高三数学二轮复习173概率随机变量及其分布列课时巩固过关练理新人教版.docx
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高三数学二轮复习173概率随机变量及其分布列课时巩固过关练理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习1.7.3概率随机变量及其分布列课时巩固过关练理新人教版
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(xx·承德一模)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为( )
A.B.C.D.
【解析】选A.不等式-1≤lo≤1可化为lo2≤lo≤lo,即≤x+≤2,解得0≤x≤,故由几何概型的概率公式得P==.
2.(xx·广州一模)甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( )
A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88
【解析】选D.因为甲、乙两人是否被录取相互独立,又所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,由对立事件和相互独立事件概率公式知,P=1-(1-0.6)
(1-0.7)=1-0.12=0.88.
3.(xx·河南中原名校二模)一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为( )
A.B.C.D.
【解析】选B.分两种情况3,1,1及2,2,1,这两种情况是互斥的,下面计算每一种情况的概率,当取球的个数是3,1,1时,试验发生包含的事件是35,满足条件的事件数是,所以这种结果发生的概率是=,同理求得第二种结果的概率是,根据互斥事件的概率公式得到P=+=.
4.(xx·郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.方法一:
记事件A:
从2号箱中取出的是红球;事件B:
从1号箱中取出的是红球,则根据古典概型和对立事件的概率和为1,可知:
P(B)==,P()=1-=;由条件概率公式知P(A|B)==,P(A|)==.从而P(A)=
P(AB)+P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|)·P()=.
方法二:
根据题意,分两种情况讨论:
①从1号箱中取出白球,其概率为=,此时2号箱中有6个白球和3个红球,从2号箱中取出红球的概率为,则此种情况下的概率为×=.
②从1号箱中取出红球,其概率为.此时2号箱中有5个白球和4个红球,从2号箱取出红球的概率为,则这种情况下的概率为×=.则从2号箱取出红球的概率是+=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(xx·张家界一模)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为_______
_____________.
【解析】4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只球所有可能的情况有:
白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2,共6种情况,其中2只球颜色不同的有5种,故P=.
答案:
6.(xx·大同一模)有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为_______
__________________.
【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1,
由几何概型,则P1===,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.
答案:
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.(xx·天津高考)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率.
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】
(1)由已知事件A:
选2人参加义工活动,次数之和为4,则
P(A)==.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
则X的分布列为:
X
0
1
2
P
【加固训练】(xx·赣州二模)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为A,B,C,D,E五个等级,分别对应5分,4分,3分,2分,1分,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.
(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数.
(2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望.
【解析】
(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E的学生有8人,
所以该班有8÷0.2=40人,
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×(1-0.375-
0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.
(2)ξ的值可以为16,17,18,19,20.
P(ξ=16)==,
P(ξ=17)==,
P(ξ=18)=+=.
P(ξ=19)==,
P(ξ=20)==.
所以ξ的分布列为
ξ
16
17
18
19
20
P
所以E(ξ)=16×+17×+18×+19×+20×=,所以ξ的数学期望为.
8.(xx·黄山二模)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的5道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,得分低于0分时记为0分(即最低为0分),至少得15分才能入选.
(1)求乙得分的分布列和数学期望.
(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
【解析】
(1)设乙的得分为ξ,则ξ的所有可能取值为:
0,15,30.
P(ξ=0)=+=,
P(ξ=15)==,
P(ξ=30)==.
ξ的分布列为
ξ
0
15
30
P
E(ξ)=0×+15×+30×=.
(2)设“甲入选”为事件A,“乙入选”为事件B,则
P(A)=+=,
P()=1-=,
由
(1)知,P(B)=P(ξ=15)+P(ξ=30)=+=,P()=1-=.
所求概率为P=1-P()=1-P()·P()
=1-×=.
(30分钟 55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6).设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是( )
A. B. C.D.
【解析】选B.总共有36种情况.
当x=6时,y有5种情况;当x=5时,y有4种情况;
当x=4时,y有3种情况;当x=3时,y有2种情况;
当x=2时,y有1种情况.所以P==.
2.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A.B.C.D.
【解析】选A.设事件A在1次试验中发生的概率为p,由题意得1-p0(1-p)4=,所以1-p=,p=.
3.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A.B.C. D.
【解析】选C.如图所示,△BCD是圆内接等边三角形,过直径BE上任一点作垂直于直径的弦,设大圆的半径为2,则等边三角形BCD的内切圆的半径为1,要使弦长大于CD的长,就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|,记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内},
由几何概型概率公式得P(A)==.
【加固训练】设p在[0,5]上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.方程有实根,则Δ=p2-4≥0,
解得p≥2或p≤-2(舍去).故所求概率为=.
4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:
分)的数学期望为( )
A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1
【解析】选A.由题意得X=0,1,2,
则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5
=0.2,
所以E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为__________.
【解析】分析题意可知,抽取的除5以外的四个数字中,有两个比5小,有两个比5大,故所求概率P==.
答案:
6.设整数m是从不等式x2-2x-8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ=m2,则ξ的数学期望E(ξ)=__________.
【解析】S={-2,-1,0,1,2,3,4},ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
16
P
所以E(ξ)=0×+1×+4×+9×+16×=5.
答案:
5
【加固训练】(xx·山西大同一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可知m=(a,b)有:
(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.m⊥n即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2种情况,所以所求概率为.
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出3名队员并预先排好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,以此类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等).
(1)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率.
(2)记双方结束比赛的局数为ξ,求ξ的分布列并求其数学期望E(ξ).
【解析】
(1)在已知乙队先胜一局的情况下,相当于乙校还有3名选手,而甲校还剩2名选手,甲校要想取胜,需要连胜3场,或者比赛四场要胜三场,且最后一场获胜,所以甲校获胜的概率是+=.
(2)记双方结束比赛的局数为ξ,则ξ=3,4,5,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==.
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
数学期望E(ξ)=3×+4×+5×=.
8.某技术公司新开发了A,B两种新产品,其质量按测试指标划分为:
指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标
[70,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
产品A
8
12
40
32
8
产品B
7
18
40
29
6
(1)试分别估计产品A,产品B为正品的概率.
(2)生产一件产品A,若是正品可盈利80元,次品则亏损10元;生产一件产品B,若是正品可盈利100元,次品则亏损20元.在
(1)的前提下,记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】
(1)由检测结果统计表,得产品A为正品的概率为:
=,
产品B为正品的概率为:
=.
(2)随机变量X的所有取值为180,90,60,-30,
P(X=180)=×=,
P(X=90)=×=,
P(X=60)=×=,
P(X=-30)=×=.
所以X的分布列为:
X
180
90
60
-30
P
E(X)=180×+90×+60×+(-30)×=132.
1.(xx·安阳二模)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数):
赞同
反对
总计
男
5
6
11
女
11
3
14
总计
16
9
25
(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下(有90%以上的把握)认为对这一问题的看法与性别有关?
(2)进一步调查:
①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率;
②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈,设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=
【解析】
(1)K2的观测值k=≈2.932>2.706.
由此可知,在犯错误的概率不超过0.1的前提下(有90%以上的把握)认为对这一问题的看法与性别有关.
(2)①记题设事件为A,则所求概率为P(A)==;
②根据题意,X服从超几何分布,P(X=k)=,k=0,1,2,3.X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E=0×+1×+2×+3×=1.
2.(xx·武汉一模)在xx年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案:
考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:
至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为,且每题回答正确与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望.
(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.
【解析】
(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ,η,则ξ的可能取值为1,2,3,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以考生甲正确回答题数的分布列为:
ξ
1
2
3
P
E(ξ)=1×+2×+3×=2.
又η~B,其分布列为:
η
0
1
2
3
P
所以E(η)=np=3×=2.
(2)因为D(ξ)=(2-1)2×+(2-2)2×+(2-3)2×=,
D(η)=npq=3××=,所以D(ξ) 因为P(ξ≥2)=+=0.8, P(η≥2)=+≈0.74, 所以P(ξ≥2)>P(η≥2). 从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的通过能力较强. 3.(xx·锦州一模)甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A,B,C,D,E五所高校中,任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校),但同学甲特别喜欢A高校,他除选A校外,在B,C,D,E中再随机选1所;同学乙和丙对5所高校没有偏爱,都在5所高校中随机选2所即可. (1)求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率. (2)记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数,求X的分布列及数学期望. 【解析】 (1)由题意知: 甲同学选中E高校的概率为p甲=, 乙、丙两同学选中E高校的概率为p乙=p丙==, 所以甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为: P=(1-p甲)·p乙·p丙=··=. (2)由题意知: X所有可能的取值为0,1,2,3, P(X=0)=p甲·p乙·p丙=×=, P(X=1)=(1-p甲)·p乙·p丙+p甲·(1-p乙)·p丙+p甲·p乙·(1-p丙) =··+··+··=, P(X=2)=(1-p甲)·(1-p乙)·p丙+(1-p甲)·p乙·(1-p丙)+p甲·(1-p乙)·(1-p丙) =··+··+··=, P(X=3)=(1-p甲)·(1-p乙)·(1-p丙)=··=, 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
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