普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2•回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的。
1-i
1•设z2i,则|z|二
1+i
1
A•0B•-
2
2.已知集合A=
A=
A.{x-1 C.1x|x: : : -1汇Kx|x2 C・1D•、、2 B•: x一1乞^12? D•「x|x乞-1lU「x|x_2l 3•某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是 A•新农村建设后,种植收入减少 B•新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D•新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4•设Sn为等差数列CaJ的前n项和,若3S3•2,a^2,则a§二 A•-12B•-10C•10 D•12 5•设函数f(x)=x3-(a-1)x2•ax,若f(x)为奇函数,则曲线y二f(x)在点(0,°)处的切线方程为 c•y=2x a•y=-2x d•y=x c—AC 44 6•在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,贝UEB 31_1A•—ABAC 44 D^AB3AC '44 7•某圆柱的咼为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应 点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N 的路径中,最短路径的长度为 A•217 9.已知函数f(x)二e,xs0,g(x)二f(x)xa.若g(x)存在2个零点,则a的Jnx,xa0, 取值范围是 D.[1,+8) C.23 截面面积的最大值为 3.2 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 x-2y-2_0 13.若 14.记 x,y满足约束条件x-y,1—0,则z=3x•2y的最大值为 Sn为数列a;■的前n项和,若Sn=2an•1,则S6= 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法 共有种.(用数字填写答案) 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,贝Uf(x)的最小值是. 三、解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,.ADC=90: .A=45: AB=2,BD=5. (1)求cos£ADB; (2)若DC=2,2,求BC. 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC 折起,使点C到达点P的位置,且PF_BF. (1)证明: 平面PEF—平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19.(12分) 2 x 设椭圆C: y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于代B两点,点M的坐标 2 为(2,0). (1)当丨与X轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: •OMA=/OMB. 20.(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品,则更换为合格品•检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再 根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 p(0: : : p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立•学科&网 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件 不合格品支付25元的赔偿费用•学科网 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X, 求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21.(12分) 1 已知函数f(x)xalnx. x (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: fx1-fx2: a一2. Xj—x2 (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,曲线G的方程为y二k|x|2•以坐标原点为极点,x轴正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为‘2•2‘cosv-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若G与C2有且仅有三个公共点,求G的方程. 23.[选修4吒: 不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)・1的解集; (2)若(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围 参考答案: 1 23 4 56 7 89 10 11 12 C BA B DA B DC A B A 3、3 13.6 14.-6315.16 16. 2 17. (12分) 解: (1)在△ABD 中, 由正弦定理得 BD AB sin—A sinADB 由题设知,52,所以sin•ADB二—. sin45°sin^ADB5 厂2V23 由题设知,—ADB: : : 90,所以cos^ADB=•1「 \255 (2)由题设及 (1)知,cos.BDC=sin.ADB二 5 在厶BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2DC2-2BDDCcosBDC =258-25 =25. 所以BC=5. 18.(12分) 解: (1)由已知可得,BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF. 又BF二平面ABFD,所以平面PEF丄平面ABFD. (2)作PH丄EF,垂足为比由 (1)得,PH丄平面ABFD. 以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系H-xyz. 由 (1)可得,DE丄PE.又DP=2,DE=1,所以PE=、_3.又PF=1,EF=2,故PE丄PF. 可得PH3,EH=3. 22 则H(0,0,0),P(0,0, -^),D(—1,—? 0),DS=(1,3,匕),HP=(0,0,二)为平面 22222 ABFD的法向量. 所成角为[贝Usin^-|H『DP) |HP|JDP| 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为丄3. 4 19.(12分) 解: (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1. 由已知可得,点a的坐标为(1,耳)或(1,—¥). 所以AM的方程为y二-丄2x-、2或y二丄2x-;2. 22 (2)当I与x轴重合时,ZOMA/OMB=0. 当I与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.OMA二.OMB. 当I与x轴不重合也不垂直时,设I的方程为y=k(x—1)(k=0),A(xi,yj,B(x2,y2), 则为: : : ■■、2,x^.2,直线MA,MB的斜率之和为kMA•kMB=—亠 为一2x2—2由%=k^_k,y2=kx2_k得 2 将y=k(x—1)代入-y2=1得 2 (2k21)x2-4k2x2k2-2=0. 从而kMA'kMB-0,故ma,mb的倾斜角互补,所以^oma=-omb. 综上,NOMA=NOMB. 20.(12分) 解: (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)二C20p2(1-P)18.因此 f(p)=c2o[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C;0p(仁p)17(仁10p). 令f(p)=0,得p=01.当pw(0,0.1)时,f(p)〉0;当pe(011时,f'(p)c0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由 (1)知,p=0.1. (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知 Y: B(180,0.1), X=20225Y,即X=4025Y. 所以EX=E(4025Y)=4025EY=490. (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400元. 由于EX.400,故应该对余下的产品作检验 21.(12分) 12 解: (1)f(x)的定义域为(0,•: : ),f(x^-17-1---— XX -ax1 2 X (i)若aE2,则「(X勺,当且仅当a=2,x=1时「(x)=0,所以f(x)在(0,址) 单调递减. (ii)若a2,令f(x)=0得,X」-*4或x,『一4 a-、a4a;a4 当x(o,刁)U(刁,: : )时, f(x): : 0; a—RaR)时, f(x) f(x)在 (0, a4),(a「孑-4「: )单调递减,在 22 ),( a-a2 2 _4)单调递 (2) 由 (1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当 a2. 2 f(x)的两个极值点x1,x2满足x-ax^0,所以XjX2=1,不妨设 X21.由于 f(Xi)-f(X2) X|_x2 1In捲—Inx2In捲一Inx2_2lnx2 1a2a2a %X2Xr_X2Xr_X2丄 …X2 X2 X<|_X2 所以f(Xi)——f(X2): : a_2等价于—-x22lnx2: : 0. X[-X? x? 1 设函数g(x)X2Inx,由 (1)知,g(x)在(0,=)单调递减,又g (1)=0,从x 而当x(1,•: : )时,g(x): : : 0. 所以1f(X1)—f(X2) x2%-x2 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 【解析】 (1)由X二「cosv,y=;? sinr得c? 的直角坐标方程为(x•1)2y^4. (2)由 (1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线•记y轴右边的射线为I1,y轴左边的射线为I2.由于B在圆C2的外面,故G与C2有且仅有三个公共点等价于h与 C2只有一个公共点且I2与C2有两个公共点,或I2与C2只有一个公共点且h与C2有两个公共点.学#科网 I-k+2| 当h与C2只有一个公共点时,A到h所在直线的距离为2,所以2=2,故 .k21 4 k=-3或k=0. 3 4 经检验,当k=0时,h与C2没有公共点;当k-时,h与C2只有一个公共点,I2 3 与C2有两个公共点. |k+2|c 当I2与C2只有一个公共点时,A到I2所在直线的距离为2,所以22,故k=0 Qk+1 或k=-. 3 4 经检验,当k=0时,h与C2没有公共点;当k=3时,J与C2没有公共点. 4综上,所求G的方程为y二-|x|2. 3 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分) 「―2,XA-1, I 【解析】 (1)当a=1时,f(x)=|x1|—|x_1|,即f(x)二2x,—1: : : x: : : 1, 2,x_1. 1故不等式f(x)1的解集为{x|x•—}. 2 (2)当x・(0,1)时|x・1|—|ax—1|.x成立等价于当x・(0,1)时|ax—1卜: 1成立. 若a乞0,则当x(0,1)时|ax—1|_1; 22 若a.0,|ax-1|: : : 1的解集为0: x,所以1,故0: : : a_2. aa 综上,a的取值范围为(°,2】.
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