的大小为
ax=acosα,
ay=asinα.
运动方程为
,
.
即,
.
令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为
t=0(舍去);(s).
将t代入x的方程求得x=9000m.
[注意]选择不同的坐标系,例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相同的结果.
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.
由于,所以
at=2h/Δt2=0.2(m·s-2).
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6(m·s-1),
这也是边缘的线速度,因此法向加速度为
=0.36(m·s-2).
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
;
螺帽做竖直上抛运动,位移为
.
由题意得h=h1-h2,所以
,
解得时间为
=0.705(s).
算得h2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a+g,而初速度为零,可列方程
h=(a+g)t2/2,
由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
1.9有一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间的距离为l,飞机相对于空气的速率v保持不变.
(1)如果u=0(空气静止),试证来回飞行的时间为;
(2)如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为;
(3)如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为.
[证明]
(1)飞机飞行来回的速率为v,路程为2l,所以飞行时间为t0=2l/v.
(2)飞机向东飞行顺风的速率为v+u,向西飞行逆风的速率为v-u,所以飞行时间为
.
(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着AB之间的直线飞行,就要使其相对地的速度偏向北方,可作矢量三角形,其中沿AB方向的速度大小为,所以飞行时间为
.证毕.
1.10如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v2.今在车后放一长方形物体,问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度,由此可作矢量三角形.根据题意得tanα=l/h.
方法一:
利用直角三角形.根据直角三角形得
v1=v2sinθ+v3sinα,
其中v3=v⊥/cosα,而v⊥=v2cosθ,
因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα,
即.证毕.
方法二:
利用正弦定理.根据正弦定理可得
,
所以
,
即.
方法三:
利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量,在t时间内,雨滴的位移为
l=(v1–v2sinθ)t,
h=v2cosθ?
t.
两式消去时间t即得所求.证毕.
2.12质量为m的物体,最初静止于x0,在力(k为常数)作用下沿直线运动.证明物体在x处的速度大小v=[2k(1/x–1/x0)/m]1/2.
[证明]当物体在直线上运动时,根据牛顿第二定律得方程
利用v=dx/dt,可得
,
因此方程变为
,
积分得
.
利用初始条件,当x=x0时,v=0,所以C=-k/x0,因此
,
即.证毕.
[讨论]此题中,力是位置的函数:
f=f(x),利用变换可得方程:
mvdv=f(x)dx,积分即可求解.
如果f(x)=-k/xn,则得
.
(1)当n=1时,可得
.
利用初始条件x=x0时,v=0,所以C=lnx0,因此,
即.
(2)如果n≠1,可得
.
利用初始条件x=x0时,v=0,所以,
因此,
即.
当n=2时,即证明了本题的结果.
2.13一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k.求:
(1)小球速率随时间的变化关系v(t);
(2)小球上升到最大高度所花的时间T.
[解答]
(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为下,根据牛顿第二定律得方程
,
分离变量得
,
积分得
.
当t=0时,v=v0,所以
,
因此
,
小球速率随时间的变化关系为
.
(2)当小球运动到最高点时v=0,所需要的时间为
.
[讨论]
(1)如果还要求位置与时间的关系,可用如下步骤.
由于v=dx/dt,所以
,
即
,
积分得
,
当t=0时,x=0,所以
,
因此
.
(2)如果小球以v0的初速度向下做直线运动,取向下的方向为正,则微分方程变为
,
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
.
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出.由此可见:
不论小球初速度如何,其最终速率趋于常数vm=mg/k.
2.14如图所示:
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带,半径为R.一物体帖着环带内侧运动,物体与环带间的滑动摩擦因数为μk.设物体在某时刻经A点时速率为v0,求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程.
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力,即
N=mv2/R.
物体所受的摩擦力为
f=-μkN,
负号表示力的方向与速度的方向相反.
根据牛顿第二定律得
,
即.
积分得
.
当t=0时,v=v0,所以
,
因此.
解得.
由于
,
积分得
,
当t=0时,x=x0,所以C=0,因此
.
2.15如图所示,一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度ω,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示.
[解答]珠子受到重力和环的压力,其合力指向竖直直径,作为珠子做圆周运动的向心力,其大小为
F=mgtgθ.
珠子做圆周运动的半径为
r=Rsinθ.
根据向心力公式得
F=mgtgθ=mω2Rsinθ,
可得
,
解得.
2.16如图所示,一小球在弹簧的弹力作用下振动.弹力F=-kx,而位移x=Acosωt,其中k,A和ω都是常数.求在t=0到t=π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量.
[解答]方法一:
利用冲量公式.根据冲量的定义得
dI=Fdt=-kAcosωtdt,
积分得冲量为
,
方法二:
利用动量定理.小球的速度为
v=dx/dt=-ωAsinωt,
设小球的质量为m,其初动量为
p1=mv1=0,
末动量为
p2=mv2=-mωA,
小球获得的冲量为
I=p2–p1=-mωA,
可以证明k=mω2,因此
I=-kA/ω.
2.17一个质量m=50g,以速率的v=20m·s-1作匀速圆周运动的小球,在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少?
[解答]小球动量的大小为
p=mv,
但是末动量与初动量互相垂直,根据动量的增量的定义
得,
由此可作矢量三角形,可得
.
因此向心力给予小球的的冲量大小为
=1.41(N·s).
[注意]质点向心力大小为F=mv2/R,方向是指向圆心的,其方向在不断地发生改变,所以不能直接用下式计算冲量
.
假设小球被轻绳拉着以角速度ω=v/R运动,拉力的大小就是向心力
F=mv2/R=mωv,
其分量大小分别为
Fx=Fcosθ=Fcosωt,
Fy=Fsinθ=Fsinωt,
给小球的冲量大小为
dIx=Fxdt=Fcosωtdt,
dIy=Fydt=Fsinωtdt,
积分得
,
,
合冲量为
,
所前面计算结果相同,但过程要复杂一些.
2.18用棒打击质量0.3kg,速率等于20m·s-1的水平飞来的球,球飞到竖直上方10m的高度.求棒给予球的冲量多大?
设球与棒的接触时间为0.02s,求球受到的平均冲力?
[解答]球上升初速度为
=14(m·s-1),
其速度的增量为
=24.4(m·s-1).
棒给球冲量为
I=mΔv=7.3(N·s),
对球的作用力为(不计重力)
F=I/t=366.2(N).
2.19如图所示,3个物体A、B、C,每个质量都为M,B和C靠在一起,放在光滑水平桌面上,两者连有一段长度为0.4m的细绳,首先放松.B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连.已知滑轮轴上的摩擦也可忽略,绳子长度一定.问A和B起动后,经多长时间C也开始运动?
C开始运动时的速度是多少?
(取g=10m·s-2)
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力,可列方程
Mg–T=Ma,
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动,加速度大小为a,可列方程
T=Ma,
联立方程可得
a=g/2=5(m·s-2).
根据运动学公式
s=v0t+at2/2,
可得B拉C之前的运动时间
=0.4(s).
此时B的速度大小为
v=at=2(m·s-1).
物体A跨过动滑轮向下运动,如同以相同的加速度和速度向右运动.A和B拉动C运动是一个碰撞过程,它们的动量守恒,可得
2Mv=3Mv`,
因此C开始运动的速度为
v`=2v/3=1.33(m·s-1).
2.22如图所示,一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动,这圆弧路面的半径为R.设马对雪橇的拉力总是平行于路面.雪橇的质量为m,它与路面的滑动摩擦因数为μk.当把雪橇由底端拉上45°圆弧时,马对雪橇做了多少功?
重力和摩擦力各做了多少功?
[解答]取弧长增加的方向为正方向,弧位移的大小为
ds=Rdθ.
重力的大小为
G=mg,
方向竖直向下,与位移元的夹角为π+θ,所做的功元为
,
积分得重力所做的功为
.
摩擦力的大小为
f=μkN=μkmgcosθ,
方向与弧位移的方向相反,所做的功元为
,
积分得摩擦力所做的功为
.
要使雪橇缓慢地匀速移动,雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力,即,
或者.
拉力的功元为
,
拉力所做的功为
.
由此可见:
重力和摩擦力都做负功,拉力做正功.
2.23一质量为m的质点拴在细绳的一端,绳的另一端固定,此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动.设质点最初的速率是v0,当它运动1周时,其速率变为v0/2,求:
(1)摩擦力所做的功;
(2)滑动摩擦因数;
(3)在静止以前质点运动了多少圈?
[解答]
(1)质点的初动能为
E1=mv02/2,
末动能为
E2=mv2/2=mv02/8,
动能的增量为
ΔEk=E2–E1=-3mv02/8,
这就是摩擦力所做的功W.
(2)由于
dW=-fds=-μkNds=-μkmgrdθ,
积分得
.
由于W=ΔE,可得滑动摩擦因数为
.
(3)在自然坐标中,质点的切向加速度为
at=f/m=-μkg,
根据公式vt2–vo2=2ats,可得质点运动的弧长为
,
圈数为n=s/2πr=4/3.
[注意]根据用动能定理,摩擦力所做的
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