a1a2a3是规范正交向量组.docx
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a1a2a3是规范正交向量组
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a1,a2,a3是规范正交向量组,
篇一:
第三讲向量组
第三讲向量组
---------------------------------------------------
向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。
研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。
向量组是线性代数的重难点之一,概念多,内容抽象,推理逻辑性强,描述要求准确,与矩阵、方程组相互交织,可以相互转换。
例如,向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础;向量组的秩和相应矩阵秩一致,是向量组与矩阵结合点,反映了向量组和矩阵的本质。
向量组主要分三大部分:
■线性表示与线性相关性:
向量的线性组合和线性表示;向量组的线性表示与等价向量组;向量组的线性相关性;
■向量组的秩:
向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法,向量组秩与矩阵秩关系;秩与线性相关性的关系;
■向量空间:
向量空间及其基、维数;向量在基下的坐标;两基间的过渡矩阵;基的规范正交化:
正交阵及其性质。
教材:
第四,第五章第1节。
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一、主要内容
1、向量及其线性运算
----概念------------------------------------------
(1)n个数组成的有序数组称为n维向量;写成一行的称为行向量,写成一列的称为列向量;若干个同维行(列)向量的集合称为向量组;
(2)设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR,则下列运算
ka(ka1,ka2,,kan),ab(a1b1,a2b2,,anbn),
称为向量的线性运算;
(3)设有向量组a1,a2,,an和向量b,若存在常数k1,k2,,kn,使得有
bk1a1k2a2knan,
则称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合[向量b可以由向量组a1,a2,,an的线性表
示];
(4)设有两个同维向量组a:
a1,a2,,an,b:
b1,b2,,bm,
①若a中每个向量均可由向量组b线性表示,则称为向量组a可由向量组b线性表示;
②若向量组a与向量组b可相互线性表示,则称向量组a与向量组b为等价向量组。
注意:
等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].
----转化---------------------------------
(1)向量组与矩阵:
m×n矩阵a与其行(列)向量组一一对应:
12。
a(a,a,,an)12m
(2)线性表示与线性方程组:
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
x1bxaxaxa(a,a,,a)x2axnnn112212xn
axb有解r(a)r(a|b)。
注意:
行向量一般转化为列向量来处理,即所谓的“列摆行变换”。
(3)矩阵amn(a1,a2,,an)的列向量组可由矩阵bms(b1,b2,,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵xsn,使有abx;
矩阵amn112的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩b2snms
阵xms,使有axb。
[以书写二阶为例,规律记为“左行右列”。
]
-----------------------------------------------------------------------------------------
2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩
----概念--------------------------------------
(1)设有向量组a1,a2,an,如果存在一组不全为零的数x1,x2,xn,使
x1a1x2a2xnan0,
则称a1,a2,an线性相关;否则,称之为线性无关;
(2)如果在向量组a中能选出r个向量a1,a2,,ar满足:
(ⅰ)a1,a2,,ar线性无关;
a1,a2,,ar线性表示],则称a1,a2,,ar为向量组a的一个最大无关组;a的最大无(ⅱ)a中任意r1个向量(如果有的话)均线性相关[a中任意向量均可由
关组所含向量的个数称为向量组a的秩,记为r(a)。
----转化----------------------------------
(1)设amn(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t,则
列向量a1,a2,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零
解]r(a)n[r(a)n];
注意:
向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。
由此可知:
当向量个数大于向量维数时,向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时,线性齐次方程必有非零解。
---------------------------------------------------
4、线性无关向量组的正交化
----概念-------------------------------------------
(1)设有n维列向量xx1,x2,,xntt,yy1,y2,,yn,则称数
tnx为向量与y的内积。
内积具有下列性质:
(x,y)xyxiyi
i1
ⅰ
、对称性:
(x,y)(y,x);
ⅱ、线性性:
(axby,z)a(x,z)b(y,z);
ⅲ、非负性:
(x,x)0,(x,x)0x0。
ttn2
(2)对n维列向量xx1,x2,,xn,称非负数|x|xxxi为向
量x的模。
模为1的向量称为单位向量;模为0的向量称为零向量。
i1
0对非零向量x,单位化得单位向量x
(3)①a与b正交(a,b)0;1。
x②两两正交的非零向量组称为正交向量组,即
m0,{ai}i1为正交向量组(ai,aj)0,
注意:
正交向量组是线性无关向量组,反之不然。
③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组,即ij;ij.
m0,ij;{ai}i1为规范正交向量组(ai,aj)1,ij.
④以正交向量组作为空间的基称为正交基;以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。
r注意:
向量b由基a1,a2,ar线性表示为:
bxaii;
i1
r(a,b)由正交基a1,a2,ar线性表示为:
bi;
i1iir由标准正交基a1,a2,ar线性表示为:
b(ai,b)ai。
i1
可见,向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组,只需计算内积就可求得。
(4)方阵a为正交阵
naatataea1ata的行[列]向量组均为n维向量空间R的标准正交基aij
矩阵的线性变换称为正交变换。
正交阵具有下列性质:
ⅰ、a为正交阵aij(i,j1,2,,n)。
以正交阵为线性变换a1,at,a*均为正交阵ata*;
ⅱ、a为正交阵|a|=1;
ⅲ、正交阵的积为正交阵。
----方法------------------------------------施密特正交化设a1,a2,ar为线性无关向量组[基],则可采用下列方法进行规范正交化:
ⅰ、正交化:
取b1a1;(b,a)b2a2b1;(b1,b1)(b,a)(b2,a3)13b3a3b1b2;(b1,b1)(b2,b2)
;(b,a(b,ar)(b,ar)r)brarb1b2br1,(b1,b1)(b2,b2)(br1,br1)
rr则{bi}i1为两两正交向量组[正交基],且{bi}i1与{ai}ir1等价;bⅱ、单位化:
取ei(i1,2,,r),则{ei}ir1为规范正交向量组[规范正交|bi|
rr基],且{ei}i与1{ai}i1等价。
---------------------------------------------------
二、常考知识点
1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换[大题常考知识点]
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an(唯一/不唯一)线性表示axb
有(唯一/无穷多)解r(a)r(a|b)(n/n);
列向量b不可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
axb无解r(a)r(a|b)。
由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:
a的列向量组可由b的列向量组线性表示bxa有解r(b)r(b|a);
bxa无解a的列向量组不可由b的列向量组线性表示
r(b)r(b|;a)
a与b的列向量组等价bxa,axb均有解r(a)r(a|b)。
rb
注意:
行向量一般转化为列向量来处理,即所谓的“列摆行变换”。
2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换
设amn
列向量(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t,则a1,a2,,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零解]r(a)n[r(a)n]a列满秩[非列满秩]。
由此可知:
当向量个数大于向量维数时,向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时,线性齐次方程必有非零解。
内涵丰富:
向量组线性无关(相关)=线性齐次方程组只有零解(有非零解)=系数矩阵列满秩(不是列满秩)。
例如,若abo,bo,则a的列向量线性相关。
3、判定向量组线性相关性的重要结论⑴a1,a2,am(m2)线性相关a1,a2,am中“至少有一个”可由其余向量
线性表示;a1,a2,am(m2)线性无关a1,a2,am中“任意一个均不能”由其
余向量线性表示;
⑵a1,a2,am线性无关,a1,a2,am,b线性相关b可由a1,a2,,am唯一
篇二:
实验报告
数学实验报告
班级:
11数学
(1)班姓名:
黄思、刘锦锦学号:
20xx326660102、20xx326660104成绩:
1
2
班级:
11数学
(1)班姓名:
黄思、刘锦锦学号:
20xx326660102、20xx326660104成绩:
3
4
5
篇三:
向量组的线性相关性
线性相关性
一、填空题
例设向量组1(1,2,1)t,2(2,3,1)t,3(x,3,1)t,4(2,y,3)t,的秩为2,则xy
例已知向量组11,2,1,22,0,t,30,4,5线性相关,则t3.例若向量组1(1,2,3)t,2(2,3,4)t,3(3,4,t)t线性相关,则t5.
t
t
t
二、选择题
例设矩阵a、b、c均为n阶方阵,若abc,且b可逆,以下正确的是【B】.
(a)矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价;(b)矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价;(c矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价;(d)矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价.
1001
例10,21,31,41,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相
cccc1243
关的为(c)
(a)1,2,3;(b)1,2,4;(c)
1,3,4;(d)2,3,4.
例设a1,a2,,as均为n维列向量,下列选项不正确的是【b】.
(a)对于任意一组不全为0的数k1,k2,,ks都有k1a1,k2a2ksas0,则a1,a2,,as线性无关;
(b)若a1,a2,,as线性相关,则对于任意一组不全为0数k1,k2,,ks都有
k1a1,k2a2ksas0;
(c)a1,a2,,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s;(d)若a1,a2,,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.例设a1,a2,,as均为n维列向量,a是mn矩阵,下列选项正确的是【a】.
(a)若a1,a2,,as线性相关,则aa1,aa2,,aas线性相关;(b)若a1,a2,,as线性相关,则aa1,aa2,,aas线性无关;
(c)若a1,a2,,as线性无关,则aa1,aa2,,aas线性相关;(d)若a1,a2,,as线性无关,则aa1,aa2,,aas线性无关.
例设a是4阶矩阵,且a的行列式a0,则a中【(c)】.
(a)必有一列元素全为0;(b)必有两列元素成比例;
(c)必有一列向量是其余列向量的线性组合;(d)任意列向量是其余列向量的线性组合.
12a1
2.设有向量组a:
11,21,32,及向量b,问a,b为何值时
45101
(1)向量不能由1,2,3线性表示;
(2)向量能由1,2,3线性表示,且表示式惟一;
三、解答题.
例(本题满分6分)设1,2为方阵a的两个不同特征值,1,2为a的相应于1的两个线性无
关的特征向量,3,4为a的相应于2的两个线性无关的特征向量,证明:
向量组1,2,3,4线性无关。
证明:
设k11k22k33k440,(a)
因为1,2为a的相应于1的两个线性无关的特征向量,3,4为a的相应于2的两个线性无关的特征
向量,有a12333,a424,11,a12,a
(a)式左右两端同时左乘a可得,1k111k222k332k440(b)(a)1(b)可得,
(12)k33(12)k440
又因为1,2为方阵a的两个不同特征值,且3,4线性无关,可得
k3k40
同理(a)2(b)可得k1k20
因此向量组1,2,3,4线性无关。
例1)(6分)设a为3阶矩阵,1,2为a的分别属于特征值1,1的特征向量,向量3满
足a323,证明1,2,3线性无关;证:
令k11k22k330,
(1)
则k1a1k2a2k3a30
于是有k11k22k3(23)0
(2)
(1)-
(2)得2k11k320,由1,2线性无关得k1k30,代入
(1)得k220,由20得k20,故1,2,3线性无关.
例(8分)1,2,,s是齐次线性方程组ax0的基础解系,满足a0,证明:
1,2,s,线性无关.
2.(6分)设n阶方阵a满足:
r(a)r.证明:
a可以表示成r个秩为1的矩阵之和.解:
(1)令k1
(1)k2
(2)ks(s)k
0
整理得k11k22kss(kk1ks)0,
上式两端左乘a得k1a1k2a2ksas(kk1ks)a0,则有(kk1ks)a0,由a0得(kk1ks)0,于是有k11k22kss0,
由1,2,,s线性无关得k1k2ks0,从而有k0,故1,2,s,线性无关.
例若向量1,2,3,4是n元非齐次线性方程组axb的解向量,那么它们的线性组合
k11k22k33k44也是该方程组解向量的充分必要条件是k1k2k3k41;
2设a是n阶矩阵,1和2是a的两个不同的特征值,1,2是a的属于特征值1的两个线性无关的特征向量,3是a的属于特征值2的特征向量,证明:
1,2,3线性无关.例1设1,2,,r为n维空间Rn中的正交向量组,证明:
1,2,,r线性无关.
令k11k22krr0(k1,k2,,krR),(2分)用it(i1,2,,r)左乘上式两端得,
k1it1k2it2kritr0(k1,k2,,krR),
由1,2,,r为n维空间R中的正交向量组知,itj则有ki0(i1,2,,r).(5分)因此1,2,,r线性无关.(6分)
例设0是非齐次线性方程组axb的一个解,1,2,3是对应的齐次线性方程组ax0的基础解系,证明:
(1)0,1,2,3线性无关;
(2)0,10,20,30线性无关;证:
(1)令k0k11k22k330,
用a左乘上式两端得,ka0k1a1k2a2k3a30.则有ka00,由a0b0知,k0.。
于是有k11k22k330,
由1,2,3线性无关知,k1k2k30.因此0,1,2,3线性无关.
(2)令k0k1(10)k2(20),k3(30)0,整理得(kk1k2k3)0k11k22k330由
(1)知0,1,2,3线性无关,于是得
n
0,ij
,
1,ij
(kk1k2k3)0,k10,k20,k30,
则有kk1k2k30,
因此0,10,20,30线性无关.
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