常微分方程差分方程解法归纳.docx

常微分方程差分方程解法归纳.docx

《常微分方程差分方程解法归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程差分方程解法归纳.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

常微分方程差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳

1.一阶微分方程部分

①可分离变量方程（分离变量法）

如果一阶微分方程d^=f（x,y）中的二元函数f（x,y）可表示为f（x,y）二g（x）h（y）dx

的形式，我们称3=g（x）h（y）为可分离变量的方程。

dx

对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为-dyg（x）dx的形式，再对此式两边积

h（y）

分得到型g（x）dxC从而解出3二g（x）h（y）的解，其中C为任意常数。

'h（y）'dx

具体例子可参考书本P10—P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）

如果一阶微分方程史=f（x,y）中的二元函数f（x,y）可表示为dx

f（x,y）=Q（x）-P（x）y的形式，我们称由此形成的微分方程dyP（x）y=Q（x）为一阶线

dx

性微分方程，特别地，当Q（x）=0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性

非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程

裂P（x）厂0,这是可

—P（x）dx

分离变量的方程，两边积分即可得到y二Ce•，其中

C为任意常数。

这也是一阶线性

非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设

C（x）来替换C,于是一阶线性

非齐次微分方程存在着形如y=C（x）e-

…P（x）dx…P（x）dx

得至UC（x）e—P（x）C（x）e

-P（x）dxdy

的解。

将其代入P（x）y二Q（x）我们就可

dx

…P（x）dx

P（x）C（x）e•二Q（x）这其实也就是

‘P（x）dx

C（x）=Q（x）e，，再对其两边积分得

fP（x）dx

C（x）二.Q（x）edxC，于是将其回代入

—'P（x）dx

y=C（x）e

即得一阶线性

微分方程鱼，P（x）y=Q（x）的通解dx

-P（x）dx

y=e.Q（x）e

P（x）dx

dx+CI。

具体例子可参照书本P16—P17的例题。

③一阶齐次型微分方程（变量代换）

如果一阶微分方程矽二f（x,y）中的二元函数f（x,y）满足对于一切非零实数t都有等dx

式f（tx,ty）=f（x,y）成立，我们称一阶微分方程为一阶齐次型微分方程。

dx

对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方

程然后再相应求解。

事实上，如果我们令t二丄于是f（x,y）二f（1,#）=（y）。

于是一阶齐次型微分方程

xxx

dy=f（x,y）可表示为包二（丫）然后令u二y将其化为一阶可分离变量微分方程。

具体dxdxxx

过程如下：

令，则y=xu,鱼=厂xdu，代入方程鱼=（'）可得

xdxdxdxx

uxd^=（u）也就是虫=（u）7，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将u=丄dxdxxx

回代就可得到一阶齐次型微分方程鱼二f（x,y）的通解。

dx

当然，有时候我们令t二丄于是f（x,y）=f（-,1H（y）°于是一阶齐次型微分方程

yxx

dydy“x、，亠，dx1“「人xdxdv

f（x,y）可表示为

（一）也就是此时令v，贝Vvy-，

dxdxydy‘..气冬）ydydy

y

dx1dv1

代入方程可得vy然后再依次求解。

有时候后者的代换方法会更

dy屮（仝）dy屮（v）

y

简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。

具体例子可参看书本P20—P22的例题。

④伯努利方程（变量代换）

如果一阶微分方程3=f（x,y）中的二元函数f（x,y）满足

dx

f（x,y）=Q（x）yn-P（x）y,（n严0,1），我们就称由此形成的微分

dyP（x）y=Q（x）yn,（n=0,1）为伯努利方程。

dx

可以在方程少P（x）y=Q（x）yn,（n=0,1）两边同除以yn，可以将方程变形为

dx

y』巴P（x）y1』=Q（x）即-—】P（x）y1jn=Q（x）。

我们令z=y1J，于是方dx1一ndx

z=y1』回代就得到了伯努利方程3P（x）y二Q（x）yn,（n=0,1）的通解。

dx

具体例子可参照书本P22—P23的例题。

⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程

可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。

我们讨论更一般的情形，对于形如

当厶二abi-aib=0时，〉「有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程

axbyc

，求解此方程，并将上=x-〉J；=y-1代回就得到齐次方程

的解。

当厶二ad-aR=0时要分两种情况讨论。

情况一：

若，则—=—=k。

原方程可以化为巴=fk（aiX+biy）+c。

令

aibidxJ+by+G/

^aixbiy,则y=^（z-印刈得到变量可分离的方程

bi

按照相应的解法即可求解。

情况二：

若d=o,则3“与b中至少有一个为0.当b=0时，原方程为d^=fax+c

dxgx+g/

是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。

当b=0时，可以令

z=ax+by,型=「空—a[原方程就变为了"C这是可变量分

dxbIdx丿bJdx丿gx+g,

离的方程，按照相应的解法即可求解。

具体例子可参看书本P24—P25的例题。

2.可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程）

1形如y（n）=f（x）的微分方程

对于形如y（n）=f（x）的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n次便可以求得其含

有n个任意常数的通解为

y=•…f（x）dx少◎...Cn。

（n-1）!

（n-2）!

n个积分符号

具体例子可参看书本

P28例题。

2形如y=f（x,y）的微分方程

般二阶微分方程可以表示为y=g（x,y,y），当因变量y不显含时形成了如

f（x,y）的不显含因变量y的二阶微分方程。

我们可以通过变量代换来进行降阶。

我

们令，于是方程可化为-^=f（x,p），这是一个以p为未知函数，以x为

dxdx

自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。

设其通解为p=（x,G），则史二（x,Ci）。

dx

两边积分就得到原方程的通解为y二（x,C1）dxC2。

其中C1,C2为任意常数。

具体可参看书本P28—P30例题（注意例4！

!

）

3形如y=f（y,y）的微分方程

与不显含因变量y的二阶微分方程的定义类似，我们把形如y"=f（y,y）的微分方程

称为不含自变量X的二阶微分方程。

我们仍然通过变量代换来求解此类方程。

我们令

p=y,y-上=—Py=p—P，于是方程可化为p—P=f（y,p），这是一个关于p,y

dxdydxdydy

dx，两边积分就得到原方程的通解为

'■（y,Ci）

常数。

具体例子可参看书本P32—P34例题。

注：

在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p时我们一定要注意是否会丢失p=0的解。

3.线性微分方程

在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。

我们直接

介绍n阶线性微分方程y（n）-ai（x）y（nJ）-...-an4（x）/an（x）y二f（x）的解的结构与性

质。

对于区间［a,b］上的n个函数y^x）、y2（x）、y3（x）、……、yn（x），若存在n个不全为0

n

的常数k1>k2、k3、、kn使得在［a,b］上有工K%（x）=0,我们就称这n个函数在区间

i=1

［a,b］上是线性相关的，否则就是线性无关的。

此外对于n阶线性微分方程y（n）'a1（x）y（n4）'...'an4（x）/an（x）y=f（x）的系数

a1（x）>a2（x）、...an4（x）、an（x）都为常数是我们称该方程为n阶线性常系数方程，否则为n

阶线性变系数方程。

进一步细分，对于自由项f（x），若f（x）二0就称原方程为n阶线性齐次方程，否则为n阶线性非齐次方程。

若函数yjx）、y2（x）、y3（x）、……、yn（x）是n阶线性齐次方程的n个线性无关的特解，

则y=Gyi（x）•C2y2（x）•…•Cnyn（x）为n阶线性齐次方程的通解。

若函数yi（x）、y2（x）、y3（x）、……、yn（x）是n阶线性非齐次方程的n个线性无关的特

解，此外函数yp（x）是n阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解，则^yp（x）C1y1（x）C2y2（x）...-Cnyn（x）为n阶线性齐次方程的通解。

①二阶常系数齐次线性微分方程

我们把形如y、py'qy=0的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.其中p、q均

为常数.我们知道如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解.那么

y£iyiC2y2就是它的通解.现在先尝试能否适当选取r.使yR满足二阶常系数齐次线性微分方程.为此将丫壬伙代入方程y'py'qy=O得（r2卩rq）erx=0.由此可见.只要r满足代数方程r2prq=0.函数y=erx就是微分方程的解，

接下来介绍一般的解法，我们把方程r2pr^0叫做微分方程y'py「qy=0的特征方程，

特征方程的两个根ri、r2可用公式r12=―p——一、卩4^求出，

2

特征方程的根与通解的关系：

（1）特征方程有两个不相等的实根门、r2时•函数=erix、y2二er2x是方程的两个线性

ver1x

无关的解，这是因为•函数y^erix、y2二er2x是方程的解.又Z=吕二*不是常数

V2er2x

因此方程的通解为y=CieriXCze护.

⑵特征方程有两个相等的实根rim时.函数y1=erix、y2=xerix是二阶常系数齐次线

性微分方程的两个线性无关的解.这是因为.y^erix是方程的解.又

（xeriX）p（xerix）q（xerix）二（2口x『）erixp（ixri）erixqxerix

=erix（2rip）xerix（ri2priq^0,

所以y2=xerix也是方程的解.且里二嘍=x不是常数.因此方程的通解为

rix

y=Cie"xC2xe"x=（CiC2X）erix.

（3）特征方程有一对共轭复根ri,2=二匸时.函数y=e（e）x、y=e（：

+）x是微分方程的两个

线性无关的复数形式的解.函数y=e：

xcosx、y壬:

xsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数yi壬（J）x和y2=e（*：

）x都是方程的解.而由欧拉公式.得

yi=e（:

i）x=e：

x（cosFxisinFx）.

故excos-x>y^exsin：

x也是方程解，可以验证.yi=e-xcos：

x、y^exsin：

x是方程的线性

无关解.因此方程的通解为y=ex（Cicos:

xC2Sinx）.

求二阶常系数齐次线性微分方程y\py「qy=0的通解的步骤为：

第一步写出微分方程的特征方r2pr^0

第二步求出特征方程的两个根ri、「2,

第三步根据特征方程的两个根的不同情况.写出微分方程的通解•

②二阶线性常系数非齐次方程

我们把形如y'pyqy^fa）的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.其中p、q是

常数，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y（x）与非齐次方

程本身的一个特解y=y*（x）之和：

yM（x）-y*（x）.

当f（x）为两种特殊形式时.方程的特解的求法：

一、f（x）二Pm（x）e'X型

当f（x）护m（x）ex时.可以猜想.方程的特解也应具有这种形式.因此.设特解形式为

y*q（x）ex.将其代入方程.得等式

Q（x）（2■p）Q（x）（2p，q）Q（x）=Pm（x）.

（1）如果■不是特征方程r2卩r・q=O的根.则，2・p「q^0，要使上式成立.Q（x）应设为m

次多项式：

Qm（X）=boXmbiXm十亠亠bm」xbm.

通过比较等式两边同次项系数.可确定bo.bi..bm.并得所求特解

y*=Qm（x）ex.

⑵如果■是特征方程r2pr^0的单根.则Zp'pn.但2'pa要使等式

Q（x）（2，p）Q（x）（2p・：

；q）Q（x）=Pm（x）.

成立Q（x）应设为m1次多项式：

Q（x）=xQm（x）.

Qm（x）=boxmbixm"亠亠bm4Xbm.

通过比较等式两边同次项系数.可确定bo.bi.bm.并得所求特解

y*=xQm（x）ex,

（3）如果九是特征方程r2巾r+q=0的二重根.则丸2十p?

+q=O.2^+p=0.要使等式

Q（x）（2，p）Q（x）（2p・：

；q）Q（x）二Pm（x）.

成立Q（x）应设为m2次多项式：

Qm（x）龙0Xmbixm°亠亠bm」xbm.

通过比较等式两边同次项系数.可确定bo.bi.•••.bm.并得所求特解

y*=x2Qm（x）ex,

综上所述.我们有如下结论：

如果f（x）二Pm（X）e'x.则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqy』（x）有形如

y*=xkQm（x）ex

的特解.其中Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式.而k按，不是特征方程的根、是特征方程的

单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

二、f（x）=e'x[Pi（x）cos.xPn（x）sin，x]型

方程ypyqy=ex[Pi（x）cos，xPn（x）sinx]的特解形式应用欧拉公式可得

ex[Pi（x）cosxPn（x）sin・x]

a/恥+小护e^x_e%x

Pn（x）

=ex[P（x卢2Pn（x）匕e]

=2[P（x）-iPn（x）]e（」）x2【P（x）iPn（x）]e（z）x

=P（x）e（'十'）x•P（x）e（'』'）x

1—1

其中P（x）=2（P-PJ）.P（x^1（FlPni）•而m=max{l.n}.

设方程ypyqy=P（x）eri）x的特解为y1*=xkQm（x）e（''）x

则％*=xkQm（x）e（'$＞必是方程目p/q^P（x）er40的特解

其中k按•_r■不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

于是方程ypy、qy弋x[Pi（x）co^x-Pn（x）sin「x]的特解为

y*=xkQm（x）e（'J）x•xkQm（x）e（'十）x

=xke'X[Qm（x）（cosxisinx）Qm（x）（cosx-isinx）

=xkex[R⑴m（x）cos,xR（：

：

2）m（x）sin,x],

综上所述.我们有如下结论：

如果f（x）=ex[Pi（x）cos•.xPn（x）sin•.x].则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy=f（x）的特解可设为y*=xkex[R⑴m（x）cosxR2）m（x）sinx]

其中R⑴m（x）、R

（2）m（x）是m次多项式.m=max{l.n}.而k按•h.（或，-i.）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

②高阶线性常系数微分方程

对于n阶线性微分方程y（n）-anJy（nJ）-...-aiya0y二f（x）的解。

我们首先讨论n阶线性常系数微分方程y（n）■andy（nJ）•qy'a0y=0的解。

它的特征方程为

n_1

■n4」=0，与二阶的情况类似，故可按解得的情况按下表写出微分方程所对应的解。

i=0

特征方程的根

微分方程对应的解

单实根人

可写出一个解/

K重实根Z，（k>1）

可写出k个线性无关解：

A/xk」,x

e,xe，…，xe

一对单重复根

可写出2个线性无关解：

人2=a±Pi

e"cosPx,e^sin0x

一对k重复根，（k>1）

可写出2k个线性无关解：

丸=a土Pi

oxRoxRk4储R

ecosPx,xecosPx，…，xecosPx

esinPx,xesinPx,…，xesinPx

根据上表写出函数n个线性无关的特解yjx）、y2（x）、y3（x）、……、yn（x），则

y二Gyi（x）•C2y2（x）•…Cnyn（x）为n阶线性常系数齐次方程的通解。

其次对于y（n）'an4y（n4）'...ai/a°y二f（x），我们主要是讨论其特解的形式

若f（x）=Pm（x）e，，其中Pm（x）是m次待定的多项式，我们可设特解为

yp（x）二xkQm（x）ex，其中Qm（x）是m次待定的多项式，k为〉作为特征方程根的重数。

即若〉不是特征方程根，则k=0;若：

•是L重特征方程根，则k=L

若f（x）=e：

X[Pm（x）cos-xQh（x）sin-x]，其中Pm（x）、Qh（x）是m次、h次待定的多项式，我们可设特解为yp（x）二乂怙订&cosxTnsin-x],其中Sn（x）、Tn（x）是n次待定的多项式，n=max{m,h},k为复数根作为特征方程根的重数。

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善

教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。