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第13课时直通中考
第一部分系统复习知能提升
第三单元函数及其图象
第13课时二次函数的应用
一、选择题
1.
二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是( )
A.-8B.8C.±8D.6
解析:
由图可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0.解得m=±8.∵对称轴为直线x=-
<0,∴m>0.∴m的值为8.
答案:
B
2.
若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②m>-
;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析:
一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得x2-5x+6-m=0.∵方程有两个不相等的实数根x1,x2,∴b2-4ac=(-5)2-4(6-m)=4m+1>0.解得m>-
.故结论②正确;∵一元二次方程实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-m.而结论①中x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故结论①错误;二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),令y=0,得(x-2)(x-3)=0.解得x=2或3.∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论③正确.综上所述,正确的结论有2个:
②③.
答案:
C
3.
如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-1<x<5 B.x>5
C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5
解析:
由图象得,对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0).∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).利用图象可知,ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集.∴x<-1或x>5.
答案:
D
4.
如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=
的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式
+x2+1<0的解集是( )
A.x>1B.x<-1
C.0<x<1D.-1<x<0
解析:
∵抛物线y=x2+1与双曲线y=
的交点A的横坐标是1,∴x=1时,
=x2+1.再结合图象当0<x<1时,
>x2+1,∴-1<x<0时,|
|>x2+1.∴
+x2+1<0.∴关于x的不等式
+x2+1<0的解集是-1<x<0.
答案:
D
二、填空题
5.
若关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为________.
解析:
令y=0,则kx2+2x-1=0.∵关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,∴关于x的方程kx2+2x-1=0只有一个根.①当k=0时,2x-1=0,即x=
,∴原方程只有一个根.∴k=0符合题意;②当k≠0时,Δ=4+4k=0,解得k=-1.综上所述,k=0或-1.
答案:
0或-1
6.
教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-
(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是________m.
解析:
令函数解析式y=-
(x-4)2+3中,y=0时,解得x1=10,x2=-2(舍去).∴铅球推出的距离是10m.
答案:
10
7.
某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一颗树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种________棵橘子树,橘子总个数最多.
解析:
假设果园增种x棵橘子树,那么果园共有(x+100)棵橘子树,∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子,则平均每棵树结(600-5x)个橘子.∵果园橘子的总产量为y,∴则y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.∴当x=-
=-
=10(棵)时,橘子总个数最多.
答案:
10
三、解答题
8.
在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
分析:
(1)观察可得该函数图象是一次函数,设出一次函数解析式,把其中两点代入即可求得该函数解析式,进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同;
(2)销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量;(3)根据进货成本可得自变量的取值,结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.
解:
(1)y是x的一次函数,设y=kx+b,
∵图象过点(10,300),(12,240),
∴
解得
∴y=-30x+600.
当x=14时,y=180;当x=16时,y=120.
∴点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600图象上.
∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600;
(2)w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600,
∴w与x之间的函数关系式为
w=-30x2+780x-3600;
(3)由题意,得6(-30x+600)≤900.解得x≥15.
w=-30x2+780x-3600图象的对称轴为
x=-
=-
=13.
∵a=-30<0,∴抛物线开口向下.
当x≥15时,w随x增大而减小.
∴当x=15时,w最大=1350,即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.
9.
某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:
销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元?
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?
最大的月利润是多少?
分析:
(1)根据题意知一件玩具的利润为(30+x-20)元,月销售量为(230-10x),然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式;
(2)把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中,求出x的值即可;(3)把y=-10x2+130x+2300化成顶点式,求得当x=6.5时,y有最大值,再根据0<x≤10且x为正整数,分别计算出当x=6和x=7时y的值即可.
解:
(1)根据题意,得
y=(30+x-20)(230-10x)=-10x2+130x+2300,
自变量x的取值范围是0<x≤10且x为正整数;
(2)当y=2520时,得-10x2+130x+2300=2520.
解得x1=2,x2=11(不合题意,舍去).
当x=2时,30+x=32(元),∴每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元.
(3)根据题意,得
y=-10x2+130x+2300=-10(x-6.5)2+2722.5.
∵a=-10<0,
∴当x=6.5时,y有最大值为2722.5.
∵0<x≤10且x为正整数,
∴当x=6时,30+x=36,y=2720(元).
当x=7时,30+x=37,y=2720(元).
∴每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是2720元.
10.
为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:
y=-10x+500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
分析:
(1)把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;
(2)由利润=销售价-成本价,得w=(x-10)(-10x+500),把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;(3)令-10x2+600x-5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设政府每个月为他承担的总差价为p元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值.
解:
(1)当x=20时,y=-10x+500=-10×20+500=300,300×(12-10)=300×2=600,
即政府这个月为他承担的总差价为600元.
(2)依题意,得w=(x-10)(-10x+500)
=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000,
∵a=-10<0,∴当x=30时,w有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000.
(3)由题意,得-10x2+600x-5000=3000.
解得x1=20,x2=40.
∵a=-10<0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知,当20≤x≤40时,w≥3000.
又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=(12-10)×(-10x+500)=-20x+1000.
∵k=-20<0,∴p随x的增大而减小.
∴当x=25时,p有最小值500.
∴销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
1.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=3
解析:
∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是x=
.又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.
答案:
B
2.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )
A.-1≤x≤9B.-1≤x<9
C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥9
解析:
由图形可以看出,抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的交点的横坐标分别为-1,9.当y1≥y2时,x的取值范围正好在两交点之内(包括两交点),即-1≤x≤9.
答案:
A
3.如图,小浩从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中得到如下信息:
①ab<0;②4a+b=0;③当y=5时只能得x=0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10有两个不相等的实数根.你认为其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-
=2,∴b=-4a.∴b>0,b+4a=0.∴①②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴(0,5)和(4,5)是抛物线上两对称点.∴x=0或4时,y=5.∴③错误;∵抛物线的顶点坐标为(2,9),∴y的最大值为9.∴ax2+bx+c≤9.∴一元二次方程ax2+bx+c=10无实数解.∴④错误.
答案:
B
4.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确的是________.(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;③抛物线的对称轴是直线x=
;④在对称轴左侧,y随x增大而增大.
解析:
根据图表,当x=-2,y=0时,根据抛物线的对称性,当x=3时,y=0,即抛物线与x轴的交点为(-2,0)和(3,0);∴抛物线的对称轴是直线x=3-
=
.根据表中数据得到抛物线的开口向下,∴当x=
时,函数有最大值,而不是x=0或1对应的函数值6,并且在直线x=
的左侧,y随x增大而增大.∴①③④正确,②错.
答案:
①③④
5.如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒.
解析:
设在10秒时到达A点,在26秒时到达B,∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同,∴A,B关于对称轴对称.∵从A到B需要16秒,∴从A到D需要8秒.∴从O到D需要10+8=18秒.∴从O到C需要2×18=36秒.
答案:
36
6.
(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来(描点);
(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1)
解析:
(1)确定顶点坐标和函数图象与x轴,y轴交点,作出图形;
(2)方程x2-2x=1的根就是二次函数y=x2-2x的函数值为1时的横坐标x的值;(3)观察图象可知交点即为方程的根.
解:
(1)如图,y=x2-2x=(x-1)2-1,作出顶点,作出与x轴的交点,用平滑的曲线连接三点画出函数图象;
(2)正确作出点M,N;
(3)写出方程的根为-0.4,2.4.
7.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到拱桥最高点O时,禁止车辆通行),试问:
如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?
若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
分析:
(1)结合题意和图所示的直角坐标系,我们可以得到D(5,-h),B(10,-h-3),即可求出抛物线的解析式;
(2)根据时间和车到桥的距离即可求出车安全过桥的最低速度.
解:
(1)设抛物线的解析式为y=ax2(a不等于0),拱桥最高点O到水面CD的距离为h米.则D(5,-h),B(10,-h-3).∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-
x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4(小时);货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到x千米/时,
当4x+40×1=280时,x=60.
∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.
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