量子力学典型例题分析解答.docx

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量子力学典型例题分析解答

量子力学例题

第二章                              

一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数

[解]薛定谔方程:

        当 

   故有

       利用波函数在 

  处的连续条件

由

 处连续条件:

由

 处连续条件:

给定一个n值,可解一个

为分离能级.

2．  粒子在一维

势井中的运动 

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数

[解]体系的定态薛定谔方程为

当

时

对束缚态 

解为

在

 处连续性要求

将

 代入得 

又 

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3          分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

   求束缚态的能级所满足的方程

[解]束缚态下粒子能量的取值范围为  

当

 时  

当

 时  

    薛定谔方程为

令 

    解为

    当

 时  

令 

    解为

当

 时  

    薛定谔方程为

    令  

薛定谔方程为

解为

由  

    波函数满足的连续性要求,有

    要使

 有非零解

 不能同时为零

    则其系数组成的行列式必须为零

    计算行列式,得方程

例题

主要类型:

1.算符运算; 2.力学量的平均值;  3.力学量几率分布.

一. 有关算符的运算

1.证明如下对易关系

（1）

（2）  

（3）   

（4）   

（5）                                                      

[证]

（1）           

（2）            

（3）            

一般地,若算符

是任一标量算符,有   

（4）         

      一般地,若算符

是任一矢量算符,可证明有

（5）

=0

同理：

。

2.    证明哈密顿算符为厄密算符

[解]考虑一维情况

为厄密算符,

为厄密算符,

为实数

为厄密算符        

为厄密算符

3已知轨道角动量的两个算符

和

共同的正交归一化本征函数完备集为

        取:

试证明:

  也是

和

共同本征函数,对应本征值

       分别为:

。

        [证]

。

 是

的对应本征值为

 的本征函数

是

的对应本征值为

 的本征函数

又:

      可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面

1.       

（1）证明 

是

的一个本征函数并求出相应的本征值；

（2）求x在

态中的平均值

[解]         

即            

是

的本征函数。

本征值

2.     设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

     描写。

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

                【解】       

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:

是否归一化波函数

           能量本征值            

出现

的几率

 ,        出现

的几率

能量平均值          

另一做法

 3.一维谐振子在

时的归一化波函数为

        所描写的态中式中，式中

是谐振子的能量本征函数，求

（1）

的数值；2）在

态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）

时系统的波函数；（4）

时能量的可能值相应的概率及平均值

       [解]

（1） 

归一化，

，

，

（2）

，

，

；                  

，

；

，

；   

（3）

时，

            所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同

（2）。

4．  设氢原子处于状态     

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

     [解]  能量本征值           

               能量本征态           

              当n=2时             

 本征值为的

，

出现的几率为100％

 可能值为

出现的几率分别为：

。

     5.在轨道角动量

和

共同的本征态

下,试求下列期望值

（1）.

; 

（2）

.

          [解]：

 三   测不准关系

1.粒子处于状态

式中

为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系

[解]先归一化

（1） 动量平均值

（2）

（3）

附:

常用积分式：

（1）

（2）

（3）

第四章　　例题

1．力学量的矩阵表示

由坐标算符的归一化本征矢

及动量算符

构造成算符

和

试分别：

1）.求

和

在态

下的期望值；2）.给出

和

的物理意义

【解】

（1）.设态矢

已归一化    

   （粒子位置几率密度）

（2）

  （利用

  化到坐标表象）

又：

上式

2.试证明：

由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

（1）.是厄密算符，

（2）.有

，（3）.

的本征值为0和1

【证】

（1）.厄密算符的定义 

 为厄密算符

（2） 

  已归一化  

（3）.由

的本征值方程

又：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度

）基态粒子的波函数。

（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

【解】 所描述的状态，基态波函数

（1）.在x表象：

（2）.动量表象：

（3）.能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.

4.取

和

的共同表象，在

角动量空间中写出

的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法

 ）

【解】  

的共同本征函数为   

在

 空间       

（1）.   

同样

（2）       

利用:

利用正交归一条件:

同样

（3） 

利用:

矩阵:

矩阵:

5.已知体系的哈密顿量

 ,试求出

（1）.体系能量本征值及相应的在

所在的表象的正交归一化的本征矢组.

（2）.将

对角化，并给出对角化的么正变换矩阵

【解】

（1）.久期方程  

解之  

设正交归一的本征矢   

对应于

本征矢 

            归一化  

对应归一本征矢    

同样 

:

:

即为

的本征函数集

（2）.

对角化后，对角元素即为能量本

转换矩阵为

6． 证明：

将算符矩阵

对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。

【证】  

算符的本征矢：

则F算符在自身表象中为一对角矩阵：

对另一表象力学量的本征矢  

的本征矢

      7.

为厄密算符。

  ①求算符

的本征值，          ②在A表象下求算符

的矩阵表示。

     [解]：

① 

 设

的本征值为

本征函数为

            则  

            又  

 同理算符

的本征值也为

.

②           在A表象，算符

的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即

       设

利用   

  B为厄密算符

即     

又      

   取：

第五章                         例题

重点：

微扰论

1．  一根长为

，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的

质点

，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。

i）在小角近似下，求系统能级；ii）求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。

  解：

i）  势能：

  系统的哈密顿量

  在小角近似下:

  ii）若不考虑小角近似

  又

  利用公式

  同样

2.一维谐振子的哈密顿量为

，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用

，使用微扰论计算

对能量的一级修正，并与严格解比较。

  解：

i） 

 , 

又

ii）严格解

发生了变化

3．  已知体系的能量算符为

其中

为轨道的角动量算符。

（1）求体系能级的精确值。

（2）视

项为微扰项，求能级至二级近似值。

[解]：

i）精确解

令

，并在

平面上取方向

：

与z轴的夹角为

，则

与

相互对易，它们的本征值分别为

体系能级为

ii）微扰法

的精确解为   本征函数 

                本征能量 

按微扰论   

利用了公式

能量二级修正为

 在二级近似下 

4．  三维谐振子，能量算符为

，试写出能级和能量本征函数。

如这振子又受到微扰

，

的作用，求最低的两个能级的微扰修正。

并和精确值比较。

[解]：

（1设

的能量本征函数为

  代入方程  

（2）.基态的微绕修正

对基态 波函数

基态能级的零级 

无简并

能量的二级修正:

唯一不等于零的矩阵元为

（3）.第一激发态

     三度简并

  计算

不为零的矩阵元为

  久期方程    

  可求出能量的一级修正 

（4）.精确解

  令       

  基态         

  第一激发态   

5．设粒子的势能函数

是坐标的n次齐次函数， 即

 试用变分法证明， 在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关系

（维里定理）

  [证]设粒子所用的态用归一化波函数

描写则

  取试态波函数为

  由归一化条件

当

时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。

应在

时，取极值

6.  氢原子处于基态，加上交变电场

电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率。

[解]：

解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？

微扰矩阵元

?

初态：

氢原子基态  

末态:

 自由状态 

为能量为

  在单位立体角的末态密度。

微扰            

7．转动惯量为I,电偶极矩为D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为

为旋转角（从x轴算起）如果电场很强，

很小，求基态能量近似值。

[解]：

方法一 

与一位谐振子的能量本征方程

比较

有

方法二 用变分法，取归一化的试探波函数

所得结果与方法二一致。

8．设在

表象中，

的矩阵表示为

  其中

 试用微扰论求能级二级修正

  [解]：

在

表象中，

第六章                         例题

1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）

1）.

; 

（2）.

;

（3）.

;

（4）.设

 则

，

.

【证】

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

2．证明：

 并利用此结论求

本征值

【证】