平行四边形专题整理.docx
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平行四边形专题整理
平行四边形专题整理
一、考点分析
年份
2016
2015
2014
2013
2012
题型
正方形中全等
平行四边形
菱形的性质
矩形的性质
菱形的概念、
选择题
三角形的对数
的性质及正
应用
及菱形的性
性质及判定
方形的性质
质应用
应用
以菱形为基础
在正方形中
填空题
求最小距离
旋转三角形
后求解线段
的长度
以矩形为背
平行四边形
平行四边形
平行四边形
平行四边形面
景,探求不规
则四边形周长
性质和判定
性质和判定
面积、和最值
积、和最值等
解答题
的最小值,利
用对称
等问题的实
问题的实际应
际应用问题
用问题
二、平行四边形有关知识点
平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边
形ABCD”。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补,对角相等。
(2)平行四边形的对边平行且相等。
推论:
夹在两条平行线间的平行线段相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质
(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等
(4)矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
(1)定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)定理1:
有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2:
对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质
(2)菱形的四条边相等
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
(4)菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
(1)定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)定理1:
四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:
先证它是矩形,再证有一组邻边相等。
先证它是菱形,再证有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:
先证明它是平行四边形;
再证明它是菱形(或矩形);最后证明它是矩形(或菱形)
4、正方形的面积
设正方形边长为a,对角线长为b
S正方形=a2b2
2
三、真题演练
考点一:
平行四边形和特殊平行四边形性质和判定
题型一、平行四边形性质和判定
1、(2011陕西卷9,3他们相交于G,延长
分)如图,在?
ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有()
BE、AF,
A、2对B、3对C、4对D、5对
2、(2015陕西卷9,3分)在□ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点,若四
边形AECF为正方形,则AE的长为(
)
A.7
B.4
或10C.5
或9
D.6
或8
3、(2012陕西卷18,6
分)如图,在YABCD中,
ABC
的平分线BF分别与
AC、AD交于点E、F.
(1)求证:
ABAF;
(2)当AB3,BC5时,求AE的值.
AC
4、(2006陕西卷
20,8
分)如图。
O为
的对角线
AC的中点,过点
O左一条直线分
别与
AB、CD交于点
M、N,E、F在直线
MN上,且
OE
OF
题型二、菱形性质和判定
1、(2012
陕西卷
7,3
分)如图,在菱形
ABCD中,对角线
AC与
BD相交于点
O,OE
AB,
垂足为
E,若
ADC=130
,则
AOE的大小为()
A.75°
B.65°
C.55°
D.50°
2、(2014?
黑龙江龙东,第9题3分)如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是5.
3、(2014?
莱芜,第17题4分)如图在坐标系中放置一菱形
OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先
将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转
60°,连续翻转2014次,点B的落点
依次为B1,B2,B3,⋯,则B2014的坐标为
(1342,0).
4、(2014?
四川成都,第24题4分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD
边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,
则A′C长度的最小值是﹣1.
5、(2014?
无锡,第18题2分)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是3.
题型三、矩形性质和判定
1、(2013
陕西卷9,3
分)如图,在矩形
ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在AD、BC
上,连接BM、DN.若四边形MBND是菱形,则AM等于(
)
MD
3
2
C.
3
4
A.
B.
D.
5
8
3
5
FE
2、(2006陕西卷10,3分)如图,矩形
ABCG(AB
BC)与矩形CDEF
全等,点B、C、D在同一条直线上,
APE的顶点P在线段BD上移动,
使APE为直角的点P的个数是
(
)
AG
BPCD
A.0B.1C.2D.4
3、(2014?
黑龙江绥化,第18题3分)如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,
下列结论:
①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,
其中正确的有(B)
A.2个B.3个C.4个D.5个
题型四、正方形性质和判定
1、(2006陕西卷16,3分)将一个无盖正方形
纸盒展开(如图①),沿虚线剪开,用得到的5
张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)
拼成一个正方形(如图②),则所剪得得直角三
角形较短得与较长得直角边的比是。
4、(2011陕西卷18,6分)在正方形ABCD中,点G是BC上任意一点,连接AG,过B,D两点
分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F两点,求证:
△ADF≌△BAE.
5、(2014?
黑龙江龙东,第20题3分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列结论:
①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=S△AFE;⑤∠AGB+∠AED=145°.
其中正确的个数是(C)
A.
2B.
3C.
4D.5
6、(2014?
黑龙江牡丹江,第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了
5个如图所示的正方
形(用阴影表示),点B1
在y轴上且坐标是(
1
12
2
3
43
在x
0,2),点C
、E、E、C
、E
、E、C
轴上,C1
的坐标是(1,0).B1C1∥B2C2∥B3C3,以此继续下去,则点
A2014到x轴的距离
是
.
7、(2014?
重庆A,第
的交点,点E在CD
18题4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD
上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长
为
.
考点二、平行四边形和二次函数求面积和坐标问
题
1、(2012陕西卷12,10分)如果一条抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴有两个交点,那么
以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是三角形;
(2)若抛物线y=-x2+bxb>0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求
b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+bx'b'>0的“抛物线三角形”,是否存在以原点
O为
对称中心的矩形ABCD?
若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
2、(2014陕西卷12,10分)已知抛物线C:
yx2bxc经过A(-3,0)和B(0,3)两点,
将抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C’,抛物线C’的顶点记为M’、它的对称轴与x轴的交点
记为N’。
如果点M、N、M’、N’为顶点的四边形是面积为
线C怎样平移?
为什么?
16的平行四边形,那么应将抛物
3、(2010陕西卷24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线A(-1,0),B(3,0)C(0,
-1)三点。
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
考点三、特殊平行四边形的综合应用问题
1、(2006
陕西卷
25,12
分)王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为
60cm的正方形
板子;另一块是上底为
30cm,下底为
120cm,高为
60cm的直角梯形板子(如图①),王
师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。
他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直
角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域(如
图②),由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
(1)求FC的长;
(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时,矩形的面积最
.....
大?
最大面积时多少?
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。
2、(2009陕西卷25,12
分)问题探究
(1)请在图①的正方形
ABCD
内,画出使
APB
的一个点
P
,并说明理由.
90°
..
(2)请在图②的正方形
ABCD内(含边),画出使
APB
60°的所有的点P,并说明理
..
由.
3、(2010陕西卷25,12
分)问题探究
(1)请你在图①中做一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
..
(2)如图②点M是矩形ABCD内一点,请你在图②中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD
分成面积相等的两部分。
问题解决
(3)如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地
示意图,其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P
(4,2
)处。
为了方便驻区单位准备过点
P修一条笔直的道路(路宽不计)
,并且是这条路所
在的直线
l将直角梯形
OBCD分成面积相等的了部分,你认为直线
l是否存在?
若存在求出
直线
l
的表达式;若不存在,请说明理由
4、(2011陕西卷25,12分)如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个等腰三
角形
(2)如图②、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中
点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?
若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?
若不存在,为什么?
5、(2012陕西卷25,12分)如图,正三角形ABC的边长为3+3.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形
ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形EFPN'''',且使正方形
EFPN''''的面积最大(不要求写作法);
(2)求
(1)中作出的正方形EFPN''''的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,
使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
6、(2013陕西卷25,12分)问题探究
(1)请在图①中,作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由。
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=
b,且ba,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在的直线将四边形ABCD的面积分成相
等的两部分?
若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由。
图①图②图③
7、(2014?
海南,第23题13分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,∠CAB的平分
线分别交BD,BC于点E,F,作BH⊥AF于点H,分别交AC,CD于点G,P,连接GE,GF.
(1)求证:
△OAE≌△OBG;
(2)试问:
四边形BFGE是否为菱形?
若是,请证明;若不是,请说明理由;
(3)试求:
的值(结果保留根号).
8、(2014?
黑龙江绥化,第26题9分)在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°,P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点
(2)如图2,当点
G在
F在
BCAB
边上时,易证:
PG=的延长线上时,线段
PC.(不必证明)
PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜
想,并给与证明;
(3)如图3,当点
F在
CB
的延长线上时,线段
PC、PG
又有怎样的数量关系,写出你的
猜想(不必证明).
9、(2014?
湖北宜昌,第23题11分)在矩形ABCD中,=a,点G,H分别在边AB,DC
上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.
(1)如图1,当DH=DA时,
①填空:
∠HGA=45度;
②若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时的最小值;
(2)如图3,∠AEH=60°,EG=2BG,连接FG,交边FG,交边DC于点P,且FG⊥AB,G为垂足,求a的值.
10、(2014?
江西,第
23题
8分)如图
1,边长为
4的正方形
ABCD中,点
E在
AB边上(不
与点
A、B重合),点
F在BC边上(不与点
B、C重合)。
第一次操作:
将线段
EF绕点
F顺时针旋转,当点
E落在正方形上时,记为点
G;
第二次操作:
将线段
FG绕点
G顺时针旋转,当点
F落在正方形上时,记为点
H;
依此操作下去⋯
(1)图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的,其形状为____,求此时线段EF
的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH。
①请判断四边形EFGH的形状为______,此时AE与BF的数量关系是______。
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。
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