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解决问题的工具

第一章解决问题的工具

聚焦滑雪

你有没有想过……

·如果一张滑雪票每天是25美元,那么两个成

年人3天的周末假期内,花在滑雪票上钱是多

少?

·为什么高山会被雪覆盖?

因为山的高度每升

高3280英尺,它的温度就会降低4.1°,那么对

于一座10000英尺高的山脉,如果山脚下的温

度是65°,山顶的温度是多少?

本章课外自修项目

滑雪

小组合作

1和你的小组一起计划一次周末滑雪活动。

先选择几个滑雪点,比较一下去每个滑雪点所需的路费、住宿费、滑雪票、膳食费。

然后把你的结果与旅游公司、航空公司、报纸、滑雪杂志上的对照一下。

2计算一下购买或者租用滑雪服,滑雪用具以及其他一些用品所需的费用。

3什么会影响你旅行的开支?

4估计一下你们这次旅行的总开支。

5选择最合理的滑雪点。

6把你的结论和其他小组的比较一下，看看你们的周末滑雪计划中有没有明显的费用差异。

前瞻

在这一章里，你会看到如何用数学来解决有关滑雪费用的问题。

这一章的主要目标是:

·用四步法来解决问题。

·用估算来解决问题。

·使用运算的顺序。

·求解代数表达式。

1-1解决问题的计划

目标:

用四步法解决问题

在新闻里，你经常会听到百万富翁，亿万富翁.你知道他们非

常富有,但是他们到底有多富有呢?

理解一百万这个概念的一个方法是,看看自己要花几天能数完

一百万.你可以用四步法来解决这个或者其他的问题.这四个步

骤是:

1探索作计划要从理解问题入手。

你需要了解什么是已知

的，什么是未知的，问题是什么。

2计划理解了问题之后，你就应该列一个计划来解决这个

问题了。

你可以使用很多办法和策略。

你将会在这本书里学到

很多方法，策略。

通常这些方法会有助于你作出估计。

3解决接着你要执行你的计划。

如果这个计划行不同，就

试试另外一个。

4检验最后，你应该看看你的答案是否能回答原来的问

题。

你还可以用另一种方法来解决这个问题，以此来检查答案

是否正确。

把你的答案和你估计的比较一下，如果答案讲不通，

就重新建一个计划试一下。

例一

让我们用四步法来试着解决本节开头的问题。

探索条件是什么？

你知道什么？

·一分钟有60秒。

·一小时有60分钟。

·一天有24小时。

·假设数一个数需要1秒钟。

问题是什么？

你数到一百万需要多少天？

计划因为你已经假设数一个数需要1秒钟，那么数到一百万就

要1000000秒钟。

要想知道几天能数完一百万，首先要知

道一天有多少秒。

要做到这一点，就必须把天换算成小时，

把小时换算成分，再把分换算成秒。

然后再用除法算出数

到一百万所需的天数。

解决·把天换算成分。

24×60＝1440一天的分钟数

一天的小时数一小时的分钟数

　　·把分换算成秒。

1440×60＝86400　　　一天的秒数

一天的分钟数一分钟的秒数

·用除法算出数到一百万所需的天数。

1000000÷86400＝11．574074天

数一天的秒数

·数到一百万将要花大约11天半的时间。

而且这意味着

不吃饭、不睡觉、不做任何事情—除了数数。

检验你的答案合理吗？

你可以用乘法来检验除法。

11．574074×84600＝999999.99

你知道吗？

Alaska运油管道穿过三座山脉、20条河流、300条小溪流。

而且，大约一半的管道是建在地面上的。

例二

Alaska运油管道一天能输送大约二百万桶石油。

在这段从Alaska

的PrudhoeBay到Valdez的总长为810英里的路程中，运输石

油需要5天时间。

那么一天能运输多少路程呢？

探索你需要求一天所运输的路程，你知道总路程是810英

里，而且总共需要5天。

计划要求出运输一天所经过的路程，只要把810除以5。

估算500÷5＝100

1000÷5＝200

则答案应该在100到200之间。

解决现在来计算。

810÷5＝162

石油一天能运输162英里。

检验你的答案合理吗？

记住，你可以用乘法来检验除法。

162×5＝810。

你还可以用心算来检验答案的正确性。

如果运输完全程

需要10天，那么一天要运输81英里。

因此在5天内（

一半时间），就要每天运输两倍的路程，即162英里。

记得把你的答案和前面估算的对照一下，看看你的答案

是否合理。

检测

数学交流

　学习本课之后，回答下列问题。

1说说为什么在解决问题之前先列一个计划是重要的。

2请你用两点理由说明为什么要包含“检验”这个步骤。

3用你自己的话回答：

a如果你第一个计划行不通你会怎么做。

b你怎么知道它行不通？

指导练习

4旅行Mason一家开车行驶了753英里到GreatSmokyMountains

去渡假。

回来的时候，他们走了另外一条路，行驶了856英里。

他们

一共行驶了多少英里？

5园艺为了能够得着花床浇花，三根水管被连接在一起。

其中两根

都是25英尺，另一根是50英尺。

它们的总长度有92英尺吗？

问题解决

与

应用

6体育运动HankAaron以全部775个本垒打而保持着棒球本垒打

的最高记录。

仅在1966和1967年两年中，他就打出了83个本垒打。

如果他在1966年打了44个本垒打，那么他在1967年打了多少个本

垒打？

7体育运动有460个人要参加运动会的庆功宴，如果8个人坐一桌，

一共需要几桌？

8独立思考找一个最小的四位数，使它同时能被2、5、9整除。

9精明购物Daved看到一个钢琴授课广告说，每节课的费用是15.95

美元。

那么12节课要多少美元？

10数据搜集参见第610页的图表。

从1990到1992年，大约一共卖

出多少爆米花？

11运输Maplewood中学有9辆校车。

这些校车每星期一共行驶

4482英里。

那么平均每辆校车每星期行驶多少英里？

12棒球右边这张表格给出了近几年来在国际或全国棒球联赛中

本垒打的最高记录。

在这段时期总共打出了多少个本垒打？

13数学和媒介阅读下面这段文章

1906年，R.Fessenden制造了第一个无线电语音传输系统。

声音是怎么通过无线电传播的呢？

首先，声波的振动使得空

气也随之压缩、扩张，从而使麦克风能把声波转换成无线电

信号，另有一台无线电发射器产生出可以负载声音信号的无

线电波。

这些无线电波通过天线被发射到空中，又被电台的

天线所接收。

最后，电台的扬声器再把无线电波转换为声波。

1995年，有367.4百万台收音机被用于家庭，142.8百万用于轿车，43.7

百万用于各种货车，还有22.6百万用于工作中，则一共有多少台收音

机被使用？

估算的策略

1-2利用近似

目标：

用近似来估算和与差

Ross中学新闻编辑部为了能自己出版校报，正在节省资金打算

买一台电脑。

Rob是资金筹备委员会的负责人，电脑商店给了

他一张他所需要的电脑的价目表。

从这张价目表来看，委员会大

概需要筹足多少钱才能买电脑呢？

你可以利用近似来估算所需的资金。

在这个题目中，你只要把每个数近似到最近的百位数，然后用心算把它们加起来就行了。

$687.00$700

197.90200

217.90200

222.99200

+82.95+100

$1400资金筹备委员会需要筹足大约1400

美元才能买台电脑。

让我们来复习一下近似的规则。

例题

1把83近似到最近的十位数。

估算提示

··········

有时候，在连续求和或作差的式子中，估算每一个数的最高位近似值，再把这些近似值相加或相减，显得更为有用。

例如，估算1836+429+213+1208，可以这样作加法：

2000+400+200+1000，得估算结果为3600。

看十位数右边的数字3，因为3＜5，所以十位上的数字

8保持不变。

这样，83近似到最近的十位数是80。

2把362近似到最近的百位数。

看百位数右边的数字6，因为6＞5，所以百位上的数字

3要再加1。

这样，362近似到最近的百位数是400。

当我们不需要知道确切答案的时候,估算能为你提供简捷的答案。

你还能通过估算来检验答案的合理性。

例三

消费中的数学假设你在当地的超市为今晚家里的晚饭挑选食物，

你买了一些植物油、鸡肉、咸猪肉，还有青椒。

购物清单如下所示。

想一想，这个价格总数合理吗？

幸运超市

6月10日

植物油2.55

鸡肉5.47

咸猪肉2.15

青椒1.09

总计11.26

把每一项近似到最近的整数。

$2.55近似到$3

帐单上的总数大约应是$3+$5+$2+$1共$11。

因此，总数$11.26是合理的。

检测

数学交流

学习本课之后，回答下列问题。

1写出两条你可以使用估算的理由。

2说说你怎样利用下图的数轴把数677近似到最近的百位数。

3示范一下，你如何利用近似来求764和189的差。

指导练习

利用近似估算。

菜单热量（卡）

新鲜水果沙拉50

脱脂草莓酸乳酪190

全麦英格兰松饼218

脱脂牛奶90

Kelly家庭餐馆提供一种特制的营养早餐。

这份早餐的菜单和它每项所含的热量如右图表格所示。

这份早餐总共含多少热量？

练习

独立练习

利用近似估算

13.4522+605914.7247-4126

21估算6015与2843的和。

22估算4963与519的差。

23估算73444与13127的差。

24估算3988与12019的和。

综合复习

25判断正误：

在四步法中，“解决”是最后一步。

（1-1课）

26旅行一个骑车旅行者计划了一次1800英里的旅行。

他打算每天

行6小时，每小时行15英里。

那么他完成这次旅行需要多少天？

（1-1

课）

27精明购物在百货商店，jeanne在选购洗发水的时候对两种洗发水

犹豫不决，一种是50盎司一瓶，10美分一盎司，一种是30盎司一瓶，

每盎司20美分。

哪一瓶洗发水价格更高一些？

（1-1课）

28音乐一个流行摇滚乐队想出一张新的CD，而一张CD至多能录

60分钟的音乐。

他们选了6首每首4分钟长的歌和8首每首5分钟长

的歌。

问，他们所选的歌能都录在这一张CD上吗？

（1-1课）

问题解决

与

应用

29教育georgia技术学院和grorgia州立大学都在乔治亚州，亚特兰大

市。

在georgia技术学院注册入学的学生一共有12891人，而在georgia

州立大学注册入学的有24101人。

请你估计一下georgia州立大学比

georgia技术学院多多少学生？

30俱乐部为筹集资金购买新的乐队制服，乐队支援者们在第一个星

期就卖出了5720盒小甜饼，第二个星期卖出了6147盒。

那么在这两

个星期内一共卖出了多少盒小甜饼？

31广播美国有2496家乡村音乐广播电台，2307家成人广播电台，1220

家宗教广播电台，972家音乐排行榜广播电台，723家老年广播电台，

491家摇滚唱片广播电台，488家访谈广播电台和460家新闻广播电台，

则美国大约一共有多少家广播电台？

32独立思考有4、5、6、7、8、9六个数字，请你把这六个数字组成

两个三位数（每个数字只能用一次），使它们的和最大。

33数学日志在这一课里，我们要求你们记日志。

在你们的日志里写

两三句话，描述一下你们在这一课里希望学到些什么。

估算的策略

1-

目标

利用模式来估计

积和商

3利用模式

挪威的lillehammer城是1994年冬奥会的东道主。

组织者用国家的

传统特色建造了冬奥会的各项设施。

其中，曲棍球的比赛场地——

gjovickolympiccavernhall完全是用hovdetoppen山上的石头建造而成的。

而建造这个场地一共用了29000辆装载车来装石头，如果每辆车大约可以装载5立方码的石头，那么一共运了多少石头？

我们需要估算29000和5的积。

你可以利用模式来估算这个积。

先把

每一项近似到它的最高位近似值，不要改变只是一位数的那一项。

然后用10、100、1000的倍数来乘。

你知道吗？

在地下建造奥运会的曲棍球场有很多优点。

一方面，宝贵的陆地空间被节省下来，另一方面，地下的恒温有利于节约控制温度所需的能量。

现在来估算29000×5

第一步把29000近似到30000

第二步寻找一个模式，然后用心算来解决。

3×5=15

30×5=150

300×5=1500

3000×5=15000

30000×5=150000

大概有150000立方码的石头被用来建造gjovickolympiccavernhall。

例题

1估算2268×62估算21×404

第一步把2268近似到2000，第一步把21近似到20

第二步寻找一个模式，再心算把404近似到400

2×6=1220×4=80

20×6=12020×40=800

200×6=120020×400=8000

2000×6=12000

2238×6大约等于12000。

21×404大约等于8000。

你还可以利用模式来估算商。

这时候，你先要把除数近似到

它的最高位近似值，然后用一个你所知道的比较容易除的近

似值来代替被除数。

例题

娱乐第一个关于米老鼠的动画片steamboutwillie是在

1928年完成的。

在制作这个动画片的过程中，ublwerks在

短短24天内画了14400幅画！

那么他平均每天要画多少幅

画呢？

我们需要来估算14400÷24

第一步把24近似到20。

把除数近似到它的最高位近似

值。

第二步把14400近似到14000，因为你知道14可以被2

整除。

第三步利用模式来心算

14÷2=7

140÷20=7

1400÷20=70

14000÷20=700

ubiwerks每天大约画了700幅画。

这可是个不小的数目啊！

检测

数学交流

学习本课之后，回答下列问题。

1说说你怎样使用模式来估算54×689。

2在估算4234÷7的商时，请你写出4234的估计值，并解释一下你的

答案。

指导练习

利用模式估算。

3

练习

独立练习

利用模式估算。

18.

29.估算792的9倍。

30.估算6152与58的商。

综合复习

31.运动一个棒球体育馆能容纳20000个观众。

如果有3650个观众

席是在露天看台上，那么体育馆还有多少个座位？

（1-1课）

32.建设一条正在兴建的高速公路在每2英里的路段上需要用4吨

水泥。

那么修建100英里需要多少水泥呢？

（1-1课）

33.利用近似估算3425与6243的和。

（1-2课）

34.夏令营一共有486个夏令营营员要到达miami营地。

如果已经

有269个人到了，那么大概还有多少人没到？

（1-2课）

35.金融anthony原来的银行存款是$2346.21，后来他又存入了

$521.19美元，那么现在他的存款是多少？

利用近似估算。

（1-2课）

问题解决

与

应用

36.艺术在苏格兰duns附近的一个小麦地里，有一幅用250000株

花草所组成的梵·高《向日葵》的复制品，这幅“画”有46000平

方英尺，那么每平方英尺大约种了多少株花草？

37.动物在动物园里，一头大象一星期要吃掉57颗卷心菜，那么一

头大象一年大概要吃掉多少颗卷心菜呢？

38.历史1986年7月4日，在自由女神像的落成典礼上，音乐会、

民族欢庆活动和礼花燃放活动精彩纷呈，而且那天有25000个人宣

誓入了美国国籍，成为新的美国公民。

自由女神像从基座的底部到

火炬的顶端共有305英尺1英寸长，而她的食指是8英寸长。

自由

女神像的长度是她食指的多少倍？

39.钱1992年的时候，13到15岁的儿童平均每人一星期可以拿

到15美元的津贴。

那他们平均每人一年可以拿多少津贴？

40.旅游位于london’shousesofparliament的bigben是钟表世界中

最大的铃，它重约2700磅，是它锤子重量的68倍，则锤子多重？

41.独立思考kara打算每月花60美元用于分期付款买一台新的电

脑。

她在micromax的两台类似的电脑之间选择，一台是789美元，

12个月付完，一台是829美元，16个月付完。

Kara能买得起哪一

台呢？

42.数学日志最近一本杂志上说，“一个美国人平均一年大约要吃10

罐金枪鱼。

”你认为他们是怎样得到这个估计值的？

从报纸或杂志上

找一些其它的例子，并且说一说，当你读这些例子的时候，是否觉

得学会估算积和商对你有所帮助。

问题解决的策略

1-4判断答案的合理性

目标

用估算来判断一个问题的答案是否合理。

dylan每逢周末到theicecreamdream打工做服务生，每小时可以挣4.25

美元。

工作了六个月以后，老板给他加了0.35美元/小时的工资。

Dylan

用计算器算出，如果他每星期工作12小时，那么他每周的工资将会增

加42美元。

这个结果合理吗？

用计算器计算是一种既快又简单的计算方法。

但有的时候，你可能会按

错键、漏掉数字或者搞错计算器的运算顺序，由此会导致最终结果错误。

因此，判断计算器的结果是否合理是一项重要的技能。

你可以用估算来判断一个答案的合理性。

如果计算器算出的答案与估计值比较接近，那么这个结果可能是正确的。

现在我们来估算一下dylan每星期的工资将会增加多少。

由于我们是计算两个数的乘积，因此可以用模式法来估计。

第一步把12近似到10。

第二步把0.35近似到0.4。

第三步寻找一个模式，再用心算。

10×4=40

10×0.4=4

dylan每星期的工资大概能涨4美元，所以他用计算器算出的结果42美元是不合理的。

例1

simone用计算器计算4182除以680，得到答案6.15。

这个答案正确吗？

第一步把680近似到700。

第二步把4180近似到4200。

第三步寻找一个模式，再用心算。

42÷7=6

420÷70=6

4200÷700=6

对，6.15这个结果是合理的。

通过估算来判断一个计算器算出的结果是否合理，这个方法在我们的日常生活中是很有帮助的。

例2问题解决

精明购物kim为度假买了一副太阳镜、两卷胶卷和一瓶防晒霜。

太

阳镜是15.79美元，胶卷每卷2.29美元，防晒霜3.69美元。

收银员向

她要了24.06美元。

这个总数合理吗？

让我们来估算一下总数，看看收款机算出的结果是否合理。

把每个数近似到最近的整数。

因此，收款机算出的结果是合理的。

检测

数学交流

学习本课之后，回答下列问题。

1解释一下你如何用估算来判断计算器算出的答案是否正确。

2谈谈你认为在什么情况下，用估算来检验答案的正确性是有用的。

3说说你觉得dylan在用计算器算他的薪水时，可能在哪里出了错？

指导练习

判断下列给出的答案是否合理。

4

10.你需要买三罐每罐69美分的金枪鱼罐头，一盒1.99美元的饼干，和

一加仑2.19美元的牛奶作为今天的晚餐。

你应该带5美元还是10美

元去商店？

练习

独立练习

判断下列给出的答案是否合理。

15.

综合复习

27.体育运动铁人三项赛包括10英里的跑步、35英里的自行车赛和

3英里的游泳。

那么在整个比赛中，每一名运动员要经过多少英里

路程呢？

（1-1课）

28.政治美国众议院326名议员投票决定财政预算议案。

其中有212

名议员投票反对这项议案，那么大概有多少议员赞成这项议案呢？

利用近似估算结果。

（1-2课）

29.利用近似估算4391+7887。

（1-2课）

30.锻炼一个美国人一年平均要走1250英里路。

那么他（她）每天

大概要走多少英里路？

利用模式估算。

（1-3课）

31.医药mudd医生接待一个病人大概需要17分钟，在一天8小时

的工作时间里一共可以安排多少个病人给她？

利用模式估算。

（1-3

课）

问题解决

与

应用

32.工作当Hernan收到他的每周工作时间表后，就把他每周要工作

的时间——21小时乘以他的薪水——每小时4.75美元，他的计算器

显示他每周的薪水将是82.50美元，这个答案合理吗？

33.社区服务

34.钱一个杂志的勤俭持家专栏建议人们每天从花费中省下5美

元，这样一年就能存1825美元了。

这个数据合理吗？

35.独立思考Tamoko在当地报纸的运动栏目下面读到一篇文章，你

觉得这篇文章中的数据看起来合理吗？

问题解决的策略

1-

目标

选择估算、心算、笔算或计算器计算来解决问题。

5选择计算的方法

Meadows小姐给她班上的学生出了这样一道题目。

选5个数字，并用

这5个数字组成一个两位数和一个三位数（其中每个数字只能选一次），使它们的乘积达到最大。

你会用哪种计算的方法来解决这个问题？

你可以选用估算、心算、笔算或计算器计算。

探索已知的是什么？

你可以用任意5个数字。

你必须用这全部5个数字组成一个

两位数和一个三位数。

你想得到什么？

哪两对数的积最大？

计划用下面这张表来帮助你决定用哪种计算方法。

家庭活动

在某一天里，记下在家里各种情形下用到的计算方法，包括用计算器、心算、笔算、估算。

看看你最常用的是哪种方法。

你需要确切的答案吗？

不需要估算

需要

你看到模式没有这是简单不是里面有很大的数

或数据了吗？

的计算吗？

或复杂的计算

看到了是是

用心算用笔算用计算器

现在由于你需要确切的答案，而且你要把每对数都相乘，所以用计算器来计算吧。

解决让我们选择1、2、3、4、5这五个数字。

把4和5放在两个

数最具决定作用的位置上。

然后组合其它数字，轮流计算它

们的乘积。

521×43=22403

由1、2、3、4、5所组成的具有最大乘积的两位数和三位数

分别是52和431。

检验当5和4在同一个数中时，两数的乘积比上面任何一个乘积

都小。

检测

数学交流

学习本课之后，回答下列问题。

1谈谈怎样利用文中提供的那张表来帮助你选择计算的方法。

2写