答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分.docx
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答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分
第11章测验题
(二)曲线积分与曲面积分的应用
1.C2.D3.B
4.解:
令
I=
()()
3,43,4
∫−+−=∫+
(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy
()()
1,21,2
∂P
∂y
=12xy
−3y
2
=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关,那么采用A(1,2)→B(3,2)→C(3,4)的折线计算I
∫−+−+∫−+−
I=(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy
ABBC
在积分区域AB上,y=2,x:
1→3,若化为对x的定积分,则dy=0
33
I(6xyy)dx(6xy3xy)dy(6x48)dx(6x23x4)0dx
1=∫−+−=∫×−+∫×−××
23222
AB11
3
=∫xdxxx
(248)−
−=2=
[128]80
3
1
1
在积分区域BC上,x=3,y:
2→4,若化为对y的定积分,则dx=0
44
I(6xyy)dx(6xy3xy)dy(6y3y)0dy(6y93y23)dy
2=∫−+−=∫×−×+∫×−×
232223
BC22
4
4
=∫yydyyy
(54−9)=−=
[273]156
223
2
2
因此I=I1+I=80+156=236
2
5.解:
令
I=
()()
2,32,3
∫++−=∫+
(xy)dx(xy)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy
()()
1,11,1
∂P
∂y
=1=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关,那么采用A(1,1)→B(2,1)→C(2,3)的折线计算I
1
∫++−+∫++−
I=(xy)dx(xy)dy(xy)dx(xy)dy
ABBC
在积分区域AB上,y=1,x:
1→2,若化为对x的定积分,则dy=0
22
I(xy)dx(xy)dy(x1)dx(x1)0dx
1=∫++−=∫++∫−×
AB11
2
⎡1+
⎤
2
=∫xdxxx
(+1)=2=∫xdxxx
⎢⎥
⎣2⎦
11
=
5
2
在积分区域BC上,x=2,y:
1→3,若化为对y的定积分,则dx=0
33
I(xy)dx(xy)dy(2y)0dy(22=∫++−=∫+×+∫−
2=∫++−=∫+×+∫−
BC11
y)dy
3
⎡−1
=∫ydyyy
(2−)=2
2
⎢
⎣2
1
3
1
⎤
⎥
⎦
=0
因此
I
=II
1+=
2
5
2
6.解:
令
I=
()()
2,12,1
∫−++−=∫+
(2xyy43)dx(x4xy)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy
23
()()
1,01,0
∂P
∂y
=2x−
4y
3
=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关,那么采用A(1,0)→B(2,0)→C(2,1)的折线计算I
2
∫−++−+∫−++−
I=(2xyy43)dx(x24xy3)dy(2xyy43)dx(x24xy3)dy
ABBC
在积分区域AB上,y=0,x:
1→2,若化为对x的定积分,则dy=0
22
I(2xyy3)dx(x4xy)dy(003)dx(x0)0dx
1=∫−++−=∫−++∫−×
4232
AB11
2
=∫dx
3
1
=3
在积分区域BC上,x=2,y:
0→1,若化为对y的定积分,则dx=0
11
I2xyy3)dx(x4xy)dy(22yy3)0dy(442y)dy
2=∫−++−=∫×−+×+∫−×
(42343
BC00
1
=∫ydyyy
(43)=−=
−84
[42]2
1
0
0
因此325
I=I1+I=+=
2
7.解:
令P=3x2y+8xy2Q=x3+8x2y+12yey
∂P∂Q
Q==3x2+16xy
∂y∂x
在整个面内恒成立,因此在整个面内,存在某个函
xOyxOy
数使得,采用
u(x,y)du=Pdx+QdyA(0,0)→B(x,0)→C(x,y)的折线计算曲线积分:
3
I
∫
=u(x,y)=(3x2y8xy2)dx(38212y)
++x+xy+yedy
AB+BC
在积分区域AB上,y=0,x:
0→x,若化为对x的定积分,则dy=0
xx
I(3xy8xy)dx(x8y12yedydxxdx
1=∫++++=∫++∫++×
223x2y)(00)(300)0
AB00
=0
在积分区域BC上,x=x(此时x为常数),y:
0→y,若化为对y的定积分,则dx=0
∫++++
I=(3x2y8xy2)dx(x38x2y12yey)dy
2
BC
yy
=∫∫
(332
x2y+8xy)×0dy+(x8xy+12yey)dy
2+
00
=
yy
(8xy12ye)dyxyxyyde
32y322y
[4]12()
=y[4]12()
∫++=++
xy∫
y=0
00
=
y
3412[ye]12edy[]
2y2y
yyy−∫
=y=y
xyxyyxyye
+2+=x3+42+12y−12e
y==0
0y
0
=
x3y+4x2y2+12yey−12e
y
因此
I=1+I=x3y+4x2y2+12yey−12ey
I
2
即u(x,y)即为所求。
=x3y+4x2y2+12yey−12e
y
8.解:
令P=x+2yQ=2x+y
∂P∂Q
Q==2
∂y∂x
在整个面内恒成立,因此在整个面内,存在某个函数使
xOyxOyu(x,y)
得PdxQdy,采用
du=+A(0,0)→B(x,0)→C(x,y)的折线计算曲线积分:
4
I
∫
=u(x,y)=(x+2y)dx+(2x+y)dy
AB+BC
在积分区域AB上,y=0,x:
0→x,若化为对x的定积分,则dy=0
xx
I(x2y)dx(2xy)dy(x0)dx(2x0)0dx1=∫+++=∫++∫+×
1=∫+++=∫++∫+×
AB00
=
x
2
2
在积分区域BC上,x=x(此时x为常数),y:
0→y,若化为对y的定积分,则dx=0
∫+++
I=(x2y)dx(2xy)dy
2
BC
yy
=∫∫
(x+2y)×0dy+
00
(2x+y)dy
=
y
∫
0
(2x+y)dy=
⎡
2xy
⎢
⎣
+
y
2
2
⎤
⎥
⎦
y=y
y=0
=
2xy
+
y
2
2
因此
I=I1+I
2
=
y2x
2
2xy++
22
即u(x,y)
y2x
2
=2xy++即为所求。
22
9.解:
令P=2xyQ=x2
∂P∂Q
Q==2x
∂y∂x
在整个面内恒成立,因此在整个面内,存在某个函数
xOyxOyu(x,y)
使得PdxQdy,采用
du=+A(0,0)→B(x,0)→C(x,y)的折线计算曲线积分:
∫
I=u(x,y)=2xydx+x2dy
AB+BC
在积分区域AB上,y=0,x:
0→x,若化为对x的定积分,则dy=0
5
xx
I200
1=∫xydx+xdy=∫dx+∫x×dx=
22
AB00
0
在积分区域BC上,x=x(此时x为常数),y:
0→y,若化为对y的定积分,则dx=0
yy∫+∫(×+∫
y=y
I2=22xydyxdy
xydxxdy20=2=
=[xy]xy
)
22
y=0
BC00
因此
I=1+I=x2y
I
2
即u(x,y)xy即为所求。
=
2
10.解:
令=∫(−)+(+)=∫+
I2xyx2dxxy2dyP(x,y)dxQ(x,y)dy
LL
∂P
∂y
=2x
∂Q
,=1
∂x
⎛∂∂⎞
Q=∫∫(−)
P
I∫∫⎟
=⎜−
⎜
dxdy12xdxdy
∂x∂y
⎝⎠
DD
=
1x
()
∫∫−
dx212
xdy
0x
=
1
(1x)(xx)dx=∫1(−−+)
∫−−
2x2xxx22x3dx
2
00
1
⎡⎤
35
2212
=x−x−xx=
2×3
+4
⎢⎥
22
3534
⎣⎦
0
1
30
11.解:
令=∫(−)+(−)=∫+
Ix3xy3dxy32xydyP(x,y)dxQ(x,y)dy
LL
∂
P=−
3xy
2
∂y
∂Q
,=−2y
∂x
⎛∂∂⎞
QP=∫∫(−+)I∫∫⎟
=⎜y32
−dxdy2xydxdy
⎜
∂x∂y
⎝⎠
DD
=
22(2yxy)dy∫()
2
y=2
∫dx∫−+
3−y+3
2=2xydx
=0
000
2
0
4xdx[]
82
=−4x+4x=8
2
0
12.解:
令=∫(−+)+(+−)=∫+
I2xy4dx5y3x6dyP(x,y)dxQ(x,y)dy
LL
∂P
∂y
=−1
∂Q
,=3
∂x
⎛∂∂P⎞1
Q=∫∫[−(−)]
I∫∫⎟3=∫∫
=⎜143212
−dxdydxdydxdy=4×××=
⎜
∂x∂y2⎝⎠
DDD
13.解:
所求的弹簧Γ的质量表示为
6
m=∫xyzds
ρ(,,)
Γ
积分区域Γ为参数方程:
x=2cost,y=t,z=2sint,0≤t≤6π,弧长元素为
ds=(−2sint)2+1+(2cost)2dt=5dt
将所求对弧长的曲线积分化为定积分为
6π
m=∫ρxyzds=∫2yds=∫tdt
(,,)25=5(6π)2=365π2
ΓΓ0
14.解:
所求弹簧的质量表示为
m=∫xyzds
ρ(,,)
Γ
积分区域Γ为参数方程:
x=cos4t,y=sin4t,z=t,0≤t≤2π,弧长元素为
ds=(−4sin4t)2+1+(4cos4t)2dt=17dt
将所求对弧长的曲线积分化为定积分为
2π
m=∫ρxyzds=∫zds=∫tdt
(,,)17=217π2
ΓΓ0
15.解一:
力F所作的功W表示为
∫⋅
W=F(x,y)dr,其中dr=(dx,dy),
L
令x=t,y=t2−1作为曲线的参数方程,t从1到‐2,此时dx=1dt,dy=2tdt,得
W
-2-2
=∫xyd∫ydxxdy∫tttdt∫tdt
F(,)⋅r=−=[(2−1)−()
(2)]=(−2−1)=
LL11
6.
解二:
力F所作的功W表示为
W
=∫
L
F⋅Tds
其中T为定向曲线x=t,y=t2−1(t从1变到‐2)的单位切向量,即
T=(1,2t)
1+
1
(2t)
2
由对弧长的曲线积分的计算方法可知
ds=(1+(2t)2dt
因此
W
1
−2-2
=∫∫=∫tdt
F⋅Tds=(t21,t)⋅(1,2t)(1+(2t)dt
(1)6
−−2−2−=
1+)
1(2t
21
L
16.解一:
力F所作的功W表示为
∫⋅
W=F(,)r,其中dr=(dx,dy),
xydL
π
令x=22cost,y=2sint作为曲线的参数方程,t从0变到
2
7
,此时dx=−22sintdt,
dy=2costdt,于是
W∫F(,)⋅r=∫−−⋅
=xyd(kx,ky)(dx,dy)
LL
=
π
k∫+=−∫−+
−xdxydy2(8costsin
kt
2(8costsin
L0
2sintcost)dt
ππ
=(8−2)2costsintdt6k
k∫=∫
2
00
sintd(sint)
π
⎡2
⎤
=ksint2k63k
6=×==ksint2k63k
⎢⎥
22
⎣⎦
0
解二:
力F所作的功W表示为
W
=∫
L
F⋅Tds
其中T为定向曲线x=22cost,y=2sint(t从0变到
π
2
)的单位切向量,即
T=
(−22sint,
2
cost)
8×(sint)2+2×(cost)
2
由对弧长的曲线积分的计算方法可知
ds=8×(sint)2+2×(cost)2dt
因此
W
=∫
L
F⋅Tds
π
2
=∫
(−22sint,2cost)
8×(sint)+2×(cost)
(−k×22cost,−k2sint)⋅
8×(sint)
2
+2×
(cost)dt
2
ππ
k∫−+=−∫
=−2(8costsint2sintcost)dtk(82)
2
00
π
π⎡⎤
sin
2
∫
=6k2sintd(sint)6=×=
=kt2k63k
⎢⎥
22
0⎣⎦
0
costsintdt
17.解:
将积分区域Σ分解为Σ=Σ1+Σ2,其中
积分区域Σz
1:
z=4,z=0,=0
xy
Σ1=xyx+y≤
1的投影区域为{(,)4}
D22,面积元素为dS=1+0+0dxdy=dxdy
积分区域Σ2:
z=x2+y2,
x
z=,
x+
x2y
2
y
z=
y+
x2y
2
Σx2
2的投影区域为{(,)4}
D2=xyx+y2≤,面积元素为dSzzdxdydxdy
2=1+2+2=,
y
所求曲面面积为
==16π+162π=16(1+2)π.∫∫=∫∫+∫∫∫∫+∫∫
S=dSdSdSdxdy2dxdy
ΣΣ1ΣD
D212
8
18.解:
积分区域Σ:
z=R2−x2,
−x
zz
=,=0
x−
y
R2x
2
投影区域为{}
D(x,y)0xR,yRx
xy=≤≤0≤≤−,
22
面积元素为
dS=1+
xR
2
zz2dxdy=
2+1++0dxdy=
xy2222
R−x
R−x
dxdy
所求面积为
S
RR−x
22
R
∫∫=∫∫∫∫
=2dS2dxdy=
2dx
R−x
22
ΣD
00
xy
R
R
2
−
x
2
dy
=
R
∫
2
0
R−xR
22
R∫−
R
∫
dxdy=2Rxdx=2R2
22
R−xR−x
2222
00
19.解:
积分区域Σ:
z=a2−(x2+y2),
−x
z=,
x−+
a2(x2y2)
−y
z=
y−+
a2(x2y2
)
⎧2
⎫
a2a
xy⎨⎬,
投影区域为
D=)(x+
(x,y−)y2≤
24
⎩⎭
=⎧ρθ≤θ≤π,0≤ρ≤cosθ
将投影区域看成极坐标区域为D⎨(,)0a
xy
⎩2
⎫
⎬
⎭
所以面积元素为
dS
xya
22
=,
1+z2+zdxdy1++dxdy=dxdy
2=
x222222
y−−
a−xyaxy
22−2
a−x−y
(4分)
因此所求曲面面积为
S=
∫∫∫∫
dS=
ΣDxy
a
2
−
a
x
2
−
y
2
dxdy=
π
2
∫
adθ
0
acosθ
∫
0
a
2
ρ
−
ρ2
dρ
ππ
2a122=−∫[−]
cosθ
2
acosθ
=∫∫da
−θ(−ρρdθ
ad)aa
22
0
2a2−
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