高考数学提能专训十 空间图形的位置关系.docx
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高考数学提能专训十空间图形的位置关系
提能专训(十) 空间图形的位置关系
一、选择题
1.(2013·河北承德月考)若点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
答案:
B 命题立意:
本题考查异面直线的几何性质,难度较小.
解题思路:
因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直,故选B.
2.(2013·广东汕头一模)如图,P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案:
A 解题思路:
∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,
∴DA⊥平面PAB,又DA⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,∠CD1D=∠APB,
∴∠CD1D<90°,故平面PAD与平面PBC不垂直.
3.设α,β分别为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
A 命题立意:
本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断,意在考查考生的逻辑推理能力.
解题思路:
依题意,由l⊥β,l⊂α可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A.
4.(2013·吉林普通中学摸底)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论正确的是( )
A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线
B.若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线
C.已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,则n⊥β
D.m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直
答案:
B 解题思路:
本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中:
因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故A为假命题;在B中:
因为垂直于同一平面的两直线平行,故B为真命题;在C中:
n可以平行于β,也可以在β内,也可以与β相交,故C为假命题;在D中:
m,n也可以不互相垂直,故D为假命题.故选B.
5.(2013·浙江余姚中学质检)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一端点N在正方形ABCD内运动,则MN的中点的轨迹的面积为( )
A.4πB.2π
C.πD.
答案:
D 解题思路:
本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知,端点N在正方形ABCD内运动,连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形,设P为NM的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论△MDN如何变化,点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心,半径为1的球的
球面,其面积为
.
技巧点拨:
探求以空间图形为背景的轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡.
6.(2013·辽宁沈阳二中期中考试)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF是异面直线;②直线BE与直线AF是异面直线;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号是( )
A.①②B.②③
C.①④D.②④
答案:
B 解题思路:
本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形,如图,由题意可知,①直线BE与直线CF是异面直线,不正确,因为E,F分别是PA与PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,直线BE与直线CF是共面直线;②直线BE与直线AF是异面直线,满足异面直线的定义,正确;③直线EF∥平面PBC,由E,F是PA与PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以判断是正确的;④由题中条件不能判定平面BCE⊥平面PAD,故④不正确.故选B.
技巧点拨:
翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来,然后考查立体几何的常见问题:
垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力,考查学生空间想象能力.解决该问题时,不仅要知道空间立体几何的有关概念,还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的.
二、填空题
7.(2013·山西大学附中期中测试)如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD⊥平面CEFB,CE=1,∠AED=30°,则异面直线BC与AE所成角的大小为________.
答案:
45° 解题思路:
因为BC∥AD,所以∠EAD就是异面直线BC与AE所成的角.
因为平面ABCD⊥平面CEFB,且EC⊥CB,
所以EC⊥平面ABCD.
在Rt△ECD中,EC=1,CD=1,故ED=
=
.
在△AED中,∠AED=30°,AD=1,由正弦定理可得
=
,即sin∠EAD=
=
=
.
又因为∠EAD∈(0°,90°),所以∠EAD=45°.
故异面直线BC与AE所成的角为45°.
8.(2013·广东惠州调研)给出命题:
①异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;
②两异面直线a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;
③两异面直线a,b,如果a⊥平面α,那么b不垂直于平面α;
④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.
上述命题中,真命题的序号是________.
答案:
①③ 解题思路:
本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知:
异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线,故命题①为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面,故命题②为假命题;若b⊥α,则a∥b,即a,b共面,这与a,b为异面直线矛盾,故命题③为真命题;④两条异面直线在同一个平面内的射影可以是:
两条平行直线、两条相交直线、一点一直线,故命题④为假命题.
9.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的最大值为________.
答案:
16
命题立意:
本题以球的内接组合体问题引出,综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法,同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.
解题思路:
设球心到底面的距离为x,则底面边长为
,高为x+3,正六棱锥的体积V=
×
(9-x2)×6(x+3)=
(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x<3,则V′=
(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V
(1)=
(-1-3+9+27)=16
.
10.(2013·山西高三诊断)已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,
=
,则三棱锥与球的体积之比为________.
答案:
命题立意:
本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.
解题思路:
依题意,AB=2R,又
=
,∠ACB=90°,因此AC=
R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=
PO·S△ABC=
×R×
×
R×R=
R3.而球的体积V球=
R3,因此VP-ABC∶V球=
R3∶
R3=
.
三、解答题
11.
(2013·信息优化卷)如图,四边形ABCD与A′ABB′都是正方形,点E是A′A的中点,A′A⊥平面ABCD.
(1)求证:
A′C∥平面BDE;
(2)求证:
平面A′AC⊥平面BDE.
解题探究:
第一问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直,从而得到平面与平面垂直.
解析:
(1)设AC交BD于M,连接ME.
∵四边形ABCD是正方形,
∴M为AC的中点.
又∵E为A′A的中点,
∴ME为△A′AC的中位线,
∴ME∥A′C.
又∵ME⊂平面BDE,
A′C⊄平面BDE,
∴A′C∥平面BDE.
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.
∵A′A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A,∴BD⊥平面A′AC.
∵BD⊂平面BDE,
∴平面A′AC⊥平面BDE.
12.
(2013·原创卷)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(1)求证:
D1C⊥AC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.
命题立意:
本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.
解析:
(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D,∵DC=DD1,
∴四边形DCC1D1是正方形,
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1,
又D1C⊂平面DCC1D1,
∴AD⊥D1C.
∵AD⊂平面ADC1,DC1⊂平面ADC1,
且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1,
又AC1⊂平面ADC1,
∴D1C⊥AC1.
(1)题图
(2)题图
(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E∥平面A1BD,
可使MN∥D1E,又M是AD1的中点,
则N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN,
∴AB=DE.
即E是DC的中点.
综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.
13.
(2013·保定高三调研)已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=
AA′=2,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:
MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积.
命题立意:
本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
解析:
(1)证明:
如图,连接AB′,AC′,
∵四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
∴AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点.
∴MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′且AC′⊂平面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,
∵∠BAC=90°,∴BC=
=2
,
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
∴S△BCN=
×2
×4=4
.
∵A′B′=A′C′=2,∠BAC=90°,点N为B′C′的中点,
∴A′N⊥B′C′,A′N=
.
又BB′⊥平面A′B′C′,
∴A′N⊥BB′,
∴A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点,
∴M到平面BCN的距离为
,
∴VC-MNB=VM-BCN=
×4
×
=
.
14.
(2013·山西高三诊断)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,证明:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
命题立意:
本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等,意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力,考查化归与转化思想.
解析:
(1)证明:
在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4
,所以AD2+BD2=AB2.
故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD,
又BD⊂平面MBD,
所以平面MBD⊥平面PAD.
(2)过点P作OP⊥AD交AD于点O,
因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
所以PO=
×4=2
.
在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB上的高为
=
,此即为梯形ABCD的高.
所以四边形ABCD的面积S=
×
=24.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=
×24×2
=16
.
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