七年级数学 核心母题二.docx
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七年级数学 核心母题二.docx
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七年级数学核心母题二
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核心母题二 对称模型的最值问题
【母题示例】
如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点P是对角线AC上一个动点,连接PE,PB,求PE+PB的最小值.
【命题形式】以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景,利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题.
【母题剖析】
要求PE+PB的最小值,只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点,由正方形的对称性可得解.
【母题详解】
【母题解读】
(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有:
角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等.从内容上看,还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大等.除此之外,解决最值问题常常借助极端点.
(2)一般地,解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”,手段通常是遇“和”转化为异侧,遇“差”转化为“同侧”,依据是轴对称和全等三角形,常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点.涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等.
模型一同侧和的最小值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧,求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA+PB)的最小值.常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′),再连接另一定点和该点(如连接A′B交l于P),其与直线(l)的交点即为点P.
【基本图形】
基本
图形
说明
A、A′关于直线l对称,PA+PB=PA′+PB≥A′B,当点P在线段A′B上时取最小值
基本
图形
说明
过A作AA′∥MN且AA′=MN,再作A′关于l的对称点A″,连接A″B,则AM+MN+NB=A″N+BN+MN≥A″B+MN,当且仅当点N在A″B上时取等号
【模型突破】
1.如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2
.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如图,在边长为2的等边△ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为________W.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.
(1)求证:
△ADE≌△CDB;
(2)若BC=
,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.
模型二异侧差的最大值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧,求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA-PB|)的最大值.常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′),再画另一定点与该点的直线(如直线A′B),其与直线(l)的交点即为点P.
【基本图形】
基本
图形
说明
A、A′关于直线l对称,|PA-PB|=PA′-PB≤A′B,当点P在直线A′B上时取最大值
【模型突破】
1.如图,等腰Rt△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=15°,动点P在射线CD上,则|PA-PB|的最大值为________W.
2.如图,抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,连接PB,PC,若|PB-PC|取得最大值,求点P的坐标.
模型三角内一定点模型
【模型解读】已知一个角和角内一个定点,在角的两边上各取一点,使得这三点构成的三角形周长最小.只需过定点分别作其关于角的两边的对称点,两对称点之间的线段即为所求.
【基本图形】
基本
图形
说明
点P′与点P关于OA对称,点P″与点P关于OB对称,连接P′P″与OA,OB分别交于点M,N,此时△PMN的周长最小,最小值为P′P″
【模型突破】
1.如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=
,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN的周长的最小值是( )
A.
B.
C.6D.3
2.如图,已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.OC上点P的坐标为(0,1),动点S,K分别为线段BC和线段AB上的动点,连接PS,PK,SK,求△PSK的周长的最小值.
参考答案
【核心母题剖析】
解:
如解图,连接BD,PD.
∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴AC垂直平分BD,
∵点P在AC上,∴PB=PD,
∴PB+PE=PD+PE,
∴当点P为ED与AC的交点时,PE+PB最小,最小值为DE.
∵四边形ABCD是正方形,且AD=2,点E是AB的中点,
∴AE=1,∠EAD=90°,
∴由勾股定理得DE=
=
,
即PE+PB的最小值为
.
【核心归纳突破】
模型一、同侧和的最小值模型
1.B 2.
3.
(1)证明:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∠BAC=30°,E为AB边的中点,
∴BC=EA,∠ABC=60°.
∵△DEB是等边三角形,
∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.
∴∠DEA=∠DBC=120°,
∴△ADE≌△CDB.
(2)解:
如解图,作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,连接BH,则点H即为满足题意的点.
连接CE,则△CBE是等边三角形,
∴CE=CB=CB′,∴∠BEB′=90°,
∴BH+EH的最小值=EB′=
=3.
模型二、异侧差的最大值模型
1.4 【解析】如图,作点B关于CD的对称点E,连接AE并延长交CD的延长线于P,连接CE,BP,则PE=PB,PA-PB=PA-PE=AE,即|PA-PB|的最大值为AE.∵∠BCP=15°,点E与点B关于CP对称,∴∠BCE=2∠BCP=30°,CE=BC.∵∠ACB=90°,∴∠ACE=60°,∵AC=BC,∴AC=CE,∴△ACE是等边三角形,∴AE=4,即|PA-PB|的最大值为4.
2.解:
(1)将点B(4,0),C(0,2)代入抛物线的函数解析式得
解得
∴抛物线的函数解析式为y=-
x2+
x+2.
(2)令y=-
x2+
x+2=0,解得x1=4,x2=-1,
∴点A的坐标为(-1,0),∵点C的坐标为(0,2),
∴直线AC的函数解析式为y=2x+2.
如解图,连接AC,
易得抛物线对称轴为直线x=
,
延长AC交直线x=
于点P,
连接PB,
此时|PB-PC|=PA-PC=AC为|PB-PC|的最大值,
∴yP=2×
+2=5,
∴点P的坐标为(
,5).
模型三、角内一定点模型
1.D 【解析】分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连接P1P2,OP1,OP2,分别交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2=OP=
,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1Q=
∴P1P2=2P1Q=3,故△PMN的周长的最小值为3.
2.解:
令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),
令x=0,得y=3,∴点C的坐标为(0,3).
∴OC=OB=3,∵∠BOC=90°,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
如解图,取点P关于x轴的对称点P′(0,-1),点P关于直线BC的对称点P″,则P″的坐标为(2,3),连接P′P″,分别交线段BC于S,交线段OB于K,此时△PSK的周长最小,即为线段P′P″的长.
∴△PSK的周长的最小值为
=2
.
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