数列求和7种方法.docx
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数列求和7种方法
1、
2、
3、
5、
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
n(a1an)“n(n-1)d
na1d
2
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
Sn
Sn
=^n(n1)
2
n
Sn八k3
k4
[例1]已知log3x
解:
由log3x
*a1(1-q
.1-q
ai—^nq
i-q
(q=1)
、&八k2n(n1)(2n1)
-123
,求xxx'IX
n项和.
log23
-1
=log3-log32=
log23
1
x=—
2
由等比数列求和公式得
Sn=xx2
x3
(利用常用公式)
[例2]设S=1+2+3+…+n,n€N,求f(n)
解:
由等差数列求和公式得
Sn
•••当
题1.等比数列
Sn
f(n),n32)Sn1
x(1xn)
1-x
Sn
11
齐-班)_1丄
1一1—歹
2
(n32)Sm
的最大值.
1
」n(n1),S
2
2
n34n64
1
=-(n1)(n2)
2
(利用常用公式)
1
n3464(、n8)250
nJn
—8
、n——,即n=8时,f(n)
(8
max
1
50
22
J的前n项和Sn=2n-1,则Ll'i〔
4—1
题2.若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,贝Ha=,b=,c=
(卑T)用•(沏-1)2h-划+罔11J
解:
原式=•」.答案:
__1
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an•bn}的前n
项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列•
[例3]求和:
Sn=13x5x27x3(2n-1)xnJL①
解:
由题可知,{(2n-L)xnJ}的通项是等差数列{2n—1}的通项与等比数列{xn」}的通项之积
设xSn=1x3x25x3•7x4心……爲(2n-1)xn.②(设制错位)
①—②得(1-x)^=12x2x22x3•2x4「一2xnJ-(2n-1)xn(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
nJ
1—X
(1_x)Sn=12x(2n_1)xn
1-x
Sn=
(2n-1)xn1-(2n1)xn(1x)
(1-x)2
[例4]求数列2,42,63,,前n项的和.
2222
解:
由题可知,
出}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
2n
}的通项之积
设Sn
Wn
2n
①
•②
122
①-②得(一評匸歹
FIF-/n
(设制错位)
(错位相减)
Sn
1
^_2nJ
2n
-4-
练习题1已知1f,求数列{an}的前n项和S.
答案爲二〃2"_1$_22心二泌-2"+1答案:
-
135加-1
■■''■■'・'■■■
练习题2221V2"的前n项和为
答案:
—
、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序)数列相加,就可以得到n个(a1an).
[例5]求证:
c:
3C:
5C;(2n1)C:
=(n1)2n
,再把它与原
证明:
设Sn=Cn■3C15C^..(2n.1)C:
..①
把①式右边倒转过来得
Sn=(2n1)C:
(2n-1)C:
「3C:
C:
又由om二可得
01n1n
Sn-(2n1)Cn(2n-1)Cn3Cn-Cn……..②
①+②得2Sn=(2n+2)(C:
+C:
+…y+C:
)=2(n+1)2n
5=(n1)2n
[例6]求sin1sin2sin3飞in88sin89的值
(反序)
(反序相加)
(2)
2'2'2'2•••2"
解:
设S=sin1sin2sin3亠亠sin88sin89①
将①式右边反序得
202。
20202。
S=sin89sin8^sin3sin2sin1②
22
又因为sinx=cos(90—x),sinxcosx=1
①+②得
nOnOnn-QnOnO
2S=(sin21cos21)(sin22cos22(sin289cos289)=89
S=44.5
已知函数
(1)证明:
「—」1
解:
(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
的值.
(反序)
(反序相加)
(2)利用第
(1)小题已经证明的结论可知,
2S=9x
/
=9
uoj
e丿
两式相加得:
所以
102
+*1-—K:
102+T
四、分组法求和
等比或
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可
111
[例7]求数列的前n项和:
11,4,—^;—石・3n「2,…
aaan
111
解:
设Sn=(11)(4)(亍7)(一ny3n_2)
aaa
解:
设ak=k(k1)(2k1)=2k33k2k
nn
Sn=k(k1)(2k1)=、(2k33k2k)
k=1k#
将其每一项拆开再重新组合得
nnn
(分组)
S=2k33'k2\k
k=1
k=1
=2(1323…n3)3(1222…n2)(12F
n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)
222
n(n1)2(n2)
2
(分组求和)
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)
分解,然后
重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
.通项分解(裂项)如:
(1)
an
=f(n1)
-f(n)
(2)
sin1
tan(n1)-tann
cosncos(n1)
(3)
an
n(n1)
(4)
an
(2n)2
十〕(二
(2n-1)(2n1)
22n—12n1
(5)
(7)
(8)
[例9]
an
an
an
an
n(n-1)(n2)
n(n1)2n
求数列
2n(n1)
2(n1)-n
n(n1)
(n1)(n2)]
n-1n
2(n1)2
1,则Sn=1
(n-1)2n
(AnB)(AnC)C-BAnBAnC
11
1、2'•2•.3
…的前n项和.
解:
设an=[=Jn+1-Tn
Jn十Jn+1
Sn
—1
1<2■■2.3
id-
(裂项)
(裂项求和)
=(2-“1)(、3i:
£2),扌n1-、n)
=n1-1
[例10]
在数列{an}中,an二
,又bn
,求数列{bn}的前n项的和.
解:
an
anan1
n1
11
=8(——)
nn1
(裂项)
数列{bn}的前n项和
11
111111
“r(厂3)(厂)弋
(裂项求和)
8n
=8(1
[例11]
求证:
解:
cos1
cos0cos1cos1cos2
cos88cos89
sin21
设S=
cos0cos1cos1cos2
cos88cos89
sin1
tan(n1)-tann
cosncos(n1)
(裂项)
•••S二
cos0cos1cos1cos2
=—1—{(tan1-tan0)(tan2-tan1)(tan3-tan2)[tan89-tan88]}sin1
cos88cos89
(裂项求和)
=-^(tan89-tan0)=cot1=竽1
sin1sin1sin1
•原等式成立
111
+■+…+=
练习题1.
n
答案:
二i..
1111
练习题2。
"4
3・54・6
伪+1)0+3)
1
〔11
11)
―
一+一一
—
答案:
2
U3
2S+2n+3j
+—-+■—-+…+
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这
些项放在一起先求和,然后再求Sn.
+cos2°+cos3°+…+cos178
°+cos2°+cos3°+•…+cos178
解:
设
$002=a〔■a?
a3■…a2002
a1-1,a2-3,a3=2>an2~and_an可得
a^=-1,=-3,=-2
(合并求和)
$002=a1a2a3亠a2002
a3
=(aa?
a?
a6)(a?
a$aj(a6k1a6「2a6k6)
十…+(印993+^994+''a1998)+a1999+a2000*a2001*a2002
=a1999a2000'a2001'a2002
=a6k1a6k2a6k3玄总牌
=5
[例14]在各项均为正数的等比数列中,若a5a6=9,求log3a•log3a2亠亠log3a10的值.
解:
设Sn=log3a1log3a2也印。
由等比数列的性质m•n二p•q=aman二apaq(找特殊性质项)
和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得
Sn^(log3a1log3a10)(Iog3a2Iog3a?
厂(logsa§log3a6)(合并求和)
=(log3aw)(logsa?
a?
)(log3a5a6)
=log39log39…Tog39
=10
练习、求和:
二」f;/J,\{-|?
■':
|
练习题i设恥-1+3-5+7-…+(T)伽T),则心=—
答案:
2.「
练习题2.若S=1-2+3-4+…+(-1)n-1•n,贝ySi7+S33+S50等于()
A.1B.-1C.0D.2
罟(滿奇)
_-(皿为偶)
解:
对前n项和要分奇偶分别解决,即:
S=l2答案:
A
练习题3100-99+98-97+…+2-1的值是
A.5000B.5050C.10100D.20200
解:
并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案:
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.
[例15]求111111111…1之和.
n个1
11
(找通项及特征)
(分组求和)
解:
由于11119999(10k-1)
k个19k个19
•••111111"1…1
n个1
=〔(101-1)」(102-1)丄(103-1)」(10n-1)
9999
1123n1
=-(101102103ron)--(111J)
99n个1
=110(10n-1)n
910T9
[例16]
=(10n1_10_9n)
81
已知数列{an}:
an
(n1)(n3)
求二(n1)(an
n=1
-an1)的值.
解:
(n1)(an
-an1)=8(n1)[
1
(n1)(n3)
1
(n2)(n4)
1
(n2)(n4)
1
(n3)(n4)
)8(
―(n*1)(an~'an・1)=4.一(-)■8.一(-)
n4n^n2n4n^n3n4
(找通项及特征)
(设制分组)
-)(裂项)
4
(分组、裂项求和)
111
=4()"■8■
344
=13
3
提高练习:
1.已知数列:
an[中,Sn是其前n项和,并且Sn4an2(n1,2jH),a^1,
⑴设数列bn=an1-2an(n=1,2,……),求证:
数列:
bn,是等比数列;
⑵设数列q轉,(n=12……),求证:
数列Q1是等差数列;
2n
2
2.设二次方程anx-an+1X+1=0(n€N)有两根a和B,且满足6a-2a3+63=3.⑴试用an表示an1;
2
⑵求证:
数列何冷是等比数列?
7
⑶当两三时,求数列他}的通项公式.
3•数列*an冲,a-8,a4-2且满足an2-2an⑴求数列a?
的通项公式;
⑵设Sn=|ai||a2|討u|a|,求Sn;
「annN
章的学习。
说明:
本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”
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- 数列 求和 方法