高中必修1第一章集合复习讲义+例题+练习.docx
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高中必修1第一章集合复习讲义+例题+练习
集合
章节复习
1.集合元素的三个特性:
确定性,互异性,无序性.
2.元素与集合有且只有两种关系:
∈,∉.(属于、不属于)
3.集合表示方法有列举法,描述法,韦恩图法,常用数集字母代号.
4.集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A⊆B
x∈A⇒x∈B
真子集
AB
A⊆B且存在x0∈B但x0∉A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
∁UA(A⊆U)
{x|x∈U且x∉A}
5.常用结论
(1)∅⊆A.
(2)A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=A⇔A⊇B.
(3)A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=A⇔A⊆B.
(4)A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;
∁U(∁UA)=A.
1.若A=
,则x<0.( √ )
2.任何集合至少有两个子集.( × )
3.若
有且只有一个元素,则必有Δ=12-4a=0.( × )
4.设A,B为全集的子集,则A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.( √ )
类型一 集合的概念及表示法
例1 下列表示同一集合的是( )
A.M={(2,1),(3,2)},N={(1,2)}
B.M={2,1},N={1,2}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈N}
D.M={(x,y)|y=x2-1,x∈R},N={y|y=x2-1,x∈R}
答案 B
解析 A选项中M,N两集合的元素个数不同,故不可能相同;
B选项中M,N均为含有1,2两个元素的集合,由集合中元素的无序性可得M=N;
C选项中M,N均为数集,显然有NM;
D选项中M为点集,即抛物线y=x2-1上所有点的集合,而N为数集,即抛物线y=x2-1的值域,故选B.
反思与感悟 要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点集等.
跟踪训练1 设集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|2x-3y+4=0},则A∩B=________.
答案 {(4,4)}
解析 由
得
∴A∩B={(4,4)}.
类型二 集合间的基本关系
例2 若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,求由a的可能取值组成的集合.
解 由题意得,P={-3,2}.
当a=0时,S=∅,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=-
,
为满足S⊆P,可使-
=-3或-
=2,
即a=
或a=-
.
故所求集合为
.
反思与感悟
(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.
(2)对于两集合A,B,当A⊆B时,不要忽略A=∅的情况.
跟踪训练2 下列说法中不正确的是________.(填序号)
①若集合A=∅,则∅⊆A;
②若集合A={x|x2-1=0},B={-1,1},则A=B;
③已知集合A={x|1
答案 ③
解析 ∅是任何集合的子集,故①正确;
∵x2-1=0,∴x=±1,∴A={-1,1},
∴A=B,故②正确;
若A⊆B,则a≥2,故③错误.
类型三 集合的交、并、补运算
命题角度1 用符号语言表示的集合运算
例3 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2 解 把全集R和集合A,B在数轴上表示如下: 由图知,A∪B={x|2 ∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}, ∵∁RA={x|x<3或x≥7}. ∴(∁RA)∩B={x|2 反思与感悟 求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴求解,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否. 跟踪训练3 已知集合U={x|0≤x≤6,x∈Z},A={1,3,6},B={1,4,5},则A∩(∁UB)等于( ) A.{1}B.{3,6} C.{4,5}D.{1,3,4,5,6} 答案 B 解析 ∵U={0,1,2,3,4,5,6},B={1,4,5}, ∴∁UB={0,2,3,6}, 又∵A={1,3,6},∴A∩(∁UB)={3,6},故选B. 命题角度2 用图形语言表示的集合运算 例4 设全集U=R,A={x|0 答案 {x|1≤x<2} 解析 图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB),因为∁UB={x|x≥1},画出数轴,如图所示,所以A∩(∁UB)={x|1≤x<2}. 反思与感悟 解决这一类问题一般用数形结合思想,借助于Venn图和数轴,把抽象的数学语言与直观的图形结合起来. 跟踪训练4 学校举办了排球赛,某班45名同学中有12名同学参赛,后来又举办了田径赛,这个班有20名同学参赛,已知两项都参赛的有6名同学,两项比赛中,这个班共有多少名同学没有参加过比赛? 解 设A={x|x为参加排球赛的同学},B={x|x为参加田径赛的同学},则A∩B={x|x为参加两项比赛的同学}.画出Venn图(如图), 则没有参加过比赛的同学有: 45-(12+20-6)=19(名). 答 这个班共有19名同学没有参加过比赛. 类型四 关于集合的新定义题 例5 设A为非空实数集,若对任意的x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,则称A为封闭集. ①集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集; ②集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集; ③若集合A1,A2为封闭集,则A1∪A2为封闭集; ④若A为封闭集,则一定有0∈A. 其中正确结论的序号是________. 答案 ②④ 解析 ①集合A={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4不在集合A中,所以不是封闭集;②设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,故x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,故②正确;③反例是: 集合A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z}为封闭集,但A1∪A2不是封闭集,故③不正确;④若A为封闭集,则取x=y,得x-y=0∈A.故填②④. 反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解,也就是要在准确把握新信息的基础上,利用已有的知识来解决问题. 跟踪训练5 设数集M= ,N= ,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果b-a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 方法一 由已知可得 解得0≤m≤ , ≤n≤1. 取字母m的最小值0,字母n的最大值1, 可得M= ,N= , 所以M∩N= ∩ = , 此时得集合M∩N的“长度”为 - = . 方法二 集合M的“长度”为 ,集合N的“长度”为 . 由于M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 而{x|0≤x≤1}的“长度”为1, 由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是 -1= . 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个 C.6个D.8个 答案 B 2.下列关系中正确的个数为( ) ① ∈R;②0∈N+;③{-5}⊆Z. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ①③正确. 3.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B等于( ) A.{x|-1 C.{x|0 答案 A 解析 由A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3}, 得A∪B={x|-1<x<3}.故选A. 4.设全集I={a,b,c,d,e},集合M={a,b,c},N={b,d,e},那么(∁IM)∩(∁IN)等于( ) A.∅B.{d} C.{b,e}D.{a,c} 答案 A 5.已知集合U=R,集合A= ,B= ,则(∁UA)∩B=________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 . 解析 由图知(∁UA)∩B= . 1.要注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系,二是集合与集合的包含关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时,要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验,忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一. 课时对点练 一、选择题 1.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)·(x-1)=0},则M∩N等于( ) A.{1,4}B.{-1,-4} C.{0}D.∅ 答案 D 解析 因为M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},所以M∩N=∅,故选D. 2.已知集合A={x|x+3>0},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( ) A.A=BB.A∩B=∅ C.A⊆BD.B⊆A 考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 D 解析 A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得: B⊆A. 3.已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,若A∩B={1,3},(∁UA)∩B={5},则集合B等于( ) A.{1,3}B.{3,5} C.{1,5}D.{1,3,5} 答案 D 解析 画出满足题意的Venn图,由图可知B={1,3,5}. 4.设集合M={-1,0,1},N={a,a2},若M∩N=N,则a的值是( ) A.-1B.0C.1D.1或-1 答案 A 解析 由M∩N=N得N⊆M. 当a=0时,与集合中元素的互异性矛盾; 当a=1时,也与集合中元素的互异性矛盾; 当a=-1时,N={-1,1},符合题意. 5.设全集U=R,已知集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UA)∩B≠∅,则a的取值范围为( ) A.a>3B.a≥3 C.a≥7D.a>7 答案 A 解析 因为A={x|x<3或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7},又(∁UA)∩B≠∅,则a>3. 6.定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为( ) 答案 A 解析 如图所示,A-B表示图中阴影部分,故C-(A-B)所含元素属于C,但不属于图中阴影部分,故选A. 二、填空题 7.设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩(∁UB)=________. 答案 {1,4} 解析 ∵∁UB={x|x<2或x>3}, ∴A∩(∁UB)={1,4}. 8.设集合A={1,-1, },B={1,a},A∩B=B,则a=______. 答案 0 解析 ∵A∩B=B,即B⊆A,∴a∈A. 要使 有意义,a≥0. ∴a= ,∴a=0或a=1, 由元素互异,舍去a=1.∴a=0. 9.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N=________. 答案 {(3,-1)} 解析 M,N中的元素是平面上的点,M∩N是集合,并且其中的元素也是点,解方程组 得 ∴M∩N={(3,-1)}. 10.已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,则a的取值范围是________. 答案 解析 ①若A=∅,则A∩B=∅, 此时2a>a+3,即a>3. ②若A≠∅,如图,由A∩B=∅,可得 解得- ≤a≤2. 综上所述,a的取值范围是 . 三、解答题 11.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M. 解 结合图形可得 M= . 12.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若A∪B=A,求实数m的取值范围; (2)当A={x∈Z|-2≤x≤5|}时,求A的非空真子集的个数; (3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围. 考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 解 (1)因为A∪B=A,所以B⊆A, 当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2,符合; 当B≠∅时,根据题意,可得 解得2≤m≤3. 综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}. (2)当x∈Z时,A={x∈Z|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254. (3)当B=∅时,由 (1)知m<2; 当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得 或 解得m>4. 综上可得,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. 13.设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,求实数a的取值范围. 解 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根, 则 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1. 四、探究与拓展 14.已知全集U={2,4,a2-a+1},A={a+4,4},∁UA={7},则a=________. 答案 -2 解析 由题意,得a2-a+1=7,即a2-a-6=0, 解得a=-2或a=3. 当a=3时,A={7,4},不合题意,舍去,故a=-2. 15.对于集合A,B,我们把集合 记作A×B.例如,A= ,B= ,则有: A×B= ,B×A= ,A×A= ,B×B= . 据此,试回答下列问题: (1)已知C= ,D= ,求C×D; (2)已知A×B= ,求集合A,B; (3)若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,试确定A×B中有多少个元素. 考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 解析 (1)C×D= . (2)因为A×B= , 所以A= ,B= . (3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素. 若A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B中应有m×n个元素.于是,若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,则A×B中有12个元素.
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- 高中 必修 第一章 集合 复习 讲义 例题 练习