数学分布泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式教案资.docx

数学分布泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式教案资.docx

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数学分布泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式教案资

数学期望：

随机变量最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

它是简单算术平均的一种推广。

例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：

E（X）=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、一个完全符合分布的样本

2、这个样本的方差

概率密度的概念是：

某种事物发生的概率占总概率

（1）的比例,越大就说明密度越大。

比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。

下图为概率密度函数图（F（x）应为f（x），表示概率密度）：

离散型分布：

二项分布、泊松分布

连续型分布：

指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布

抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关

二项分布（binomialdistribution）：

例子抛硬币

1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验）

2、

3、P（X=0）,P（X=1）,P（X=3）,……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布

泊松分布（possiondistribution）：

1、一个单位内（时间、面积、空间）某稀有事件

2、此事件发生K次的概率

3、P（X=0）,P（X=1）,P（X=3）,……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布

二项分布与泊松分布的关系：

二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布

均匀分布（uniformdistribution）：

分为连续型均匀分布和离散型均匀分布

离散型均匀分布：

1、n种可能的结果

2、每个可能的概率相等（1/n）

连续型均匀分布：

1、可能的结果是连续的

2、每个可能的概率相等（

）

连续型均匀分布概率密度函数如下图：

指数分布（exponentialdistribution）：

用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数分布常用于各种“寿命”分布的近似。

1、连续型分布，每个点的概率：

2、无记忆性。

已经使用了s小时的元件，它能再使用t小时的概率，与一个从未使用过的元件使用t小时的概率相同。

即它对已经使用过的s小时没有记忆。

指数分布的概率密度函数如下图：

正态分布（normaldistribution）：

又称高斯分布。

1、描述一个群体的某个指标。

2、这个指标是连续的。

3、每个特定指标在整个群体中都有一个概率（

）。

4、所有指标概率共同组成了一个分布，这个分布就是正态分布。

正态分布的概率密度函数如下图：

中心极限定理：

不论总体的分布形式如何（正态或非正态），只要样本（抽样样本）含量n足够大时，样本均数的分布就近似正态分布，且均数与总体均数相等，标准差为（总体标准差）/（n的开方）。

中心极限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。

t分布（studenttdistribution）:

1、t分布是以0为中心的一簇曲线，每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

3、总体样本呈正态分布（抽样样本含量较小时，要求总体样本呈正态分布，如果抽样样本含量很大（eg.n>=100），由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布，因而“差值”的概率也呈正态分布，而t分布的每一条曲线实际上都是正态分布曲线）

4、从一个总体样本中抽取很多个小样本———抽样

5、每个小样本都有一个均值

6、每个小样本的均值与总体样本均值有一个差值，这个差值用t估计

7、可能有多个小样本的差值估计都是t，t出现的次数占所有小样本的比例可以用一个概率衡量

8、所有t值的概率组成一个分布，就是t分布的一个曲线

9、另外做一个抽样，每个小样本包含的观测值不同，则形成t分布的另外一个曲线

10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、t分布只与自由度相关

t分布的概率密度函数如下图（v为自由度）：

X2分布（chisquaredistribution）：

1、X2分布也是一簇曲线，每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

2、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）

3、从总体样本中抽取n个观测值：

z1，z2，z3……———抽样

4、将它们平方后求和，这个和用一个新变量表示，即X2

5、重复抽样并获得多个X2：

X12，X22，X32，X42………

6、可能有多次抽样的X2值相同，同一个X2值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

7、所有的概率值共同组成一个分布，就是X2分布的一条曲线

8、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目n不同，得到的就是另外一条曲线

10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、X2分布只与自由度相关

X2分布的概率密度函数如下图（n在这里为自由度）：

F分布（F-distribution）：

1、F分布也是一簇曲线，每对自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

2、两总体样本方差比的分布

3、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）

4、从总体样本中抽取两个样本，两个样中的观测值数目可相同也可不同，分别记为n1和n2

5、分别计算出X2：

X1，X2

6、构建一个新变量F：

7、重复抽取样本，计算多个F值：

F1，F2，F3……..

8、可能有多次抽样的F值相同，同一个F值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

9、所有的概率值共同组成一个分布，就是F分布的一条曲线

10、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目n不同，得到的就是另外一条曲线

10、两个自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、F分布只与自由度相关

F分布的概率密度函数如下图（m，n在这里为自由度）：

【在推估总体平均值时，基于样本平均数的抽样分布】——t分布

【在用样本方差来推估总体方差时，必须知道样本方差的抽样分布】—X2分布

【比较两个总体的方差是否相等时，必须知道样本方差的联合抽样分布】—F分布

生存分析（survivalanalysis）：

1、多种影响慢性疾病的因素（不同手术方法、不同药物………）

2、随访一群患者

3、一段时间后统计生存和死亡

3、最终给出的结果是一个评价各种因素对生存时间的影响（生存时间、生存率有无差异）

贝叶斯公式（bayesformula）：

1、描述两个条件概率之间的关系———P（Bi|A）与P（A|Bi），A为事件，Bi为一个划分

2、P（Bi|A）=P（A|Bi）*P（Bi）/P（A）或者

3、看图理解

全概率公式（fullprobabilityformula）：

1、描述一个特定事件的概率与条件概率间的关系

2、P（A）=P（A|B1）*P（B1）+P（A|B2）*P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）

3、看图理解