清华大学微积分试题库完整.docx
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清华大学微积分试题库完整
.word格式,
(3343).微分方程yytanxcosx0的通解为y(xC)cosx。
1y
(4455).过点(,0)且满足关系式yarcsinx1的曲线方程为
21x2
1yarcsinxx。
2
C2(4507).微分方程xy3y0的通解为yC122。
x2
(4508).设y1(x),y2(x),y3(x)是线性微分方程ya(x)yb(x)yf(x)的三个特解,
且y2(x)y1(x)C,则该微分方程的通解为
y3(x)y1(x)
yC1(y2(x)y1(x))C2((y3(x)y1(x))y1(x)。
22x
(3081).设y13x2,y23x2ex是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相
应齐次方程的一个解为y3x,则该微分方程的通解为y3x2C1xC2ex。
(4725).设出微分方程y2y3yxxexexcos2x的一个特解形式
*xx
y*AxBx(CxD)exex(Ecos2xFsin2x)。
(4476).微分方程y2y2yex的通解为yex(1C1cosxC2sinx)。
2x12x
(4474).微分方程y4ye2x的通解为yC1e2xC2xe2x。
4
(4477).函数yC1cos2xC2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为
y4y0。
2xt2x
(4532).若连续函数f(x)满足关系式f(x)f
(2)dtln2,则f(x)e2xln2。
(6808).设曲线积分[f(x)ex]sinydxf(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶
连续导数,且f(0)0,则f(x)等于[]
11
(A)1(exex)。
(B)1(exex)。
22
专业.专注
.word格式,
1xx1xx
(C)(exex)1。
(D)1(exex)。
答B
1xx
注:
根据题意,f(x)cosy[f(x)ex]cosy,解得f(x)exCex。
由
11xx
f(0)0,得C,所以f(x)(exex),即选项(B)正确。
22
6907.若函数ycos2x是微分方程yp(x)y0的一个特解,则该方程满足初始条件
y(0)2的特解为[]
(A)ycos2x2。
(B)
ycos2x1。
(C)y2cosx。
(D)
y2cos2x。
答D
注:
根据解的结构,通解为yCcos2x,由y(0)2得C2。
故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
[]
(A)yC1y1C2y2。
(B)yy1Cy2。
yC(y2y1)。
(C)yy1C(y1y2)。
(D)
答D
注:
因为y1(x),y2(x)是微分方程
yp(x)y0的两个不同特解,所以
y2y1是该
方程的一个非零特解。
根据解的结构,其通解为yC(y2y1),即选项(D)正确。
另:
根
据通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对。
当y20时,选项(B)不对。
当y2y1
时,选项(C)不对。
6579.已知函数yy(x)在任意点x处的增量yyx2o(x),y(0),则y
(1)等
1x2
于[]
(A)2。
(B)。
(C)e4。
(D)e4。
答D
专业.专注
.word格式,
注:
根据微分定义及微分与导数的关系得yy2,解得lnyarctanxC,由1x2
y(0),得Cln,所以y
(1)earctan1e4。
因此选项(D)正确。
6215.设函数yf(x)是微分方程y2y4y0的一个解。
若f(x0)0,f(x0)0,则函数f(x)在点x0[]
(A)取到极大值。
(B)取到极小值。
(C)某个邻域内单调增加。
(D)某个邻域内单调减少。
答A
注:
因为f(x0)0,f(x0)4f(x0)0,所以选项(A)正确。
6316.设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程ypyqy0的两个特解,C1,C2是两个任意常数,则下列命题中正确的是[]
(A)C1y1C2y2一定是微分方程的通解。
(B)C1y1C2y2不可能是微分方程的通解。
(C)C1y1C2y2是微分方程的解。
(D)C1y1C2y2不是微分方程的解。
答C
注:
根据叠加原理,选项(C)正确,选项(D)错误。
当y1,y2线性相关时,选项(A)错误,当y1,y2线性无关时,选项(B)错误。
答B
注:
相应齐次方程的特征根为
1,1,所以yyex的一个特解形式为axex,
专业.专注
.word格式,
yy1的一个特解形式为b。
根据叠加原理,原方程的一个特解形式为axexb,即选
项(B)正确。
其他选项经检验不满足方程。
1890.具有特解y1ex,y22xex,y33ex的三阶线性常系数齐次微分方程是[]
(A)yyyy0。
(B)yyyy0。
(C)y6y11y6y0。
(D)y2yy2y0。
答B
注:
根据题意,1,1是特征方程的两个根,且1是重根,所以特征方程为
(1)
(1)23210。
故所求微分方程为yyyy0,即选项(B)
正确。
7819.设y1ex,y2x是三阶线性常系数齐次微分方程yaybycy0的两个
特解,则a,b,c的值为[]
(A)a1,b1,c0。
(B)a1,b1,c0。
(C)a1,b0,c0。
(D)a1,b0,c0。
答C
注:
根据题意,1,0是特征方程的两个根,且0是重根,所以特征方程为
(1)2320。
故原微分方程应为yy0,所以a1,b0,c0即选项(C)正确。
2670.设二阶线性常系数齐次微分方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界,则实数b的取值范围是[]
(A)b0。
(B)b0。
(C)b4。
(D)b4。
答A
22
bb24xbb24x
注:
因为当b2时,y(x)C1e2C2e2,所以,当b240
时,要想使y(x)在区间(0,)上有界,只需要bb240,bb240,即
专业.专注
.word格式,
b2。
当b240时,要想使y(x)在区间(0,)上有界,只需要bb24与bb24的实部大于等于零,即0b2。
当b2时,y(x)C1exC2xex在区间(0,)上有界。
当b2时,y(x)C1exC2xex(C12C220)在区间(0,)上无
界。
综上所述,当且仅当b0时,方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界,即选项(A)正确。
0的通解。
3296.求微分方程x1y2yy1x2
dx
解:
方程两端同乘以
1y1x
xdx
1x2
1ydyy20,
此方程是一个变量分离方程,其通解为
1y21x2C(C2)。
5678.求微分方程ddxy1xysinx的通解。
ddxyx1y0,
dxx
得其通解为
C
y。
x
ClnylnC,即
x
令yC(x),代入原方程,x
sinx,
x
xC(x)C(x)C(x)
22
xx
解得
C(x)cosxC。
所以原方程的通解为
1
y(cosxC)。
x
注:
本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得
专业.专注
.word格式,
sinx1dx1dx1y(exdxdxc)exdx(cosxc)。
xx
22312.求解微分方程xdyydxy2eydy。
解:
将y看成自变量,
x看成是的y函数,则原方程是关于未知函数xx(y)的一阶线性
微分方程
dxxy
ye,
dyy
此方程通解为
xe
ydyCyeyeydydyCyyey,
其中C是任意常数。
2367.求微分方程
2
xy
xy
y2满足初始条件
y
(1)1的特解。
解:
将原方程变形,得
y,
x
这是一个齐次型方程。
令yxu,代入上式,得
xuu22u,
分离变量,得
dudx
u22ux
积分,得
因为y
(1)1,所以C1。
于是所求特解为
2x
1x2
专业.专注
.word格式,
xexp(x)exx,
解出
p(x)xexx。
所以原方程为
xy(xexx)yx,
解其对应的齐次方程,得
yCexex。
所以原方程的通解为
由y(ln2)0,得C
1
2。
所以原微分方程的通解为
专业.专注
.word格式,
xx
x
u(y),
y
2405.求微分方程(1ey)dxey(1x)dy0的通解。
y
解:
将y看成自变量,则xx(y)是y的函数。
由于原方程是齐次型方程,令
原微分方程化为
u
yu
eu,eu1
这是一个变量可分离的方程,解得
y(eu
u)C。
所以原方程的通解为
xyey
另解:
令P(x,y)1ey,Q(x,y)
x
ey(1x),则P(x,y)yy
x
2ey2
Q(x,y),
x
所以,在y0时,原方程为全微分方程。
令
(x,y)
u(x,y)(0,1)(1
xyx
)dxey
(1)dy,
y
由于此曲线积分与路径无关,所以u(x,y)就是全微分式(1ey)dxey(1x)dy的一个原y
函数,且
xx
u(x,y)
(x,y)yyx
(1ey)dxey
(1)dy
(0,1)y
0x
y0x
1ey(10)dy0(1ey)dx
1y0
x
y1xy(ey1)
x
yeyx1。
所以原方程的通解为
x
yeyxC。
2489.设为实数,求微分方程
yy0的通解。
专业.专注
.word格式,
解:
此方程的特征方程为20,所以,
(1)当0时,特征方程有一对复根i,方程有两个线性无关解
cosx,sinx。
因此微分方程的通解为
yC1cosxC2sinx(C1,C2R)。
(2)当0时,特征方程有一个二重根0。
方程有两个线性无关解1,x,于是微
分方程的通解为
yC1C2x。
(3)当0时,特征方程有两个单重实根。
方程有两个线性无关解
ex,ex,所以微分方程的通解为
yC1exC2ex(C1,C2R)。
2909.求微分方程yy2x21的通解。
解将方程写作yy(2x21)e0x。
因为0是特征方程20的单根,所以原
方程一个特解形式为
*32
y(x)axbxcx,将此解代入原方程,得
3ax2(2b6a)x(c2b)2x21,比较两端同次项的系数,有
3a2,2b6a0,c2b1。
解上述方程组,得
2
a,b2,c5。
3
从而得到原方程的一个特解
*232
y*(x)x32x25x。
3
又因为相应齐次方程yy0的通解为
yC1C2ex。
专业.专注
.word格式,
所以原方程的通解为
yC1C2ex2x32x25x。
另解:
方程yy2x21两端积分,得
23
yyx3xC1,
31这是一个一阶线性微分方程,其通解为
yex(C2(2x3xC1)exdx)
3
C1C2ex2x32x25x5
3
2
C1C2exx32x25x。
123
2356.求解微分方程y2yy4xex。
解:
因为1是特征方程2210的重根,所以原方程的一个待定特解为y*x2(axb)ex,将此解代入原方程,得
(6ax2b)ex4xex。
2
比较两端系数,得a,b0。
于是得到原方程的一个特解
3
*23x
yxe。
3又因为相应齐次方程的通解是
y(C1C2x)ex。
因此原方程的通解为
x23x
y(C1C2x)exx3ex。
1123.求微分方程yyxcosx的通解。
解:
原方程所对应齐次方程的通解为
yC1cosxC2sinx。
设非齐次方程yyx的一个特解为
专业.专注
.word格式,
y1AxB,代入次方程,得A1,B0。
所以y1x。
设非齐次方程yycosx的一个特解为
y2ExcosxDxsinx,
11
代入方程,得E0,D。
所以y2xsinx。
222因为y1y2为原方程的一个特解,所以原方程的通解为
1yC1cosxC2sinxxxsinx。
1221278.求解微分方程yy(y)2y2lny。
解:
因为原微分方程不显含自变量x,所以这是一个可降阶微分方程。
令u(y)y(x),则y(x)u(y)y(x)uu。
原方程变为
ylny。
22
yuuu
再令p(y)u2(y),则有
2ylny,
2ppy
这是一个一阶线性微分方程,求得
22
py2(Cln2y)。
所以
uy2(Cln2y),
故
yy2(Cln2y)。
这是个变量可分离微分方程,解得
lnlnyCln2yxC1,这就是原微分方程的通解。
注:
方程yuuu2y2lny是一个伯努利方程,可用伯努利方程的一般解法求解。
专业.专注
.word格式,
2456.求解微分方程y3y3yyex(x5)。
解:
微分方程y3y3yy0的特征方程为
32
332310,
1是其三重特征根。
所以该齐次方程的通解为
yex(C1C2xC3x2)。
令原微分方程的一个特解形式为
y*x3(axb)ex,
代入原微分方程,并整理得
24ax6bx5,
所以
a1,b5。
因此原微分方程的一个特解为
246
(4x5)e,
故所求通解为
x31
ye(C1C2xC3x)6(4x5)e。
3214.求解微分方程xyyx2。
解:
令u(x)y(x),则原方程化为
1
uux,
x这是个一阶线性微分方程,解得
ux(C1x)。
因此yx(C1x),所以原微分方程的通解为
1312132
yx3C1x2C2x3C1x2C2,
3212312
其中C1,C2是任意常数。
x(xC1)
另解:
令p(x)y(x),则原方程化为p1,所以pxC1。
由yxp
x
专业.专注
.word格式,
132yxC1xC2。
312
3333.求解微分方程x2y2xy2yx3lnx。
解:
原方称为二阶欧拉方程。
令xet,得
所以原微分方程化为
dy2d2ydy
xy,xy2。
dtdt2dt
d2ydy3t
232ye3tt,dt2dt
其中t是自变量。
这是一个二阶线性常系数非齐次方程,解得
所以原微分方程的通解为
t2t133tyC1eC2e(t)e。
1222
2133yC1xC2x22x3(lnx2),
其中C1,C2是任意常数。
3337.已知函数f(x)在[0,)上可导,f(0)1,且满足等式
1x
f(x)f(x)10f(t)dt0,
x10
求f(x),并证明exf(x)1(x0)。
解:
根据条件,得
x
(x1)(f(x)f(x))0f(t)dt0,
因为f(x)在[0,)上可导,由上式,知f(x)在[0,)上二阶导数存在,所以
1
f(x)(11)f(x)0,
x1
这是f(x)满足的一个一阶线性齐次方程,解得
由于f(0)f(0)1,所以C1,故
专业.专注
.word格式,
f(x)
x1
当x0时,因为f(x)0,所以f(x)f(0)1。
又x0时,x1
xx
f(x)exeexxe0,所以f(x)exf(0)e00。
x1x1
故
exf(x)1(x0)。
注:
证明不等式时,只需要知道导数的符号及函数在某点上的值,并不要求一定知道函
数的表达式。
3338.设p(x),q(x)为连续函数,证明方程yp(x)yq(x)的所有积分曲线上横坐标相同
的点的切线交于一点。
证:
记yy1(x)为方程yp(x)yq(x)的一条积分曲线,则方程yp(x)yq(x)的
任一条积分曲线可记为yCy1(x)。
曲线yy1(x)在点(x0,y1(x0))的切线方程为
yy1(x0)y1(x0)(xx0),
曲线yCy1(x)在点(x0,Cy1(x0))的切线方程为
yCy1(x0)Cy1(x0)(xx0)。
求解方程组
yy1(x0)y1(x0)(xx0)
,yCy1(x0)Cy1(x0)(xx0)
得
y1(x0)
0y1(x0)
所以,任一条积分曲线yCy1(x)与积分曲线yy1(x)在横坐标为x0的点处的切线
相交于与C无关的点(x0y1(x0),0),即方程yp(x)yq(x)的所有积分曲线上横坐y1(x0)
标相同的点的切线交于一点。
专业.专注
.word格式,
3339.设p(x)在[0,)上连续非负,证明微分方程yp(x)y0的任意非零解满足limy(x)0的充要条件是广义积分p(x)dx发散。
x0
证:
设y(x)是方程yp(x)y0的任一解,则
y(x)C
0xp(t)dt
0e
其中C0是非零常数。
所以
x
limp(t)dt,
x0
即limy(x)0的充要条件是广义积分p(x)dx发散。
x0
2359.设a0,函数f(x)在[0,)上连续有界,证明微分方程yayf(x)的解在
[0,)上有界。
证:
因为原方程的通解为
y(x)eax(C0xf(t)eatdt),满足定解条件y(x0)y0的解为
y(x)eax(y00f(t)eatdt)。
记f(x)在[0,)上的界为M,则当x0时,有
y(x)eax(y00f(t)eatdt)
y0Meax0xeatdt
y0
(1eax)
y0
M,
a
即y(x)在[0,)上有界。
专业.专注
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