尖子生专训3相交线平行线含答案.docx
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尖子生专训3相交线平行线含答案
尖子生专训3相交线平行线答案
1.长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查瞧江水及两岸河堤得情况、如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动得速度就是a°/秒,灯B转动得速度就是b°/秒,且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定这一带长江两岸河堤就是平行得,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b得值;
(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯得光束互相平行?
(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前。
若射出得光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD得数量关系就是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围、
解:
(1)∵a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0,∴a﹣3b=0,且a+b﹣4=0,∴a=3,b=1;
(2)设A灯转动t秒,两灯得光束互相平行,
①当0<t〈60时,3t=(20+t)×1,解得t=10;
②当60 ③当120<t<160时,3t﹣360=t+20,解得t=190>160,(不合题意)综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯得光束互相平行; (3)设A灯转动时间为t秒, ∵∠CAN=180°﹣3t,∴∠BAC=45°﹣(180°﹣3t)=3t﹣135°,又∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t, 而∠ACD=90°,∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣(180°﹣2t)=2t﹣90°,∴∠BAC: ∠BCD=3: 2,即2∠BAC=3∠BCD. 2。 如图1,MN∥PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为G. (1)求证: ∠MAG+∠PBG=90°; (2)若点C在线段AD上(不与A、D、G重合),连接BC,∠MAG与∠PBC得平分线交于点H,请在图2中补全图形,猜想并证明∠CBG与∠AHB得数量关系; (3)若直线AD得位置如图3所示, (2)中得结论就是否成立? 若成立,请证明;若不成立,请直接写出∠CBG与∠AHB得数量关系、 解: (1)如图1,∵MN∥PQ,∴∠MAG=∠BDG,∵∠AGB就是△BDG得外角,BG⊥AD, ∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°,∴∠MAG+∠PBG=90°; (2)2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°,证明: ①如图,当点C在AG上时, ∵MN∥PQ,∴∠MAC=∠BDC,∵∠ACB就是△BCD得外角,∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC, ∵AH平分∠MAC,BH平分∠DBC,∴∠MAC=2∠MAH,∠DBC=2∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH), 同理可得,∠AHB=∠MAH+∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB, 又∵∠ACB就是△BCG得外角,∴∠ACB=∠CBG+90°,∴2∠AHB=∠CBG+90°,即2∠AHB﹣∠CBG=90°; ②如图,当点C在DG上时, 同理可得,∠ACB=2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴2∠AHB=90°﹣∠CBG,即2∠AHB+∠CBG=90°; (3) (2)中得结论不成立.存在: 2∠AHB+∠CBG=270°;2∠AHB﹣∠CBG=270°。 ①如图,当点C在AG上时,由MN∥PQ,可得: ∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2(∠MAH+∠PBH),∠AHB=∠MAH+∠PBH, ∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵∠ACB就是△BCG得外角,∴∠ACB=90°+∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG, 即2∠AHB+∠CBG=270°; ②如图,当C在DG上时, 同理可得,∠ACB=360°﹣2(∠MAH+∠PBH),∠AHB=∠MAH+∠PBH, ∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG, ∴2∠AHB﹣∠CBG=270°. 3.“一带一路”让中国与世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视。 若灯A转动得速度就是每秒2度,灯B转动得速度就是每秒1度、假定主道路就是平行得,即PQ∥MN,且∠BAM: ∠BAN=2: 1、 (1)填空: ∠BAN= 60 °; (2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯互相平行? (3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出得光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD得数量关系就是否发生变化? 若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由. 解: (1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM: ∠BAN=2: 1,∴∠BAN=180°×=60°,故答案为: 60; (2)设A灯转动t秒,两灯得光束互相平行, ①当0<t<90时,如图1, ∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•(30+t),解得 t=30; ②当90<t<150时,如图2, ∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180° ∴1•(30+t)+(2t﹣180)=180,解得 t=110,综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯得光束互相平行; (3)∠BAC与∠BCD关系不会变化.理由: 设灯A射线转动时间为t秒, ∵∠CAN=180°﹣2t,∴∠BAC=60°﹣(180°﹣2t)=2t﹣120°,又∵∠ABC=120°﹣t, ∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣(180°﹣t)=t﹣60°, ∴∠BAC: ∠BCD=2: 1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC与∠BCD关系不会变化. 4.如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120° (1)说明OB∥AC成立得理由、 (2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC得度数. (3)在 (2)得条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB: ∠OFB得比值就是否随之发生变化? 若变化,请说明理由;若不变,请求出这个比值、 (4)在(3)得条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA得度数、 解: (1)∵BC∥OA,∴∠B+∠O=180°,∴∠O=180°﹣∠B=60°,而∠A=120°,∴∠A+∠O=180°,∴OB∥AC; (2)∵OE平分∠BOF,∴∠BOE=∠FOE,而∠FOC=∠AOC,∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×60°=30°,即∠EOC=30°; (3)比值不改变.∵BC∥OA,∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,∵∠FOC=∠AOC,∴∠AOF=2∠AOC,∴∠OFB=2∠OCB,即∠OCB: ∠OFB得值为1: 2; (4)设∠AOC得度数为x,则∠OFB=2x, ∵∠OEB=∠AOE,∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x,而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x, ∵∠OEB=∠OCA,∴30°+x=60°﹣x,解得x=15°,∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°. 5。 已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP、 (1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC. (2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP得角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间得数量关系,并说明理由. (3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP得角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系? 解: (1)如图1,过P作PE∥AB, ∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°; (2)∠AKC=∠APC。 理由: 如图2,过K作KE∥AB, ∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK, 过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,∵∠BAP与∠DCP得角平分线相交于点K, ∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,∴∠AKC=∠APC; (3)∠AKC=∠APC. 理由: 如图3,过K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE, ∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,过P作PF∥AB, 同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAP与∠DCP得角平分线相交于点K, ∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=(∠BAP﹣∠DCP)=∠APC,∴∠AKC=∠APC. 6、如图,已知AM∥BN,∠A=60°、点P就是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP与∠PBN,分别交射线AM于点C,D. (1)求∠CBD得度数; (2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间得数量关系就是否随之发生变化? 若不变化,请写出它们之间得关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律. (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC得度数就是30°. 解: (1)∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,∵∠A=60°,∴∠ABN=120°,∵BC、BD分别平分∠ABP与∠PBN, ∴∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠NBP,∴∠CBD=∠ABN=60°; (2)不变化,∠APB=2∠ADB, 证明: ∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,又∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APB=2∠ADB; (3)∵AD∥BN,∴∠ACB=∠CBN,又∵∠ACB=∠ABD,∴∠CBN=∠ABD,∴∠ABC=∠DBN, 由 (1)可得,∠CBD=60°,∠ABN=120°,∴∠ABC=(120°﹣60°)=30°,故答案为: 30°、 7.数学思考: (1)如图1,已知AB∥CD,探究下面图形中∠APC与∠PAB、∠PCD得关系,并证明您得结论 推广延伸: (2)①如图2,已知AA1∥BA1,请您猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3得关系,并证明您得猜想; ②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An得关系 拓展应用: (3)①如图4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ得式子表示x,应为 B A.180°+α+β﹣γ B、180°﹣α﹣γ+β C、β+γ﹣α D.α+β+γ ②如图5,AB∥CD,且∠AFE=40°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,请您根据上述结论直接写出∠GHM得度数就是 30° . 解: (1)证明: 如图1,过点P作OP∥AB, ∵AB∥CD,∴OP∥AB∥CD,∴∠1=∠PAB,∠2=∠PCD,∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,即∠APC=∠PAB+∠PCD; (2)①如图2,过点A2作A2O∥AA1, 由 (1)可知∠B1=∠A1+∠1,∠B2=∠2+∠A3,所以,∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3; ②如图3,由①可知: ∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1; (3)①如图4,过∠x得顶点作CD∥AB,则∠x=(180°﹣α)+(β﹣γ)=180°﹣α﹣γ+β, ②如图5,由 (1)可知,40°+∠GHM+50°=∠G+∠M,∵∠G=90°,∠M=30°,∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°。 故答案为: B;30°。 8、已知直线AB∥CD. (1)如图1,直接写出∠ABE,∠CDE与∠BED之间得数量关系就是∠ABE+∠CDE=∠BED。 (2)如图2,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD与∠BED有怎样得数量关系? 请说明理由. (3)如图3,点E在直线BD得右侧,BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,请直接写出∠BFD与∠BED得数量关系2∠BFD+∠BED=360°。 解: (1)∠ABE+∠CDE=∠BED. 理由: 如图1,作EF∥AB,∵直线AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED, 即∠ABE+∠CDE=∠BED。 故答案为: ∠ABE+∠CDE=∠BED. (2)∠BFD=∠BED. 理由: 如图2,∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE, ∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=(∠ABE+∠CDE), 由(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)∠BED=∠ABE+∠CDE,∴∠BFD=∠BED. (3)2∠BFD+∠BED=360°. 理由: 如图3,过点E作EG∥CD,,∵AB∥CD,EG∥CD,∴AB∥CD∥EG, ∴∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°, 由 (1)知,∠BFD=∠ABF+∠CDF,又∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE, ∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,∴∠BFD=(∠ABE+∠CDE),∴2∠BFD+∠BED=360°、 故答案为: 2∠BFD+∠BED=360°。 9、已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B. (1)如图1,直接写出∠A与∠C之间得数量关系∠A+∠C=90° ; (2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证: ∠ABD=∠C; (3)如图3,在 (2)问得条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC得度数. 解: (1)如图1,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°,∴∠A+∠C=90°, (2)如图2,过点B作BG∥DM, ∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,又∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG, ∵AM∥CN,BG∥AM,∴CN∥BG,∴∠C=∠CBG,∴∠ABD=∠C; (3)如图3,过点B作BG∥DM, ∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由 (2)可得∠ABD=∠CBG, ∴∠ABF=∠GBF,设∠DBE=α,∠ABF=β,则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α, ∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β, △BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,① 由AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,② 由①②联立方程组,解得α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 10.已知直线l1∥l2,直线l3与直线l1、l2交于点C与D,点P就是直线l3上一动点 (1)如图1,当点P在线段CD上运动时,∠PAC,∠APB,∠PBD之间存在什么数量关系? (2)当点P在C、D两点得外侧运动时(P点与点C、D不重合,如图2与图3),上述 (1)中得结论就是否还成立? 若不成立,请直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间得数量关系,不必写理由、 解: (1)∠APB=∠PAC+∠PBD,如图1,过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC∵l1∥l2,∴PE∥l2, ∴∠BPE=∠PBD,∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,∴∠APB=∠PAC+∠PBD; (2)不成立, 如图2: ∠PAC=∠APB+∠PBD,理由: 过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2, ∴∠BPE=∠PBD,∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD,∴∠PAC=∠APB+∠PBD; 如图3: ∠PBD=∠PAC+∠APB, 理由: 过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD, ∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC,∴∠PBD=∠PAC+∠APB. 11.已知,∠AOB=90°,点C在射线OA上,CD∥OE. (1)如图1,若∠OCD=120°,求∠BOE得度数; (2)把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°",射线OE沿射线OB平移,得O′E,其她条件不变,(如图2所示),探究∠OCD、∠BO′E得数量关系; (3)在(2)得条件下,作PO′⊥OB垂足为O′,与∠OCD得平分线CP交于点P,若∠BO′E=α,请用含α得式子表示∠CPO′(请直接写出答案)、 解: (1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°; (2)如图2,过O点作OF∥CD, ∵CD∥OE,∴OF∥OE,∴∠AOF=180°﹣∠OCD,∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E, ∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣(∠OCD+∠BO′E)=120°,∴∠OCD+∠BO′E=240°; (3)∵CP就是∠OCD得平分线, ∴∠OCP=∠OCD,∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP=150°﹣∠OCD=150°﹣(240°﹣∠BO′E)=30°+α、 12。 探究: 如图①,已知直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于点C与D,直线l3上有一点P、 (1)若点P在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间有怎样得关系? 并说明理由、 (2)若点P在C、D两点得外侧运动时(点P与点C、D不重合),请尝试自己画图,写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间得关系,并说明理由. (3)如图②,AB∥EF,∠C=90°,我们可以用类似得方法求出∠α、∠β、∠γ之间得关系,请直接写出∠α、∠β、∠γ之间得关系。 解: (1)如图①,当P点在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD. 理由如下: 过点P作PE∥l1, ∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1,∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD; (2)如图甲,当点P在C、D两点得外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB. 理由如下: ∵l1∥l2,∴∠PEC=∠PBD,∵∠PEC=∠PAC+∠APB,∴∠PBD=∠PAC+∠APB. 如图乙,当点P在C、D两点得外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB. 理由如下: ∵l1∥l2,∴∠PED=∠PAC,∵∠PED=∠PBD+∠APB,∴∠PAC=∠PBD+∠APB。 (3)∠α+∠β﹣∠γ=90°、 证明: 如图②,分别过C、D作AB得平行线CM与DN, ∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠α=∠BCM,∠MCD=∠NDC,∠NDE=∠γ, ∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ,又∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°, ∴∠α+∠β=90°+∠γ,即∠α+∠β﹣∠γ=90°. 13.如图1,AB∥CD,E就是AB、CD之间得一点。 (1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间得数量关系,并证明您得结论; (2)如图2,若∠BAE、∠CDE得两条平分线交于点F.直接写出∠AFD与∠AED之间得数量关系; (3)将图2中得射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若∠AGD得余角等于2∠E得补角,求∠BAE得大小. 解: (1)∠BAE+∠CDE=∠AED。 理由如下: 作EF∥AB,如图1, ∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,∴∠BAE+∠CDE=∠AED; (2)如图2,由 (1)得结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF, ∵∠BAE、∠CDE得两条平分线交于点F,∴∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE, ∴∠AFD=(∠BAE+∠CDE),∵∠BAE+∠CDE=∠AED,∴∠AFD=∠AED; (3)由 (1)得结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG,而射线DC沿DE翻折交AF于点G, ∴∠CDG=4∠CDF,∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2(∠AED﹣∠BAE)=2∠AED﹣∠BAE, ∵90°﹣∠AGD=180°﹣2∠AED,∴90°﹣2∠AED+∠BAE=180°﹣2∠AED,∴∠BAE=60°。 14。 如图1。 将线段AB平移至CD,使A与D对应,B与C对应,连AD、BC、 (1)填空: AB与CD得关系为 AB∥CD,且AB=CD ,∠B与∠D得大小关系为 相等 (2)如图2,若∠B=60°,F、E为 BC得延长线上得点,∠EFD=∠EDF,DG平分∠CDE交BE于G,求∠FDG. (3)在 (2)中,若∠B=α,其它条件不变,则∠FDG= . 解: (1)AB∥CD,且AB=CD,∠B与∠D相等; (2)∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B, 由三角形得外角性质得,∠CDF=∠DFE﹣∠DCE,∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE﹣∠DCE+∠FDG, 在△DEF中,∠DEF=180°﹣2∠DFE,在△DFG中,∠DGF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE, ∴∠EDG=∠DGF﹣∠DEF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣(180°﹣2∠DFE)=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE, ∵DG平分∠CDE,∴∠CDG=∠EDG,∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE, ∴∠FDG=∠DCE,即∠FDG=∠B,∵∠B=60°,∴∠FDG=×60°=30°; (3)思路同 (2),∵∠B=α,∴∠FDG=、故答案为: (1)AB∥CD,且AB=CD,相等;(3)、 15.问题情境: 如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC得度数. 小明得思路就是: 过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC。 (1)按小明得思路,易求得∠APC得度数为 110 度; (2)问题迁移: 如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系? 请说明理由; (3)在 (2)得条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间得数量关系. (1)解: 过点P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°, ∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,∴∠APE=50°,∠CPE=60°,∴∠APC=∠APE+∠C
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