第3节平行线的综合及平移初步.docx
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第3节平行线的综合及平移初步
第三节平行线的综合及平移初步
一、课标导航
课标内容
课标要求
目标层次
平行线
会用平行线的判定和性质解决简单简单问题
★★
会用平行线的知识解决相关问题
★★★
两条平行线的距离
理解两条平行线间的距离的概念
★
利用两条平行线间的距离解决有关问题
★★
平移
了解图形的平移,理解平移中对应点连线平行(或在一条直线上)且相等的性质
★
能按要求做出简单平面图形平移后的图形,指出平移的方向和距离
★★
能应用平移的知识解决有关问题及进行图案设计
★★★
命题
知道什么是命题,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成
★
对于给定的命题,能找出它的题设和结论,并会把该命题写成“如果…,那么…”的形式,能判定该命题的真假
★★
二、核心纲要
1.平移变换(简称:
平移)
(1)平移的定义:
在平面内,将一个图形沿某一方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
(2)三角形内角和定理的应用
①经过平移后,对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等.
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.
注:
平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变.
2.两条平行线间的距离
在平面内,同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.
3.命题
命题:
判断一件事情的语句,叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
定理:
从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
命题的组成:
每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……,那么……”的形式.具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论.
4.基本几何模型
转折角处巧添平行线(拐点+平行线).
利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题).
5.思想方法:
转化思想
本节重点讲解:
一个性质(平移的性质),一个思想,两大模型,四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。
三、全能突破
基础演练
1.有以下现象:
①温度计中液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是().
A.①②B.①③C.②③D.②④
2.如图5-3-1所示,将△ABC平移到△A′B′C′.
图5—3—1
在上述平移过程中,连接各组对应点的线段即AA′、BB、CC之间的数量关系是________;位置关系是________________。
3.判断下列各命题的真假,真命题画“√”,假命题画“×”.
⑴如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角。
()
⑵相等的角是对顶角。
()
⑶如果AC=BC,那么C点是AB的中点。
()
⑷若x2=4,则x=2。
()
⑸同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交。
()
⑹同位角相等。
()
⑺邻补角的角平分线互相垂直。
()
4.对于命题:
⑴在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行。
写成“如果…,那么…”的形式为_____________________________________________________。
⑵对顶角相等。
写成“如果…,那么…”的形式为_______________________________________。
5.如图5-3-2所示,已知AB∥CD,∠α等于_________。
图5—3—2
6.已知,如图5-3-3所示,AB∥CD,请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系,并证明你所得的结论。
图5—3—3
7.如图5-3-4所示,把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换,拼成图⑤,则图⑤的面积是()
A.18B.16C.12D.8
8.按照灯,汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关,如图5-3-5所示是一按照灯碗的剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC,经灯碗反射以后平行射出,其中∠ABO=∠α,∠DCO=∠β,则∠BOC的度数是()
9.将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH,若HG=10,MC=2,MG=4,则图5-3-6中阴影部分的面积为____________。
图5—3—6
10.如图5-3-7所示,某商场重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯,已知这种地毯的批价为每平方米40元,已知主楼梯道的宽为3m,其侧面如图所示,则买地毯至少需要_____元。
图5—3—7
11.如图5-3-8所示,直线AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,则∠GHM的大小是__________。
图5—3—8
12.⑴如图5-3-9(a)所示,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=_______度。
如图5-3-9(b)所示,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=_______度。
如图5-3-9(c)所示,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_______度。
如图5-3-9(d)所示,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______度。
从上述结论中我们发现,如图5-3-9(e)所示,MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+=_______度。
⑵如图5-3-10(a)所示,AA1∥BA2,则∠A1,∠A2,∠B1之间的关系为______________;
如图5-3-10(b)所示,AA1∥BA3,则∠A1,∠A2,∠A3,∠B1,∠B2之间的关系为___________;
如图5-3-10(c)所示,AA1∥BAn,则∠A1,∠A2,∠A3,…An,∠B1,∠B2…∠Bn-1之间的关系为___________。
13.已知,如图5-3-11所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:
EK⊥FK.
图5—3—11
14.已知,如图5-3-12所示,AB∥CD,∠ABF=∠DCE。
求证:
∠BFE=∠FEC.
图5—3—12
15.如图5-3-13所示,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D。
证明:
β=2α
图5—3—13
16.已知,如图5-3-14所示,CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC。
求证:
AB∥GF。
图5—3—14
17.如图5-3-15所示,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分。
当动点P落在某个部分时,连接PA、PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角。
(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。
)
⑴当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
⑵当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
⑶当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论。
选择其中一种结论加以证明。
18.图形的操作过程(本题中四个长方形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b):
●在图5-3-16(a)中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分);
●在图5-3-16(b)中,将线段A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B2B1B3(即阴影部分)。
⑴在图5-3-16(c)中,请你类似地画一条有两个折点的线(所画的线互交叉),同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:
S1=______________,S2=______________,S3=______________。
⑶联想与探索
如图图5-3-16(d)所示,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少?
并说明你的猜想是正确的。
画图(要求对应点的水平位置上,宽度保持一致)
19.小强在做课后习题时,遇到这样一道题如图5-3-17所示,A、JB两村庄在一条河的两岸,从A村庄去B村庄,需要在河上造一座桥MV,请问桥造在何处从A村庄去B村庄的路径最短?
(假定河的两岸是平行的直线,桥与河垂直)”
小强的解题思路:
因为桥与河岸垂直,线段MJV是一个不变的量,将它平移到A处得线段,折线段AMNB的长度与折线段的长度相等.故要使AVNJB最短,就是求点M到点S最短即可,所以点N应是A'B与12的交点.
根据上述材料解答下列问题:
如图5-3-18所示:
A、C两个驻军地被两条河隔开,上级安排紧急任务,现要求一名士兵从A地出发到C地完成这项任务,现要修两座与河岸垂直的桥,问桥建在何处使得这名士兵走的路径最短?
(假定河的两岸是平行的直线,且两条河宽相等)
图5—3—18
图5—3—17
中考链接
20.如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是().
21.如图5-3-19,△DEF经过怎样的平移得到△ABC().
图5—3—19
A.把△DEF向左平移4个单位,再向下平移2个单位
B.把△DEF向右平移4个单位,再向下平移2个单位
C.把△DEF向右平移4个单位,再向上平移2个单位
D.把△DEF向左平移4个单位,再向上平移2个单位
22.(2011·湖南怀化)如图5-3-20所示,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°,则∠3∠等于()
A.100°B.60°C.40°D.20°
图5—3—20
23.(2011·广州改编)已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c。
其中真命题的是_________。
(填写所有真命题的序号)
巅峰突破
24.如图5-3-21所示,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=()
A.630°B.720°C.800°D.900°
25.如图5-3-22所示,AB∥CD,∠EAF=
∠EAB,∠ECF=
∠ECD,求证:
∠AFC=
∠AEC。
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