勾股定理练习题及答案.docx
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勾股定理练习题及答案
16m,
勾股定理课时练
(1)
1.在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2BC2AC2的值是(
A.2B.4C.6D.8
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).
3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.
4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步旗杆在断裂之前高多少m?
9.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.
第9题图
10.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部米处,那么这棵树折断之前的高度是米.
11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18
元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
4000米处,过了20秒,飞机距
5m
7.如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,
所走的最短路线的长度.
12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:
00甲先出发,他以6千米/时的速度
向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:
00,甲、乙二人相距多远?
还能保持联系吗?
第7题图
8.
一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。
求CD的长.
.第8题图
22222
1.A,提示:
根据勾股定理得BC2AC21,所以AB2BC2AC2=1+1=2;
9.解:
延长BC、AD交于点E.(如图所示)
2.4,提示:
由勾股定理可得斜边的长为5m,而3+4-5=2m,所以他们少走了4步.
∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°又∵CD=3,∴CE=6,∴BE=8,
60
13
提示:
设斜边的高为x,根据勾股定理求斜边为
1225216913,再利
设AB=x,则AE=2x,由勾股定理。
得(2x)2x282,x833
1160
用面积法得,51213x,x;
2213
4.解:
依题意,AB=16m,AC=12m,
在直角三角形ABC中,由勾股定理
222222
BC2AB2AC2162122202,
10.如图,作出A点关于MN的对称点A′,连接A′B交MN于点
Rt△A′DB中,由勾股定理求得A′B=17km
11.解:
根据勾股定理求得水平长为1325212m,
2地毯的总长为12+5=17(m),地毯的面积为17×2=34(m2),
P,则A′B就是最短路线.在
A′
所以BC=20m,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32m高.
铺完这个楼道至少需要花为:
34×18=612(元)
5.8
6.解:
如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得
BC=50002400023000(米),
所以飞机飞行的速度为
3
20
540(千米/小时)
3600
7.解:
将曲线沿AB展开,如图所示,过点C作CE⊥AB于E.在RtCEF,CEF90,EF=18-1-1=16(cm),
1
CE=130(cm),
2.60
12.解:
如图,甲从上午8:
00到上午10:
00一共走了2小时,走了12千米,即OA=12.
乙从上午9:
00到上午10:
00一共走了1小时,
走了5千米,即OB=5.
在Rt△OAB中,AB2=122十52=169,∴AB=13,因此,上午10:
00时,甲、乙两人相距13千米.
∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.
第10题图
由勾股定理,得CF=CE2EF230216234(cm)
8.
解:
在直角三角形
ABC中,根据勾股定理,得
BC2AC2AB2324225
一、选择题
1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是()
A.9,12,15B.5,1,3C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9
4,1,4
2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三个内角比为1∶2∶1B.三边之比为1∶2∶5
10.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=4BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问△AEF是什么三角形?
请说明理由.
D
F
C
C.三边之比为3∶2∶5D.三个内角比为1∶2∶3
3.
已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为()
第9题图
18.2勾股定理的逆定理答案:
、1.C;2.C;3.C,提示:
当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边=2262210;
当6为斜边时,第三边为直角边=622242;4.C;
二、5.90°提示:
根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为
1
90°.6.54,提示:
先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为91254.7.
2
直角,提示:
2222222
(ab)2100,得a2b22ab100,a2b21002186482c2
60
8.,
13
提示
先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得
11
12513AD;
22
三、9.解:
连接AC,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.
在△ACD中,∵AC2+CD2=25+122=169,
而AB2=132=169,
∴AC2+CD2=AB2,∴∠ACD=90°.
1111
故S四边形ABC=DS△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.
2222
10.解:
由勾股定理得AE2=25,EF2=5,
AF2=20,∵AE2=EF2+AF2,
∴△AEF是直角三角形
11.设AD=x米,则AB为(10+x)米,AC为(15-x)米,BC为5米,∴(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,∴10+x=12(米)
12.解:
第七组,a27115,b27(71)112,c1121113.
第n组,a2n1,b2n(n1),c2n(n1)1
图18-2-8
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10cm,∠D=120°,
则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).
9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?
借助于网格,证明你的结论
图18图18-2-5图18-2-6
3.如图18-2-5,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S1=4,S2=8,
则AB的长为.
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=1AD,试
4判断△EFC的形状.
.图18-2-9
10.已知:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
5.
一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:
AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗?
2-10
图18-2-7
6.已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证:
△ABC是直角三角形
12.已知:
如图18-2-10,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:
四边形ABCD
图18-
二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?
为什么?
参考答案
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5
S1、S2、S3,且S1=4,S2=8,
图18-2-5
思路分析:
判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:
①有一个角是直角或两锐角互余;②两边的平方和等于第三边的平方;③一边的中线等于这条边的一半.
由A得有一个角是直角;B、C满足勾股定理的逆定理,所以应选D.
答案:
D
2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).
图18-2-4
解:
过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形,∴AB=DE.
∵∠D=120°,∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,∴CE=5cm.根据勾股定理的逆定理得,DE=1025253cm.
∴AB=1025253
cm.
3.如图18-2-5,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为则AB的长为.
图18-2-6
思路分析:
因为△ABC是Rt△,所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3,所以S3=12,因为S3=AB2,所以
AB=S31223.
答案:
23
1
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=AD,4试判断△EFC的形状.
思路分析:
分别计算EF、CE、CF的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解:
∵E为AB中点,∴BE=2.
∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.
∵CE2+EF2=CF2,
∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:
AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗?
图18-2-7
思路分析:
要检验这个零件是否符合要求,只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可,
这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
解:
在△ABD中,AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以△ABD为直角三角形,∠A=90°.在△BDC中,
BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.
所以△BDC是直角三角形,∠CDB=90°.因此这个零件符合要求.
6.已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证:
△ABC是直角三角形.思路分析:
根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明:
∵k2+1>k2-1,k2+1-2k=(k-1)2>0,即k2+1>2k,∴k2+1是最长边.
∵(k2-1)2+(2k)2=k4-2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,
∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?
为什么?
思路分析:
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例2已证).
解:
略
图18-2-8思路分析:
根据题意,只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明:
∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,
22222∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?
借助于网格,证明你的结论.
思路分析:
借助于网格,利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度,再利用勾股定理的逆定
理判断△OAB是否是直角三角形即可.
解:
∵OA2=OA12+A1A2=32+12=10,
OB2=OB12+B1B2=22+42=20,
AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=OB2.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
10.阅读下列解题过程:
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2-b2c2=a4-b4,(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)∴c2=a2+b2,(C)∴△ABC是直角三角形.
问:
①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?
请写出该步的代号;
②错误的原因是;③本题的正确结论是.
思路分析:
做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,本题错在忽视
了a有可能等于b这一条件,从而得出的结论不全面.
答案:
①(B)②没有考虑a=b这种可能,当a=b时△ABC是等腰三角形;③△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.已知:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
思路分析:
(1)移项,配成三个完全平方;
(2)三个非负数的和为0,则都为0;(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
222
解:
由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,
配方并化简得,(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.
222
∵(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0.
∴a-5=0,b-12=0,c-13=0.
解得a=5,b=12,c=13.
又∵a2+b2=169=c2,
∴△ABC是直角三角形.
12.已知:
如图18-2-10,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:
四边形ABCD的面积.
图18-2-10
思路分析:
(1)作DE∥AB,连结BD,则可以证明△ABD≌△EDB(ASA);
(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;(3)在△DEC中,3、4、5为勾股数,△DEC为直角三角形,DE⊥BC;(4)利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解.
解:
作DE∥AB,连结BD,则可以证明△ABD≌△EDB(ASA),
∴DE=AB=,4BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形,DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为
11
S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.
22
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
勾股定理的应用(4)
1.三个半圆的面积分别为S1=4.5π,S2=8π,S3=12.5π,把三个半圆拼成如图所示的图形,则△ABC一定是直角三角形吗?
说明理由。
3)结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性。
2.求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,
AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天,问学校需要投入多少资金买草皮?
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=6,AC=8,求AB、CD的长
A
7.在数轴上画出表示17的点(不写作法,但要保留画图痕迹)
3..(12分)如图所示,折叠矩形的一边
AD,使点D落在BC边上的点
F处,已知AB=8cm,BC=10cm,
求EC的长
8.已知如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求这个四边形的面积
_A_D
4.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋
B的西8km北7km处,他想
把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
9.如图,每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积
5.(8分)观察下列各式,你有什么发现?
32=4+5,52=12+13,72=24+2592=40+41⋯⋯这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?
(1)填空:
132=+
2)请写出你发现的规律。
勾股定理复习题(5)
A.两直线平行,同旁内角互补
B.
若两个数的绝对值相等,则这两个数相等
一、填空、选择题题:
3.有一个边长为5米的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为()米
4、一旗杆离地面6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,则旗杆折断之前的高度是
()米。
6、在△ABC中,∠C=90°,AB=10。
(1)若∠A=30°,则BC=,AC=。
(2)若∠A=45°
则BC=,AC=。
8、在△ABC中,∠C=90°,AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD=m
C.对顶角相等D.如果a=b或a+b=0,那么a2b2
二、解答题:
19、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。
水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
22
11、三角形的三边abc,满足(ab)2c22ab,则此三角形是三角形。
20、一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?
(其
中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)
12、小明向东走80米后,沿另一方向又走了60米,再沿第三个方向走100米回到原地。
小明向东走80米后又向方向走的。
13、ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm则AC的长为cm
21、某港口位于东西方向的海岸线上。
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。
如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?
14、两人从同一地点同时出发,一人以3米/秒的速度向北直行,一人以4米/秒的速度向东直行,5秒钟后他们相距米.
15、写出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
⑴两直线平行,内错角相等。
()⑵如果两个实数相等,那么它们的平方相等。
()
22
⑶若a2b2,则a=b()⑷全等三角形的对应角相等。
()⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
()
16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是()
(A)a=15b=8c=17(B)a:
b:
c=1:
3:
2
68
(C)a=2b=c=
55
17、若一个三角形的三边长为
(D)a=13b=14c=15
6,8,x,则使此三角形是直角三角形的
x的值是().
22、请在数轴上标出表示5的点
A.8B.10C.
28D.10或28
18、下列各命题的逆命题不成立的是()
勾股定理复习题(6)
1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则?
这条小路的面积是多少?
6.如图,从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有
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