中考二次函数压轴题练习题二.docx
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中考二次函数压轴题练习题二
二次函数综合題
(一)
一.解答题(共24小题)
1.已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A(﹣3,﹣7)和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点),是否存在点D,使得S△DAC=2S△DCM?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标.
2.抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.
3.如图,在平面直角些标系中,二次函数y=ax2+bx﹣
的图象经过点A(﹣1,0),C(2,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,求
PB+PD的最小值;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一个动点,若平面内存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 个.
4.已知抛物线m;y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6),其对称轴n与x轴交于点F.
(1)求抛物线m的表达式;
(2)如图1,若动点P在对称轴n上,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)如图2,设点C关于对称轴n的对称点为D,M是线段OC上的一个动点若△DMC∽△MEO,求直线DM的表达.
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当点P运动到抛物线顶点时,求四边形ABPC的面积;
(3)点Q是x轴上的一个动点,当点P与点C关于对称轴对称且以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点Q的坐标.
6.综合与探究
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为 .
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;
(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
7.如图,已知抛物线y=ax2﹣4x+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴交于点C(0,6).
(1)求抛物线y的函数表达式及点B的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大?
若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在抛物线上是否存在点E,使4tan∠ABE=11tan∠ACB?
若存在,求出满足条件的所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
9.如图1,已知抛物线的顶点坐标为(0,1)且经过点A(1,2),直线y=3x﹣4
经过点B(
,n),与y轴交点为C.
(1)求抛物线的解析式及n的值;
(2)将直线BC绕原点O逆时针旋转45°,求旋转后的直线的解析式;
(3)如图2将抛物线绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线,新曲线与直线BC交于点M、N,点M在点N的上方,求点N的坐标.
10.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,﹣5),对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;
(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.
11.已知开口向上的抛物线y=ax2﹣6ax交x轴于点O,A,函数值y的最小值是﹣
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点B为物线上的点,并在对称轴的左侧,作BC∥x轴交抛物线于点C,连结AB,AC,且BC=
OA.
①求tan∠ABC的值.
②若点E在线段AB上,以点E为圆心,EC为半径画圆.当⊙E和△ABC的一边相切时
求点E的横坐标.
12.在平面直角坐标系中,正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(﹣2,4),B(﹣2,﹣2),C(4,﹣2),D(4,4).
(1)填空:
正方形的面积为 ;当双曲线y=
(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时,k的取值范围是:
;
(2)已知抛物线L:
y=a(x﹣m)2+n(a>0)顶点P在边BC上,与边AB,DC分别相交于点E,F,过点B的双曲线y=
(k≠0)与边DC交于点N.
①点Q(m,﹣m2﹣2m+3)是平面内一动点,在抛物线L的运动过程中,点Q随m运动,分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标;
②当点F在点N下方,AE=NF,点P不与B,C两点重合时,求
﹣
的值;
③求证:
抛物线L与直线x=1的交点M始终位于x轴下方.
13.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设k=
,当k为何值时,CF=
AD?
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?
若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
14.如图,直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,过A,B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BC,若点E是线段AC上的一个动点(不与A,C重合),过点E作EF∥BC,交AB于点F,当△BEF的面积是
时,求点E的坐标;
(3)在
(2)的结论下,将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F,试判断点E′是否在抛物线上,并说明理由.
15.如图,抛物线y=ax2+bx+8与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,连接BC,且点D坐标为(﹣2,4),tan∠OBC=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为第四象限抛物线上一点,连接PC、PD,设点P的横坐标为t,△PCD的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)延长CD交x轴于点E,连接PE,直线DG与x轴交于点G,与PE交于点Q,且OG=2,点F在DQ上,∠DQE+∠BCF=45°,若FQ=2
,求点P的坐标.
16.如图①,已知A、B两点分别在x轴和y轴的正半轴上,连接AB与反比例函数y=
的图象交于C、D两点.
(1)当OA=6,OB=3,D点的横坐标为2时,则k= ,
= ;
(2)当OA=a,OB=b时,请猜测AC与BD之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图②,以D为顶点且过点O的抛物线分别交函数y=
的图象和x轴于点E、F,连接CF,设
=m:
①若∠AFC=90°,则m的值为多少?
②若∠ACF=90°,且m>
时,请用含m的代数式表示tan∠BAO的值.
17.如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),点C(0,3),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴;
(2)点D、E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.
(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:
5两部分,求点P的坐标.
18.如图1,抛物线y=ax2﹣
x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣
x+3经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B,C重合),则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗?
若能,求出相应的点P的坐标;若不能,请说明理由;
(3)如图2,现把△BOC平移至如图所示的位置,此时三角形水平方向一边的两个端点点O′与点B′都在抛物线上,称点O′和点B′为△BOC在抛物线上的一“卡点对”;如果把△BOC旋转一定角度,使得其余边位于水平方向然后平移,能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”.请直接写出△BOC在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标.
19.二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;
(2)连接BD,当t=
时,求△DNB的面积;
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;
(4)当t=
时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.
20.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值.
21.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.点P为直线AE上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当t为何值时,△PAE的面积最大?
并求出最大面积;
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
22.在平面直角坐标系中,二次函数y=
x2﹣
x﹣2
的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接AC、BC.
(1)求△ABC的周长;
(2)点P是直线BC下方抛物线上一点,当△BPC面积最大时,在x轴下方找一点Q,使得AQ+BQ+
PQ最小,记这个最小值是d,请求出此时点P的坐标及d2.
(3)在
(2)的条件下,连接AP交y轴于点R,将抛物线沿射线PA平移,平移后的抛物线记为y',当y经过点A时,将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得的曲线记为N,点D'为曲线N的顶点,将△AOP沿直线AP平移,得到△A'O'P',在平面内是否存在点T,使以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形?
若存在,请直接写出O'的横坐标;若不存在,请说明理由.
23.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在
(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
24.如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=
x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是﹣2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?
若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?
最大值是多少?
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