蒲丰投针问题.docx
- 文档编号:25332436
- 上传时间:2023-06-07
- 格式:DOCX
- 页数:4
- 大小:39.98KB
蒲丰投针问题.docx
《蒲丰投针问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《蒲丰投针问题.docx(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
蒲丰投针问题
蒙特卡罗方法概述
§8.2引例:
蒲丰投针问题
在用传统方法难以解决的问题中,有很大一部分可以用概率模型进行描述.由于这类模型含有不确定的随机因素,分析起来通常比确定性的模型困难.有的模型难以作定量分析,得不到解析的结果,或者是虽有解析结果,但计算代价太大以至不能使用.在这种情况下,可以考虑采用MonteCarlo方法。
下面通过例子简单介绍MonteCarlo方法的基本思想.
MonteCarlo方法是计算机模拟的基础,它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛,其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周
的方法——随机投针法,即著名的蒲丰投针问题。
这一方法的步骤是:
1)1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为d的平行线,见图8.1
(1)
2)2) 取一根长度为
的针,随机地向画有平行直线的纸上掷n次,观察针与直线相交的次数,记为m
3)计算针与直线相交的概率.
由分析知针与平行线相交的充要条件是
其中
建立直角坐标系
上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域,见图8.l
(2).
由几何概率知
4)经统计实验估计出概率
由(*)式即
MonteCarlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型,使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量.然后通过模拟一统计试验,即多次随机抽样试验(确定m和n),统计出某事件发生的百分比.只要试验次数很大,该百分比便近似于事件发生的概率.这实际上就是概率的统计定义.利用建立的概率模型,求出要估计的参数.蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支.
*************************************************************************
提示:
设x是一个随机变量,它服从区间[0,d/2]是的均匀分布,同理,
是一个随机变量,它服从区间
上的均匀分布。
按照某种抽样法,产生随机变量的可能取值,例如进行n次抽样,得到样本值
,统计出满足不等式
的次数m(m . **************************************************************************** 使用MATLAB语言编程实现(4.m) l=1 d=2; m=0; fork=l: n x=unifmd(0,d/2); p=unifmd(0,pi); if m=m+1 elsc end end p=m/n pi_m=1/p 运行,取n=1000,simu4回车,即得结果 *************************************************************************** 想: 1)在上述的程序中任意调整n的取值,会发现什么规律? 2)参数l,d的不同选择,会导致什么结果? *************************************************************************** 蒙特卡洛方法适用范围很广泛,它既能求解确定性的问题,也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分,即产生数值积分问题. 任意曲边梯形面积的近似计算 一个古老的问题: 用一堆石头测量一个水塘的面积.应该怎样做呢? 测量方法如下: 假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中.如图8.2所示.随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内.被扔到农田中的石头可能溅上了水,也可能没有溅上水,估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比.试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积? 结合图8.2中的图形 (1)分析,只要已知各种参数及函数(a,b,H,f(x)),有以下两种方法可近似计算水塘面积. 1.随机投点法 1)赋初值: 试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试验的总次数N; 2)随机选择m个数对 ,其中 ,置n=n+l; 3)判断 ,若是,转4,否则停止计算; 4)判断条件 (表示一块溅水的石头)是否成立,若成立则置m=m+1,转2,否则转2; 5)计算水塘面积的近似值 . 2.平均值估计法 1)产生[a,b]区间的均匀随机数 2)计算 3)计算 。 该方法的特点是估计函数f(x)在[a,b]上的平均值,面积近似等于该平均值乘以(b-a). *************************************************************************** 做: 用MATLAB软件编制程序实现,并对以上两种方法进行比较.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 蒲丰投针 问题