一元二次方程练习题.docx
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一元二次方程练习题.docx
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一元二次方程练习题
一、选择题
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()。
A.x2+1=0
x
B.ax2+bx+c=0
C.(x−1)(x+2)=1
D.3x2−2xy−5y2=0
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是()。
A.x2+1=0
B.x2+x+1=0C.x2−x+1=0D.x2−x−1=0
3.一元二次方程x2+2x−c=0中,c>0,该方程的解的情况是()。
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能确定4.若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x−k=0的根的情况是()。
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
5.已知1是关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+1=0的一个根,则m的值是()。
A.1
B.−1
C.0
D.±1
6.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是()。
A.k<5
B.k⩾5且k≠1
C.k⩽5且k≠1
D.k>5
7.如果x=4是一元二次方程x2−3x−a=0的一个根,则常数a的值是()。
A.2
B.−2
C.±4
D.4
8.如果关于x的一元二次方程kx2−2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()。
A.
k<12
B.
k<12
且k≠0
C.−1⩽k<1
22
−1⩽k<1且k≠0
22
9.一元二次方程x2+x−2=0的两根之和是()。
A.−2
B.
−12
C.−1
D.2
10.用配方法解一元二次方程x2−6x−5=0,此方程可化为()。
A.(x−3)2=4
B.(x−3)2=14
C.(x−9)2=4
D.(x−9)2=14
11.下列一元二次方程没有实数根的是()。
A.x2+x+2=0
B.x2+2x+1=0
C.x2−1=0
D.x2−2x−1=0
12.下列一元二次方程中,没有实数根的是()。
A.4x2−5x+2=0
B.x2−6x+9=0C.5x2−4x−1=0D.3x2−4x+1=0
二、填空
1.已知m是方程x2+x−1=0的根,则式子m3+2m2+2015的值为。
2.已知(|m|−1)x2−(m−1)x+8=0是关于x的一元一次方程,则m=。
3.已知关于x的一元二次方程2x2−3x+m=0没有实数根,则m的最小整数值为。
4.下列一元二次方程:
(1)(x−1)2+2x(x−1)=0的解为;
(2)3y2+1=23y的解为。
三、计算
解下列方程:
(1)x2−x+2=0
(2)2x2−3x−5=0
四、分析与计算
1.已知关于x的一元二次方程3x2−6x+1−k=0有实数根,k为负整数。
(1)求k的值;
(2)如果这个方程有两个整数根,求出它的根。
2.已知关于x的一元二次方程x2−2kx+1k2−2=0。
2
(1)求证:
不论k为何值,方程总有两个不相等实数根。
1
(2)设x1,x2是方程的根,且x2−2kx1+2x1x2=5,则k的值。
3.阅读材料:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,由求根公式可推出,x1+
x=−ba
,x1x2=
。
这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题。
已知
x1,x2是方程的两根,求下列两个代数式的值:
(1)
。
(2)
。
4.已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0。
(1)试说明无论k取何值时,这个方程一定有实数根;
(2)已知等腰△ABC的底边a=1,若两腰b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC
的周长。
5.在一块长22米、宽17米的矩形地面上,要修建宽度相同的两条互相垂直的道路(两条
道路各与矩形的一边平行),剩余部分种植花草,使花草的面积为300平方米。
求道路的宽度。
(列一元二次方程解应用题)
【答案与解析】一、选择
1.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
A项,只含有一个未知数,并且未知数的最高指数幂是2的整式方程叫做一元二次方程,
因为1x2
是分式,所以原方程是分式方程。
故A项不符合题意。
B项,当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程不是一元二次方程。
故B项不符合题意。
C项,原方程去括号移项得x2+x−3=0,符合一元二次方程要求。
故C项符合题意。
D项,原方程存在两个未知数,所以该方程不是一元二次方程。
故D项不符合题意。
故本题正确答案为C。
2.【答案】D
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0
时,方程没有实数根;所以方程有实数根的条件为Δ⩾0。
A项,Δ=b2−4ac=0−4=−4<0,故A项不符合题意。
B项,Δ=b2−4ac=1−4=−3<0,故B项不符合题意。
C项,Δ=b2−4ac=1−4=−3<0,故C项不符合题意。
D项,Δ=b2−4ac=1−4×(−1)=5>0,故D项符合题意。
故本题正确答案为D。
3.【答案】B
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
一元二次方程,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根;因为Δ=b2−4ac=4−4×(−c)=4+4c>0,所以该方程有两个不相等的实数根。
故本题正确答案为B。
4.【答案】A
【解析】
本题主要考查一元二次方程和一元一次不等式及其解法。
因为5k+20<0,所以k<−4。
因为方程x2+4x−k=0的判别式为Δ=b2−4ac=42−4×(−k)=16+4k,由于k<−4,所以16+4k<0,即Δ<0,所以方程没有实数根。
故本题正确答案为A。
5.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
将x=1代入一元二次方程中,得(m−2)+1+1=0,化简得:
m=0。
故本题正确答案为C。
6.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
因为一元二次方程有实数根,所以有
,该不等式组的解集为
k⩽5且k≠1。
故本题正确答案为C。
7.【答案】D
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
因为x=4是一元二次方程x2−3x−a=0的一个根,所以将x=4代入方程可得42−3×4−a=0,解得a=4。
故本题正确答案为D。
8.【答案】D
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ=b2−4ac=(−2k+1)2−4k=2k+1−4k=1−
2k>0,解得k<1
2
;根据二次根式根号内的数为非负数,可得2k+1⩾0,解得k⩾−1;
2
又因为方程为一元二次方程,所以k≠0。
故k的取值范围是−1⩽k<1
且k≠0。
22
故本题正确答案为D。
9.【答案】C
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
解方程x2+x−2=0,得x=−b±b2−4ac=−1±1−4×1×(−2)
=−1±3
,即x
=−2,x
=1,所以
x1+x2=−2+1=−1。
故本题正确答案为C。
2a2
212
10.【答案】B
【解析】
本题主要考查解一元二次方程。
用配方法解一元二次方程x2−6x−5=0,过程如下,x2−6x+9−5=9,(x−3)2−5=9,即(x−3)2=14。
故本题正确答案为B。
11.【答案】A
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
A项,Δ=b2−4ac=1−8=−7<0,则方程没有实数根,故A项符合题意;
B项,Δ=b2−4ac=4−4=0,则方程有两个相等的实数根,故B项不符合题意;
C项,Δ=b2−4ac=0−(−4)=4>0,则方程具有两个不相等的实数根,故C项不符合题意;
D项,Δ=b2−4ac=4−(−4)=8>0,则方程有两个不相等的实数根,故D项不符合题意。
故本题正确答案为A。
12.【答案】A
【解析】
本题主要考查一元二次方程。
一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当
Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根。
A项,根据判别式Δ=(−5)2−4×4×2=25−32=−7<0,所以该方程没有实数根。
故A项符合题意。
B项,根据判别式Δ=(−6)2−4×9×1=36−36=0,所以该方程有两个相等的实数根。
故
B项不符合题意。
C项,根据判别式Δ=(−4)2−4×5×(−1)=16−(−20)=36>0,所以该方程有两个不相等的实数根。
故C项不符合题意。
D项,根据判别式Δ=(−4)2−4×3×1=16−12=4>0,所以该方程有两个不相等的实数根。
故D项不符合题意。
故本题正确答案为A。
二、填空
1.【答案】2016
【解析】
本题主要考查代数式的值和方程解的概念。
根据方程解的性质,将x=m代入原方程可得m2+m=1,则
2015=2016。
故本题正确答案为2016。
=1+
2.【答案】-1
【解析】
本题主要考查一元一次方程的基本概念。
由题意得,方程为关于x的一元一次方程,所以方程的二次项系数为0,即|m|−1=0,可得m=±1;又因为方程的一次项系数不为0,所以m−1≠0,得m≠1。
综上可得m=
−1。
故本题正确答案为−1。
3.【答案】因为一元二次方程没有实数根,所以Δ=(−3)2−4×2×m=3−8m<0,m>3,
8
所以m可以取得最小整数值为1。
【解析】
本题主要考查一元二次方程的基本概念。
根据一元二次方程没有实数根,得出Δ<0,求出m的取值范围,即可得出m的最小整数值。
4.【答案】
(1)(x−1)(x−1+2x)=0,即(x−1)(3x−1)=0,所以x−1=0或3x−1=0,解得:
x=1
或x=1;
3
(2)移项,得:
3y2−23y+1=0,即(3y−1)2=0,所以3y−1=0,解得:
y=3。
3
【解析】
本题主要考查用配方法和因式分解法求解一元二次方程。
(1)提取公因式后即可求解方程。
(2)移项后根据完全平方公式分解因式即可求解方程。
三、计算
【答案】
(1)在一元二次方程中,因为a=1,b=−1,c=2,所以Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×2
=1−8=−7<0,所以原方程没有实数根。
(2)在一元二次方程中,因为a=2,b=−3,c=−5,所以Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅
2⋅(−5)=49>0,故方程有两个不相等的实数根,根据求根公式可得x=−b±b2−4ac=3±7,
解得:
x1
2
=−1,x=。
2
2a4
【解析】
本题主要考查用公式法解一元二次方程。
(1)写出a、b、c的值,求出Δ的值,当Δ<0时不存在实数根。
(2)写出a、b、c的值,求出Δ的值,再根据求根公式求解即可。
四、分析与计算
1..【答案】
(1)根据题意,得△=(−6)2−4×3(1−k)⩾0,解得k⩾−2。
因为k为负整数,所以k=−1
或−2。
(2)当k=−1时,不符合题意,舍去;当k=−2时,符合题意,此时方程的根为x1=x2=1。
【解析】
本题主要考查一元二次方程根的判别式。
(1)根据方程有实数根,得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的值;
(2)将k的值代入原方程,求出方程的根,经检验即可得到满足题意的k值。
2.【答案】
(1)证明:
Δ=(−2k)2−4(1k2−2)=2k2+8>0,所以不论k为何值,方程总有两个不
2
相等实数根。
(2)因为x
是方程的根,所以x2−2kx+1k2−2=0,所以x2−2kx
=−1k2+2,因为x2−
1112
1121
2kx+2xx
=5,xx=1k2−2,所以−1k2+2+2(1k2−2)=5,整理得k2−14=0,所
112
12222
以k=±14。
【解析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和判别式。
(1)计算判别式,从而得到Δ>0,即可证明不论k为何值,方程总有两个不相等实数根。
(2)因为x1
是方程的根,所以满足方程,再由根与系数的关系得到x1x2
=1k2−2,代入
2
等式化简即可算出k值。
3.【答案】
(1)因为x1
,x2
是方程的两个根,从而有:
x1
1
+x2=2
,x1x2
=−5。
2
因此:
1+1=x2+x1=
1
2=−1。
x1x2
x1x2−55
2
(2)由
(1)知,(x+5)(x+5)=xx+5(x+x)+25=−5+5×1+25=25。
12121222
【解析】
本题主要考查一元二次方程的应用。
先根据x1,x2是方程的两根,求出x1+x2、x1x2的值,再把要求的式子进行变形,最后代入计算即可。
4.【答案】
(1)因为Δ=(k+2)2−4×2k=(k−2)2⩾0,所以无论k取何值,这个方程一定有实数根;
(2)等腰△ABC底边a=1,则b=c,则方程两根为腰,即Δ=(k−2)2=0,所以k=2,所以原方程为x2−4x+4=(x−2)2=0,所以b=c=2,所以三角形周长为l=a+b+c=
5。
【解析】
本题主要考查用配方法解一元二次方程。
(1)当一元二次方程有实根时,Δ=b2−4ac⩾0,将Δ化简为完全平方式,即可证明方程一定有实根;
(2)当Δ=b2−4ac=0时方程有两个相等实数根,即求得k值,代入原方程求得方程的根,即可求得等腰三角形的周长。
5.【答案】
设道路的宽应为x米,由题意有(22−x)(17−x)=300,解得:
x1=37(舍去),x2=2,故修建的路宽为2米。
【解析】
本题主要考查一元二次方程的应用。
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的种植花草部分是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可。
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