2413弧弦圆心角同步测控优化训练含答案1.docx
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2413弧弦圆心角同步测控优化训练含答案1
弧、弦、圆心角
一、选择题
1.下列说法中,正确的是()
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为()
图24-1-3-1
A.3∶2B.
∶2C.
∶
D.5∶4
3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于()
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )
A.有一个解 B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解
5.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数
6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:
“是乙或丙获奖”,乙说:
“甲、丙都未获奖”,丙说:
“我获奖了”,丁说:
“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
答案:
∶290°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.
(1)求证:
AC=DB;
(2)如果AB=6cm,CD=4cm,求圆环的面积.
图24-1-3-2
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.
求证:
OC=OD.
图24-1-3-3
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.
图24-1-3-4
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?
为什么?
图24-1-3-6
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F.试证:
弧AE=弧BF.
图24-1-3-7
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?
为什么?
图24-1-3-8
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形
,请你画出你的设计方案图(至少两种).
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?
(要求:
不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论)
图24-1-3-9
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10cm,OP=5cm,PA=4cm,求⊙O的半径.
图24-1-3-10
7.⊙O的直径为50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,求弦AB和CD之间的距离.
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.下列说法中,正确的是()
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
思路解析:
根据弧、弦、圆心角的关系知:
等弦所对的弧不一定相等,圆心角相等,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件,所以也不对;弦相等所对的圆
心角相等缺少等圆或同圆的条件,弦所对的弧也不一定是同弧,所以不正确;等弧所对的弦相等是成立的.
答案:
B
2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为()
图24-1-3-1
A.3∶2B.
∶2C.
∶
D.5∶4
思路解析:
作OE⊥CD于E,则CE=DE=1,AE=BE=2,OE=1.
在Rt△ODE中,OD=
=
.
在Rt△OEB中,OB=
=
=
.∴
OB∶OD=
∶
.
答案:
C
3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于()
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
思路解析:
∵AB为直径,∴OE=0.
∴OE∶OF=0.
答案:
D
二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
思路解析:
×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°.
答案:
90°
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
思路解析:
如图,OD⊥AB,OD=DB=AD.
设OD=x,则AD=DB=x.
在Rt△ODB中,∵OD=DB,OD⊥AB,
∴∠DOB=45°
.∴∠AOB=2∠DOB=90°,
OB=
x.
∴AB∶BC=1∶
=
∶2.
∴弦与直径的比为
∶2,弦所对的圆心角为90°.
答案:
∶290°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.
图24-1-3-2
(1)求证:
AC=DB;
(2)如果AB=6cm,CD=4cm,求圆环的面积.
思路分析:
求圆环的面积不用求出OA、OC
,应用等量代换的方法.事实上,OA、OC的长也求不出来.
(1)证明:
作OE⊥AB于E,∴EA=EB,EC=ED.∴EA-EC=EB-ED,即AC=BD.
(2)解:
连结OA、OC.∵AB=6cm,CD=4cm,∴AE=
AB=3cm.CE=
CD=2cm.
∴S环=π·OA2-π·OC2=π(OA2-OC2)=π[(AE2+OE2)-(CE2+OE2)]
=π(AE2-CE2)=π(32-22)=5π(cm2).
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.求证:
OC=OD.
图24-1-3-3
思路分析:
根据弧、弦、圆心角的关系得出.
证法一:
如图
(1),分别连结OA、OB.∵OA=OB,∴∠A=∠B.
又∵AC=BD,∴△AOC≌△B
OD.∴OC=OD.
(1)
(2)
证法二:
如图
(2),过点O作OE⊥AB于E,
∴AE=BE.
∵AC=BD,∴CE=DE.∴OC=OD.
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.
图24-1-3-4
思路分析:
如何利用∠CEA=30°是解题的关键,若作弦心距OF,构造直角
三角形,问题就容易解决.
解:
过O作OF⊥CD于F,连结CO.
∵AE=6cm,EB=2cm,∴AB=8cm.∴OA=
AB=4(cm),OE=AE-AO=2(cm).
在Rt△OEF中,
∵∠CEA=30°,∴OF=
OE=1(cm).
在Rt△CFO中,OF=1cm,OC=OA=4(cm),∴CF=
=
(cm).
又∵OF⊥CD,
∴DF=CF.
∴CD=2CF=2
(cm).
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5
思路分析:
考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可
适当添加辅助线.
解:
当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.
通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.
当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.
所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?
为什么?
图24-1-3-6
思路分析:
欲求两弧相等,结合图形,可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系,可先求弧AC与弧BE所对的弦相等,也可利用“等量代换”的思想,
先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.
解:
弧A
C=弧BE.
原因如下:
法一:
连结AC,∵AB、CD是直径,
∴∠AOC=∠BOD.∴AC=BD.
又∵BE=BD,∴AC=BE.∴弧AC=弧BE.
法二:
∵AB、CD是直径,
∴∠AOC=∠BOD.
∴弧AC=弧BD.
∵BE=BD,∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F.
试证:
弧AE=弧BF.
图24-1-3-7
思路分析:
欲求弧相等,结合图形,可先求弧所对的圆心角相等,即求∠AOE=∠BOF.
证明:
∵
OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AO=OB,∴∠A=∠B.
∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,
即∠AOC=∠BOD,
即∠AOE=∠BOF.
∴弧AE=弧BF.
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?
为什么?
图24-1-3-8
思路分析:
应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.
解:
在⊙O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴弧DF=弧AC=弧BE.
∴AC=EB=DF.
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形
,请你画出你的设计方案图(至少两种).
思路解析:
设计的基本思路是等分圆心角,或等分圆周,取得轴(或中心)对称的对应点,适当画圆或连线,设计出一些适合要求的图案.
答案:
根据题意画出如下方案供选用,如图,本题答案不唯一,只要符合条件即可.
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?
(要求:
不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论)
图24-1-3-9
思路解析:
因AD⊥BC,且AD为直径,所以可以利用垂径定理得到一些结论,同时可证得AD垂直平分BC,据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题,是一个开放性试题,开放到可以不写步骤,但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广,因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.
答案:
(1)BE=CE;
(2)弧BD=弧CD;(3)弧AB=弧AC
(4)AB=AC;(5)BD=DC;(6)∠ABC=∠ACB;
(7)∠DBC=∠DCB;(8)∠ABD=∠ACD;(9)AD是BC的中垂线;
(10)△ABD≌△ACD;(11)O为△ABC的外心等等.
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10cm,OP=5cm,PA=4cm,求⊙O的半径.
图24-1-3-10
思路分析:
圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形,再利用勾股定理来解决.
解:
过O作OC⊥AB于C,连结OA,则AB=2AC=2BC.
在Rt△OC
A和△OCP中,OC2=OA2-AC2,OC2=OP2-CP2,
∴OA2-AC2=OP2-CP2.
∵AB=10,PA=4,AB=2AC=2BC,∴CP=AB-PA-BC=1,AC=5.
∴OA2-52=52-1.∴OA=7,
即⊙O的半径为7cm.
7.⊙O的直径为50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,求弦AB和CD之间的距离.
思路分析:
(1)图形的位置关系是几何的一个重要方面,应逐步加强位置感的培养.
(2)本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.
(1)
解:
(1)当弦AB和CD在圆心同侧时,如图
(1),作OG⊥AB
于G,交CD于E,连结OB、OD.
∵AB∥CD,OG⊥AB,∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.
∵OE⊥CD,OG⊥AB,
∴BG=
AB=
×40=20(cm),
DE=
CD=
×48=24(cm).
在Rt△DEO中,OE=
=
=7(cm).
在Rt△BGO中,OG=
=
=15(cm).
∴EG=OG-OE=15-7=8(cm).
(2)
(2)当AB、CD在圆心两侧时,如图
(2),同理可以求出OG=15cm,OE=7c
m,∴GE=OG+OE=15+7=22(cm).
综上所述,弦AB和CD间的距离为22cm或7cm.
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- 2413 圆心角 同步 测控 优化 训练 答案