高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档.docx
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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
1、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上
⇔f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:
若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点⇔{
有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
f1(x0,y0)=0
f2(x0,y0)=0
方程组
二、圆:
1、定义:
点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:
(1)标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
2222
D,-E)半径是
(2)一般方程:
①当D+E-4F>0时,一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(-
22
DE22
2222D+E-4F
。
配方,将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为(x+)+(y+)=
2224
DE
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-,-);
22
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r⇔点M在圆C内,|MC|=r⇔点M
在圆C上,|MC|>r⇔点M在圆C内,其中|MC|=。
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交⇔有两个公共点;直线与圆相切
⇔有一个公共点;直线与圆相离⇔没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
与半径r的大
小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为
1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
定值e的点的轨迹.(0 e的点的轨迹.(e>1) 轨迹条件 点集: ({M||MF1+|MF2|=2a,|F 1F2|<2a= 点集: {M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l 的距离}. 图形 方 程 标准方程 x2+y2= a2b21(a>b>0) x2-y2=1 (a>0,b>0) a2b2 y2=2px 参数方程 ⎨x=acos ⎩y=bsin (参数为离心角) ⎨x=asec ⎩y=btan (参数为离心角) ⎧⎨x=2pt2 ⎩y=2pt(t为参数) 范围 ─a≤x≤a,─b≤y≤b |x|≥a,y∈R x≥0 中心 原点O(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0),(─a,0),(0,b), (0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴; 实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦点 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) F(p,0)2 准线 a2 x=± c 准线垂直于长轴,且在椭圆外. a2 x=± c 准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧. p x=- 2 准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等. 焦距 2c(c=a2-b2) 2c(c=a2+b2) 离心率 e=c(0 a e=c(e>1) a e=1 【备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线: 双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率e=. x2-y2 ⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线. a2 b2=与 x2-y2 x2y2 =-互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 0. a2b2a2b2 x2-y2 =(≠0)的渐近线方程为x2-y2= x±y ⑸共渐近线的双曲线系方程: 2 a2 x2-y2 b20如果双曲线的渐近线为 a2 =0时,它的双曲 ab 线方程可设为 a2 b2=(≠0). 【备注2】抛物线: 2pp2p (1)抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0), 222 p2pp 准线方程x=,开口向左;抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=-,开口向上; 222 2pp 抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下. 22 2p2 (2) 抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF=x0+2;抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的 p 距离MF=-x0 2 2pp (3)设抛物线的标准方程为y=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离 22 为p. (4)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB=x+x+p或AB=2p(α为直线AB的倾斜角),yy =-p2,xx=p2,AF=x+p(AF叫做焦半径). 12sin2 12121 42 五、坐标的变换: (1)坐标变换: 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移: 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3) 坐标轴的平移公式: 设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是 (x',y').设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 x=x'+h 或 y=y'+k x'=x-hy'=y-k 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方程 焦点 焦线 对称轴 椭圆 (x-h)2(y-k)2 +=1 a2b2 (±c+h,k) a2 x=±+h c x=hy=k (x-h)2(y-k)2 +=1 b2a2 (h,±c+k) a2 y=±+k c x=hy=k 双曲线 (x-h)2(y-k)2 -=1 a2b2 (±c+h,k) a2 x=±+k c x=hy=k (y-k)2(x-h)2 -=1 a2b2 (h,±c+h) a2 y=±+k c x=hy=k p p (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) 2 x=-+h 2 y=k p p (y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) 2 x=+h 2 y=k 抛物线 p p (x-h)2=2p(y-k) (h,+k) 2 y=-+k 2 x=h p p (x-h)2=-2p(y-k) (h,-+k) 2 y=+k 2 x=h 六、椭圆的常用结论: 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P(x,y)在椭圆x2+y2=1上,则过P的椭圆的切线方程是x0x0 yy =1. 000a2b20 x2y2 a2b2 6.若P0(x0,y0)在椭圆a2+b2 x0x+y0y=1. a2b2 x2y2 =1外,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 7.椭圆+ a2b2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=,则椭圆的焦点角形的面积 2 为S∆FPF=btan. 122 x2y2 8.椭圆a2b2=1(a>b>0)的焦半径公式|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)M(x0,y0)). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M、N两点,则MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则 MF⊥NF. x2y2 b2b2x 11.AB是椭圆+=1的不平行于对称轴的弦,M(x y0)为AB的中点,则k⋅k =-,即KAB=-20。 a2b2 0OMAB2ay 0 P(x,y) x2+y2=1 x0x0 y0y 0x2y2 000 【推论】: a2b2a2b2a2b2 1、若P(x,y)在椭圆x2+y2 =1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 x2+y2 0xx0yy 000a2b2a2b2a2b2 =- 2 xy2 +1(a>b>o)的两个顶点为A( a2b2 xy 22 程是-=1. a2b2 x2y2 2、过椭圆 a2b2 b2x 1a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方 =1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向 且kBC =0(常数). a2y0 22 3、若P为椭圆a2+b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=,∠PF2F1=,则 a-c=tan a+c 2cot2. x2y2 4、设椭圆 2+=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记 a ∠FPF= b2 ∠PFF =∠FFP= sin =c=e. 12,12 x2+y2=1 12 ,则有 sin+sina 5、若椭圆 a2b2 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤ -1时,可在椭圆上求一点P,使 得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y2 6、P为椭圆 2+=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则 ab2 2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立. (x-x)2(y-y)2 7、椭圆0+0=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥(Ax+By+C)2. a2b200 x2y2 8、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP⊥ OQ. (1) 11114a2b222 +=+ 22ab |OP|2|OQ|2a2b2; (2)|OP|+|OQ|的最大值为a2+b2;(3)S∆OPQ的最小值是a2+b2. x2y2 9、过椭圆 2+=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 a |PF|=e. |MN|2 b2 x2y2 10、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则 -a2-b2< ax0 . a x2y2 11、设P点是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=,则 (1) |PF ||PF 2b2 |=. (2)S∆PFF=b2 tan. 121+cos122 x2+y2= ∠= 12、设A、B是椭圆 a2 1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, b2 PAB, ∠PBA=,∠BPA=,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1)|PA|= 2a2b2 2ab2|cos| a2-c2cos2 . (2) tantan=1-e2.(3)S= cot. x2y2 ∆PABb2-a2 13、已知椭圆 2+=1(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点 ab2 C在右准线l上,且BC⊥x轴,则直线AC经过线段EF的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注: 在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论: 1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切: P在右支;外切: P在左支) 5、若P(x,y)在双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)上,则过P的双曲线的切线方程是x0x0yy =1. 000a2b20a2b2 x2y2 6、若P0(x0,y0)在双曲线a2-b2 x0xy0y =1(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线 方程是 -=1. a2b2 x2y2 7、双曲线a2-b2=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=,则双曲线的焦点角 2 形的面积为S∆FPF=bcot. 122 x2y2 8、双曲线a2-b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式: (F1(-c,0),F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时, |MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|=-ex0+a,|MF2|=-ex0-a。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点 N,则MF⊥NF. x2y2 b2x 11、AB是双曲线-=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x y0)为AB的中点,则KOM⋅KAB= 20,即 a2b2 b2x 0ay 0 KAB =a2y0。 0 P(x,y) x2-y2=1 x0x0 y0y0 x2y2 000a2b2 13、若P(x,y)在双曲线x2-y2 =1(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 a2 x2-y2 b2a2b2 xxyy =0-0. 000 【推论】: x2y2 a2b2a2b2a2b2 1、双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2 x2y2 交点的轨迹方程是 a2+b2=1. x2y2 2、过双曲线 a2b2 b2x =1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有 定向且kBC =-0(常数). a2y0 x2y2 3、若P为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=, (或 ∠PFF=,则c-a=tan c-a=tan cotcot). 21c+a 22c+a22 x2y2 4、设双曲线 2-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记 a ∠FPF= b2 ∠PFF =∠FFP= sin =c=e. 12, 12,12 ,则有 ±(sin-sin)a x2y2=1 5、若双曲线 a2-b2 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤ +1时,可在双曲线上求一 点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y2 6、P为双曲线a2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|, 当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立. x2y222222 7、双曲线 a2 -ÿ1 Bb≤C. - (a>0,b> C=0 0A)x与+直B线y+ 有公共点的充要条件是Aab2 x2 8、已知双曲线 y2=1(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP⊥ a2-b2OQ. a2b2 11114a2b2
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