高数各章综合测试题与答案.docx

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高数各章综合测试题与答案

第十一章

无穷级数测试题

一、

单项选择题

1、若幂级数

an（x

1）n在x

1处收敛，则该幂级数在

x

5

处必然（

）

n1

2

（A）

绝对收敛;

（B）

条件收敛;

（C）

发散;

（D）

收敛性不定.

2、下列级数条件收敛的是

（）.

（

1）nn;

（

1）n1

n

3.

（A）

（B）

;

（C）

（1）n1

（1）

;

（D）

（

1）n1

n12n10

n1

n3

n1

2

n1

n

3、若数项级数

an收敛于S，则级数

an

an1

an

2

（

）

n

1

n1

（A）

S

a1;

（B）

S

a2;

（C）

Sa1

a2;

（D）

S

a2a1.

4、设a为正常数，则级数

sinna

3

）.

n2

（

n1

n

（A）

绝对收敛;

（B）

条件收敛;

（C）

发散;

（D）

收敛性与a有关.

5、设f（x）

x2,0≤x

1

，而S（x）

bnsinnπx,

x

，

n1

其中bn2

1

（n1,2,L），则S（

1）等于（

f（x）sinnπx,

）

0

2

（A）

1;（B）

1;

（C）

1;

（D）

1.

2

4

4

2

二、

填空题

1、设

un

4，则

（1un

1n）

（）

n

1

n1

2

2

2、设

an

x

1

n1的收敛域为

2,4

，则级数

nan

x

1

n的收敛区间为（

）

n

1

n1

3、设f（x）

2,

1

x≤0

为周期的傅里叶级数在

x

1处收敛于（

）

x3,0

，则以2

x≤1

4、设

f（x）

πx

x

2

<

a0

ancosnxbnsinnx,

πx

π的傅里叶级数为

2

n1

则b3

（

）

5、级数

（

1）n2n的和为（

）

n1

2n

1!

三、计算与应用题

1

x

n

1、求级数

1n

n

3;

的收敛域

n

3

2、求

1

的和

n

2

1

n

n1

2

3、将函数

f（x）

ln

1x

2x2

展开为x的幂级数，并求f（n1）0

2

1xn

4、求

n

n

的和函数

n

0

2

n!

5、已知fn（x）满足fn（x）

fn（x）

xn1ex，n为正整数，且

fn

（1）

e，求函数项级数

n

fnx的和函数.

n1

6、设有方程xn

nx

1

0

，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根

x0，并证明当

1

时，级数

xn

收敛.

n1

四、证明题

π

设an

4tannxdx

0

（1）

求

1

anan

2

n1n

（2）

试证：

对任意常数

0

，级数

an收敛

n1n

提示：

1

an

an

2

n

1

，

1

an

an2

1.

n

n

1

n1n

因为an

an2

1,所以an

1

1,

an

1

n1

n1n

n1n

n1n1

第十一章

无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A；2、D；3、B；4、C；5、B.

二、

1、1；2、

4,2

；3、3；4、2π；5、cos1

sin1.

2

3

三、

1、答案：

0,6

.

2、答案：

5

3ln2

8

4

提示：

原式为级数

xn

的和函数在

x

1

n2

1

点的值.

n

1

2

而

xn

1

xn

1

xn

分别求出1

xn

和1xn

的和函数即可.

n2n21

2n2n12n2n1

2n2n12n2n1

3、答案：

f（x）

（

1）n

2n1

xn

1,

x

1,1

n

0

n

1

22

f（n1）0

n!

（1）n

2n1

.

n

1

提示:

f（x）ln1x2x2

ln12xln1x

n2

1xn

x2

x

x

4、答案：

1e2

1,

x

n

0

2nn!

4

2

n2

1xn

n

n

提示：

n

x

1

x

，

n02nn!

n1n1!

2

n1n!

2

而xex

n

1

xn,ex

1xn

n

1

1!

n

0n!

5、答案：

fn

x

exln

1

x,

x

1,1

n

1

提示：

先解一阶线性微分方程，求出特解为

fn（x）

xex

n

fn

x

xex

ex

x，记S（x）

x，则可得S（x）

ln（1

x）

n1

n1n

n1n

n1n

6、提示:

设fn（x）

xn

nx

1,则fn（x）

0,

x0

故fn（x）在0,

内最多有一个正

根.而fn（0）

1

0,

fn

（1）

n

0,

所以有唯一正根

x0.由方程xn

nx

10知,

0

x0

1

x0n

1

故当

1

时，级数

xn

收敛.

n

n

n1

四、提示：

1

anan2

1

，

1

anan2

1.

n

nn

1

n1n

因为an

an2

1,所以an

1

1,

an

1

n1

n1n

n1n

n1n1

第十章曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题

x

aydx

ydy

a等于（

）

1、已知

x

y

2

为某二元函数的全微分，则

（A）

1;

（B）

0;

（C）

1;

（D）

2.

2、设闭曲线c为

x

y

1

?

ydx

xdy的值等于（）

的正向，则曲线积分

c

x

y

（A）

0;

（B）

2;

（C）

4;

（D）

6.

3、设

为封闭柱面x2

y2

a20≤z≤3，其向外的单位法向量为

r

，则òxcos

ycos

zcos

ds等于（）

n

cos

cos

cos

（A）9πa2;

（B）

6πa2;;

（C）3πa2;

（D）

0.

4、设曲线c为

x2

y2

z2

a2

，则?

xds等于（

）

x

y

z

0

c

（A）

3a2;

（B）

0;

（C）

a2;（D）

1a2.

3

5、设

为下半球z

a2

x2

y2

的上侧，

是由

和z

0所围成的空间闭区域，则

zdxdy不等于（

）

（A）

dv;

（B）

2π

a

a2

r2rdr;

d

0

0

2π

a

a2

r2rdr;（D）

z

x

ydxdy.

（C）

0

d

0

二、填空题

1、设c是圆周x2

y2

a2

，则?

x

y2

ds

（

）

ur

r

c

r

y

3x

x

4x2

y2

4的逆时针方向运动

2、设质点在力

F

i2y

j的作用下沿椭圆

ur

一周，则

F所做的功等于（

）

3、设

是平面x

y

z6被圆柱面x2

y2

1所截下的部分，则

zds等于（

）

4、设

是球面x2

y2

z2

1的外侧，则

òx2

x

23dydz等于（

）

y2

z2

5、设

2xf（x）

ydx

f（x）dy与路径无关，其中f

（x）连续且f（0）

0，则f（x）

（）

c

1

x2

三、计算与应用题

1、求I

ex

siny

bx

y

dx

eycosyaxdy，其中a,b为正常数，

L为从点

L

A2a,0

沿曲线y

2ax

x2到点O0,0的弧.

2、计算I

y2ds，其中L为圆周

x2

y2

z2

a2

.

L

x

y

z

0

ur

r

r

r

3、在变力F

yzi

zxj

xyk

的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

2

2

2

ur

x

y

z

M

,

1上第一卦挂线的点

，问,

取何值时，力F所做的功W最

a2

b2

c2

大？

并求出W最大值.

4、设S为椭球面x2

y2

z2

1的上半部分，点Px,y,z

S，π为S在点P处的切平

2

2

面，

x,y,z为点O

0,0,0到平面π的距离，求

z

S

ds.

x,y,z

5、求I

xzdydz2zydzdx

3xydxdy，其中

为曲面z

1x2

y2

0

≤x≤1的上

4

侧.

6、设对于半空间

x

0

内任意光滑有向闭曲面

S，都有，

òxf（x）dydz

xyf（x）dzdx

e2xzdxdy

0，其中函数

f（x）在0,

内具有连续的

S

一阶导数，且lim

f（x）

1，求f（x）.

x

0

ex

x

1

答案：

f（x）

e

x

提示：

由题设和高斯公式得

0

òxf（x）dydzxyf（x）dzdx

e2xzdxdy

óxf（x）f（x）xf（x）e2xdv

S

由S的任意性，知

xf（x）

f（x）

xf（x）e2x

0，解此微分方程即可.

四、

证明题

已知平面区域D

x,y0≤x≤π,0≤x≤π，L为D的正向边界，试证：

siny

dyye

sinx

dx

xe

siny

sinx

dx

（1）

xe

dyye

；

蜒

L

L

（2）

5

2

siny

dyye

sinx

dx

2

π≤

?

xe

L

第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示

一、

1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.

二、

1、

3；2、

；3、63π；4、4

；5、

1

.

πa

4π

3

π

1

x2

三、

1、答案：

I

π2a2b

πa3.

2

2

提示：

添加从O

0,0沿y

0到点A

2a,0的有向直线段

L1，然后用格林公式.

2、答案：

I

2πa3.

3

2

2

2

1

3

提示：

利用变量“对等性”

I

Ly

ds

Lx

ds

Lz

ds

3?

L

ads.

3、答案：

a

b,

c

3

3

3

Wmax

3abc.

9

提示：

直线段OM:

x

t,y

t,z

t，t从0变到1，功W为

W

yzdx

zxdy

1

t2dt

xydz

3

OM

0

再求W

在条件x2

y2

z2

1下的最大值即可.