上海市重点中学重要考题精选及精解.docx

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1、（14分）已知集合A={x丨匸2Z0,xeR},B={x|x—2a匡2,xwR},若

x—3

AUB=R求实数a的取值范围。

解：

A=（_：

：

2］U（3,：

），B二［2a_2,2a2］

若AUB=R，则羽一童2，得丄》2

|2a+2艺32

2

2、（16分）已知关于x的不等式（kx-k—4）（x-4）.0，其中kR。

⑴试求不等式的解集A；

⑵对于不等式的解集A，若满足ARZ=B（其中Z为整数集）。

试探究集合B能否为有限集？

若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B;若不能，请说明理由。

解:

（1）当k=0时，A=（-：

：

4）；当k0且k=2时，A=（」：

4）U（k•4,=）；

k

当k=2时，A=（-：

：

4）U（4,=）;（不单独分析k=2时的情况不扣分）

4

当k:

:

0时，A=（k,4）。

（10分）

k

（2）由

（1）知：

当k_0时，集合B中的元素的个数无限；

当k:

:

0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。

（12分）

4

因为k4，当且仅当k--2时取等号，

k

所以当k=-2时，集合B的元素个数最少。

（14分）

此时A二-4,4，故集合B-3,-2,-1,0,1,2,3?

。

（16分）

3、（18分）对定义在［0,1］上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数。

1对任意的x•［0,1］，总有f（x）_0；

2当％_0,X2_0,%X2-1时，总有f（%X2）_f（xjf（X2）成立。

已知函数g（x）=x2与h（x）=a2x-1是定义在［0,1］上的函数。

（1）试问函数g（x）是否为G函数？

并说明理由；

（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；

（3）在

（2）的条件下，讨论方程g（2x-1）h（x）二m（m・R）解的个数情况。

解:

（1）当x0,11时，总有g（x）=x2亠0，满足①，1分

当x^0,x20,x1x21时，

2222

g（X1X2）=X1X22X1X2-X1X2=g（X1）g（X2），满足②4分

（2）若a1时，h（0）=a-1<0不满足①，所以不是G函数；5分

若a-1时，h（x）在［0,1］上是增函数，则h（x）一0,满足①6分

由h（x1x2）-h（x1）h（x2），得a2X1X2-1-a2X1-1a2X2-1,

即a［1_（2X1-1）（2X2_1）］岂1,7分

因为％-0,x2-0,%x2乞1

9分

当x1

=x2=0时，（

1

1-（2X1-1）（2X1-1）

）min=1

a_1，11分

综合上述：

a{1}

（3）根据

（2）知：

.0<2x-仁1由

0乞x<1

a=1,方程为4x-2x二m,

得x.[0,1]

12分

14分

.0"-（2X1-1）（2X1-1）<1

a_

1-（2X1-1）（2X1_1）

16分

18分

11令2x=t[1,2]，则m=t2-t=（t）2-—

24

由图形可知：

当m・[0,2]时，有一解；

当m^（—"■,0）（2八：

：

）时，方程无解。

4.（本题12分）

已知方程x2-px•1=0（p•R）的两根为x（,x2，若|为-x2|=1，求实数p的值p2-4_0,即卩p_2或p_-2时，由求根公式得|x|-x2|二p2-4

解：

当__

由Jp?

—4=1,得p=J5或p=—V5

p2「4：

：

：

0,即-2

当--

由•,4-p?

=1,得p=3或p_-3

综上所述，p=..3或p=■,5

（另解：

由韦达定理也可）

5.（本题14分）

设函数f（x）=lga：

5的定义域为A,若命题p:

3•A与命题q:

VA有且仅有一个为

x-a

真命题，求实数a的取值范围。

解：

设由题意得：

当3：

=A，则有3a—5•0：

二a（5,9）;

9-a3

a_5

当q:

1tA，则有0或a=1：

=a_5或a乞1;

1-a

若P真q假，则a；-[5,5；若P假q真，则a•9,=一」：

1】；乙3

故:

6.（本题16分）（第

（1）小题7分，第

（2）小题9分）

已知函数f（x）=loga（ax-1）,其中a-0且a中1

（1）证明函数f（x）的图像在y轴的一侧；

（2）求函数y二f（2x）与y二f4（x）的图像的公共点的坐标。

解：

⑴因为函数f（x^loga（ax-1）的定义域解不等式ax-10的解集

当a.1时，不等式ax-10等价于ax.a0,即x0;

当0:

:

a：

：

：

1时，不等式ax_10等价于ax-a0,即x：

：

：

0。

所以函数f（x）的定义域是（0,：

：

）或（一二,0），所以图像f（x）总在y轴的一侧;

（2）由y=lqg（ax申得ax=ay+1，即x=logaay1）

2x

”=loga（a-1）消去、，得2xXcc砂曰二彳x，消去y,得a—a—2=0，解得

y=loga（ax1）

x=loga2

解得a

yToga3

.函数y=f2x与y=f‘x的图像的公共点的坐标是

所以f-1x二logaax1

ax--1或ax二2,

loga2,loga3。

7.（本题18分）（第

（1）小题6分，第

（2）小题6分，第（3）已知fx]=log2x,当点Mx,y在y=fx的图像上运动时，点函数y=gnx的图像上运动n•N”。

（1）求y=gn（x）的表达式；

（1）若集合A={a关于x的方程4g（x）=g2（x-2+a）有实根，

（3）设Hnx=丄

小题6分）

Nx-2,ny

a，R｝，求集合A;

函数Fxx-g1x的定义域为0va^x乞b,值域为

7丿

-活T

|log2,log2，求实数a,b的值

b+2a+2

解：

（1）据题设，得ny=gnx-2且y=log2X,得gnx-2]=nlog2x（x>0）gnx二nlog2x2（x>-2,nN）

（2）据题设，得：

方程4log2x2=2log2xa有实根

2即：

x2xa（x>-2）有实根

a=x23x4_7A=7,：

：

4*丿

1

（3）据题设，有Fx二

-log2x2（x>-2）

1

和「log2x2分别是］-2,匸：

上的减函数

x2

.Fx在-2上是减函数•Fx区间l.a,b1上的值域为Fb,Fa

F（a）=log2

a2

^2二a=2,b=3

FbRog?

_

Lb+2

8.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分.

阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题

阅读题目：

对于任意实数a1,a2,b1,b2，证明不等式

22222

（a1b1+a2b2）<（a1+a2）（b+b2）

证明：

构造函数

2222222f（x^（a1xb|）（a2xb2）（a1a2）x2（a1b1a2b2）x（b1b2）

注意到f（x）-0，所以

22222

-［2（a1b1a2b2）］2-4（a1a2）（$b2）^0

22222

即（aQ+a2b2）<（a1+a?

）（b+b?

）.

（其中等号成立当且仅当aixb^=a2xb^0，即血=讪.）问题：

（1）请用这个不等式证明：

对任意正实数

2

（2）用

（1）中的不等式求函数y二兰

X

2b2a,b,x,y，不等式—一-

xy

91

（0：

：

：

x）的最小值，

1-2x2

并指出此时x的

值•

（3）根据阅读题目的证明，将不等式（aQ•a2b2）2-（a12a22）（b12得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明

［证明］

（1）因为都是a，b，x，y正实数，由已知不等式得

（x+y）（「一）=【（仮）2+（7?

）2］［（莘）2+&）2］兰（依耳+/y

xyJxJyJx

a2b2（ab）2

——+——>

所以不等式xyxy成立.

（其中等号成立当且仅当、x，即ay=次.）

1

0：

：

x：

：

2，所以

22

?

_+丄

=（ab）2

，2分

-b22）进行推广,

［解］

（2）因为

29

y=

x

1-2x2x1-2x

2

（23）

一2x（1-2x）

-25

11x=_w（0_）

（其中等号成立当且仅当2（1-2x）=3Ex即5'2.

2亠9小1、1

y=_+（0cx£—）x=_

10分

所以函数x1-2x2有最小值25，此时5

［解］（4）可将不等式推广到n元的情形，即只寸于任意实数a1,a2,II（,an；一,b2,II（,bn

2222222不等式（aQ•a?

b2anbn）-⑻a2」「an）（bib2'HI-bn）成

立.13分

证明如下：

设f（x）=（6Xbj（a?

xb2）||l（anXbn）

2222222

=（a1a2|||an）x2（^4azdanbn）x（4b?

\\\bn）

注意到f（x）-0，所以

2222222

=［2佝0a?

b2|l|and）］-4（印a2|||a.）（4b10bn^0

222.「2222

即（ab+a2S+川+anbn）兰佝+a2+|||+an）（b+b2+j||+bn）…馅分

苴中等号成立当且仅当a1x=a2x，b2=|l|=anx，bn=0

16分

即aibj=ajb（i,j=1,2，川，n,i鼻j）

9.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.

1

已知函数f（x）=2x—||.

2凶

若f（x）=2，求x的值；

若2tf（2t）mf（t^0对于t[2,3]恒成立，求实数m的取值范围.

（1）当x：

：

：

0时，f（x）=0;当x_0时，f（x）=2x1-

2x

（1）

（2）

由条件可知2x—丄=2，即22x-22x-^0,

2x

解得2x=1_、.2

2x0,x二叽12.

2t1

2

22t

（2）当t可1,2］时，2t

即m22t■■-22t-1

弓-0,

10分

_1辰_（24t—1.

0，.m_-22t1

7t［2,3］,•-122t［-65,-17］，

故m的取值范围是［-17,=）.

13分

16分

10.（本题满分18分）本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分,第1小题满分5分，第2小题满分5分.

设函数f（x）是定义在R上的偶函数.若当x_0时，f（x）=

1

1——

x

p

x0;

（1）

（2）

（3）

（4）

求f（x）在（-二,0）上的解析式.

请你作出函数f（x）的大致图像.

当0：

：

：

a:

:

:

b时，若f（a）=f（b），求ab的取值范围.

关于x的方程f2（x）•bf（x）0有7个不同实数解，求

b,c满足的条件.

［解］

（1）当X（-〜0）时，f（x）二

1

11

f（-x）=

1——

—

1十一

-x

x

（2）f（x）的大致图像如下:

8分

11分

二ab=2ab2,ab

解得ab的取值范围是（h=：

）.13分

（4）由

（2）,对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当Ocac1时，方程有4个根，当a-1时，方程有2个根；当a”：

0时，方程无解.…15分

2

所以，要使关于x的方程f（x）bf（x）^0有7个不同实数解，关于f（x）的方程

2

f（x）bf（x）^0有一个在区间（0,1）的正实数根和一个等于零的根。

18分

所以C=0,f（x）=4E（0,1），即—1cbc0,c=0.

11.（本题满分18分，第

（1）题5分，第

（2）题5分，第（3）题8分）

已知函数f（x）二a-2（x=0）。

|x|

（1）若函数f（x）是（0,=）上的增函数，求实数b的取值范围；

（2）当b=2时，若不等式f（x）：

：

：

x在区间上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）对于函数g（x）若存在区间［m,n］（m：

：

：

n），使x［m,n］时，函数g（x）的值域也是

［m,n］，则称g（x）是［m,n］上的闭函数。

若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探

求a,b应满足的条件。

f（Xi）-f（x2）=

b（x

X-|X2

12.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，满分16分）

解:

（i）

b

当x（0,：

：

）时，f（x）=a-—

X

设xi,x2-

（0,•：

：

）且x^：

：

x2，由f（x）是（0,•：

：

）上的增函数，贝Uf（xj：

：

：

f（x2）2

分

由Xi：

：

X2,Xi,X2（0,：

：

）知Xi-X2:

:

0,XiX20,所以b0，即b（0,：

：

）5

分

22

（2）当b=2时，f（x）二aX在x•（i,•：

：

）上恒成立，即a：

：

：

x6分

|X|X

因为x--2^2，当x^-即X=穿2时取等号，8分

XX

_2——

.2（i^-），所以x在x•（i,•：

：

）上的最小值为2辽。

则a：

：

：

2.2i0分

x

（3）因为f（x）二a-——的定义域是（」：

0）U（0,，设f（x）是区间［m,n］上的闭|x|

函数，贝Vmn・0且b=0ii分

①若0:

:

m.n

bff（m）=m

当b0时，f（x）二a是（0,=）上的增函数，贝U

|x||/（n）=n

b

所以方程a-■—二x在（0,匸：

）上有两不等实根，

x

即x2「ax•b=0在（0,•：

：

）上有两不等实根，所以

卡2「4b0

2

xix^a0，即a0,b0且a-4b0i3分

刍卷=b>0

b-b「f（m）=n亦

当b：

0时，f（x）=aa在（0,匸：

）上递减，则，即

|x|xif（n）=m

r

b

a

彳

n

m=

a=0

，所以a=0,bc0

a

b

m

mn二-b

I

n

②若m：

：

n：

：

0

i4分

当b0时，f（x）二a-』a-是（-：

：

0）上的减函数，所以f（m）=n，即

|x|

x

if（n）=m

a丄

二n_

mab

n

［a=0

=，所以

|mn二b

二m

a二0,br0

15分

13、（12分）

已知关于x的不等式：

（a1）x-3d

1.

x—1

（1）当a=1时，求该不等式的解集；

（2）当a0时，求该不等式的解集.

ax—2

解：

原不等式化为：

•竺上：

：

：

0

x—1

（1）当a=1时，该不等式的解集为（1，2）；4分

2

x-

（2）当a>0时，原不等式化为：

a:

:

0.

x-1

2

当0

a

2

当a=2时，解集为'■；当a>2时，解集为（，1）.4分

a

14、（14分）设f（x）-■ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：

至少有一个正实数b，

使函数f（x）的定义域和值域相同。

解：

（1）若a=0，则对于每个正数b，f（xHbx的定义域和值域都是［0,=）

故a=0满足条件4分

（2）若aa0，则对于正数b，f（x）=Jax2+bx的定义域为D='-°°,一卫b,咼）,

但f（x）的值域AM0,=，故D=A，即a0不合条件；4分

（f（X））max

（3）若a:

:

:

0,则对正数b，定义域D=［0,-匕］

a:

:

0

:

二a_-4--5分-a

1分

a

f（x）的值域为［0,—］，则---—b二

21—aa2J—a

综上所述：

a的值为0或-4

15.（本题满分12分）已知a、b是两个互不相等的正实数，比较A=「2a—2b与B^ab

的大小。

4'

：

=2a2ba2.abb

二2a2b（a..b）2

J2a+2b>苗+丽

所以A>B。

.4'

ax—5

16.（本题满分12分）已知关于x的不等式—0的解集为M。

x—a

（1）当a=4时，求集合M；

（2）若3•M且5“M，求实数a的取值范围。

4x—5

解：

（1）a=4时，不等式为飞一5：

：

：

0,解之，得

x2—4

（2）a=25时,

3^^<0

!

9-a

5a—5

>0

、25—a

c5a9ora:

:

3

1

：

25

「5—、

二a1,—-9,255'

-3

a=25时，不等式为学-<0,解之，得M二,-5一丄,5,

X2-2515丿

贝U3・M且5rM,•••a=25满足条件..2'

综上，得a1,59,25】。

.….1'

13丿

x

17.（本题满分16分）函数f（X）=

X-1

⑴求证：

f（x）的图像关于直线y=x对称；

⑵函数y=ax-a+2的图像与函数f（x）的图像有且只有一个交点，求实数a的值；

⑶是否存在圆心在原点的圆与函数f（x）的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出

此圆的半径；如果不存在，请说明理由。

11

解：

⑴解一：

由f（x）=1+可知函数图像即为反比例函数y=—的图像经向右平移1

x-1x

个单位后再向上平移1个单位得到。

则函数图像关于直线y=x对

称.….4'

Y

解二：

函数f（x）的反函数f-1（x）=—=f（x），所以f（x）的图像关于直线y=x对

X-1

⑵由题意得一L=ax-a+2有且只有一解。

称.4'

x-1

1

a=0时，由判别式等于0可得a=-3'

4

a=0时，由图像易得同样满足题意2'

所以a=0或a=-1…1'

4

f（x）的图像必在第一象限相

⑶解一：

由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆与函数

切，即圆过（2,2）点，可得圆半径为22,所以存在满足题意的圆，其半径为22……....4'

r=22代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为2.2…..2'

解二：

由⑴与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称……..2'

如果有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=f（x）与直

线y=x的交点…..2'求得交点有两个（0,0）、（2,2）,其中（0,0）不满足题意，而过（2,2）时圆的半径为2.2。

r=22代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为^2

所以存在满足题意的圆，其半径为22

..2'

18.（本题满分16分）对于函数f（x），若存在X。

•R，使f（x°）成立，则称点（X0,xJ

为函数的不动点。

（1）已知函数f（x）二ax2■bx-b（a=0）有不动点（1,1）和（-3,-3）求a与b的值；

（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax■bx-b（a=0）总有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：

n必为奇数。

解:

（1）由不动点的定义:

f（x）-x=0,•••ax2（b-1）x-b=0…….1'

代入x=1知a=1，又由x~-3及a=1知b=3。

...2'

•-a=1,b=3。

1'

（2）对任意实数b,f（x）=ax2•bx-b（a=0）总有两个相异的不动点，即是对任意的实

数b，方程f（x）一x=0总有两个相异的实数根。

1'

二ax2（b-1）x-b=0中厶=（b-1）24ab0,

即b2（4a-2）b10恒成立。

2'

2

故二i=（4a-2）••4：

：

：

0,.•.0：

：

：

a：

：

：

1。

2'

故当0：

：

：

a：

：

：

1时，对任意的实数b,方程f（x）总有两个相异的不动

点。

1'

（3）g（x）是R上的奇函数，则g（0）=0,.（0,0）是函数g（x）的不动

点。

……1'

若g（x）有异于（0,0）的不动点（x0,x0），则g（x0）=x0。

又g（-x°）=-g（x°）=-x°（-x°,-x°）是函数g（x）的不动点。

.g（x）的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，4'

所以有2k个（k^N）,加上原点，共有n=2k+1个。

即n必为奇数…••…1'

1

19.（本题14分）设函数f（X）二X,（X=0）的图象为G、G关于点A（2,1）的对称

x

的图象