数学建模中的回归分析法毕业论文.docx

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数学建模中的回归分析法毕业论文

光舉大摩

本科毕业论文

题目名称：

数学建模中的回归分析法

学院:

数学与统计学院

专业年级：

数学与应用数学2009级

（精算与风险管理）

学生姓名：

李雨函

班级学号：

200911030139

指导教师：

王艺霏

二O一三年五月二十四日

摘我们要

现实生活中，由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，人们

常搜集大量的数据，基于数据的统计分析建立合乎机理规律的数学模型，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题•回归分析法是数学模型中常用解决问题的有效方法•它是研究某个变量关于另一些变量的具体依赖关系的计算方法.

主要内容是从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度•本文介绍线性回归模型和非线性回归模型的概念、基本原理和应用步骤，并最后通过实

例分析介绍从数据出发建立、检验回归模型的步骤和模型结果中具体每个符号的实际意义•结果表明，在实际生活各个领域,回归分析是很好的预测分析方法•

关键字：

回归分析；线性回归模型；非线性回归模型

Abstract

Inreallife,thecomplexityoftheinternallawofthingsandawarenessofthelimits,peoplecollectedalargeamountofdataandbasedonthestatisticalanalysisofdatatosetupmechanismmodel,andthenthroughthecalculatedmodelresultstoexplainthepracticalproblems.Regressionanalysisiscommonlyusedinmathematicalmodelistheeffectivemethodtosolvetheproblem.Itisthestudyofonevariableonothervariablesdependonthespecificcalculationmethod.Themaincontentfromasetofsampledata,determinethemathematicalrelationshipbetweenthevariablesoftherelationbetweenthecredibledegreeofvariousstatisticaltests,andfromtheinfluenceofaparticularvariablevariablestofindouttheinfluenceofwhichvariablessignificantly,whichwasnotsignificant.Theuseofpetitions,accordingtothevalueofoneorseveralvariablestopredictorcontroltheotherofaparticularvariablevalues,andgivetheaccuratepredictorcontrol.Thispaperintroducestheconceptofthelinearregressionmodelandnonlinearregressionmodel,basicprincipleandapplicationsteps,andfinallythroughtheinstanceanalysisisintroducedfromdatasetup,testingprocedureandmodeloftheregressionmodelresultsinthepracticalsignificanceofthespecificeachsymbol.Theresultsshowthattheregressionanalysisisagoodwaytoforecastanalysis.

Keyword:

RegressionAnalysis;LinearRegressionModel;NonlinearRegressionModel

中文摘要I

英文摘要n

目录m

1■引言•

2.回归模型的建立2

2.1回归分析模型一般形式3

2.2多元线形回归的模型3

2.2.1多元线形回归的模型3

2.2.2多元线形回归的假设3

2.2.3多元线形回归的求解3

2.2.4多元线形回归的检验4

2.3曲线回归模型5

2.3.1可化成线形回归的曲线回归5

2.3.2不可转化的非线性回归模型6

3.回归分析模型的实际应用6

致谢•I

参考文献彳2

1.引言

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研

究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符

号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验⑴

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校,20多年来,数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在I培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质II.近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域.

在数学建模中常用的方法有很多种，本文主要介绍最常用的有效方法一一回归分析法•回归分析方法是统计分析的重要组成部分，回归分析的主要内容，一是从一组数据出发，确定这些变量间的回归模型；二是对模型的可信度进行统计检验；三是从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）;四是应用结果是对实际问题作出的判断•根据回归模型中回归的特征，常见的回归模型有：

一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型•

近年来国内外学者应用回归分析法解决了实际中一系列问题•周新宇，孙凡

雷在《因素回归分析法在不良债权价值分析中的应用》中对小金额债权采用相关

因素回归分析法进行价值分析可以较好地解决金额小且户数众多的资产价值分析.马瑞民，姚立飞在《回归分析在数学建模中的应用--基于上海世博会参观人数的预测分析模型》中对参加世博会参观人数进行预测，与实际相差很小•澳大利亚学者SalinaHishama,CheRozidMamat等人在《马来西亚华人脚部身高测量人体形态学的回归分析》中给出利用人脚的尺寸预测身高的回归模型⑵.

为了更好的指导回归分析在实际中的应用，本文主要讨论回归分析法的分

类和各种建模及其应用

2.回归模型的建立

2.1回归分析问题的一般形式

设有p个自变量Xi,X2,…,Xp和1个因变量y,它们之间有下列关系

y=F（Xi,X2,,Xp；c,a2,,ap）；.

其中F是函数形式已知的p元函数,a1,a2^,ap是常数,是函数F中的未知参数，；是表示误差的随机变量，一般可认为；〜N（0,；「2）,匚・0.

对Xi,X2，…，Xp,y进行n次观测，得到观测值

（Xi1,Xi2,,XiP,yi）,i=人2,,

对每一次观测来说，同样有下列关系

yi=F（Xii,Xi2,,Xim；ai,a2,,ap）'；i,

其中和（i=1,2，…，n）是第i次观测时的随机误差.

回归分析目标是从观测数据出发，求出印心2,…，ap的估计玄逐,…，^,

使得下列平方和Q达到最小.

n

2

Q八[Yi—F（Xi1,Xi2,,Xim；a1,a2,,ap）]

i=1

由于估计的目标是使一个平方和达到最小，而平方又称为-二乘II，所以，这

种估计称为最小二乘估计（LSE）,求这种估计的方法称为最小二乘法⑻.

把召1,召2,…，召卩代入Q表达式，就得到q的最小值

Q的最小值称为残差平方和，残差平方和越小，说明回归方程表达变量之间统计相关关系的精确程度越高，也就是回归分析的效果越好.

【】2.2线形回归模型的建立

2.2.1多元线形回归的一般形式

设随机变量y与一般变量x「X2…Xp的线性回归模型为

y=■：

1捲■JX2：

：

；…苗？

pXp•；,

其中，0—,…—是P1个未知参数，飞称为回归常数，飞宀宀,……称为回归系数•参数；称为随机误差；y称为被解释变量（因变量）,xi,X2Xp

是p个可以精确测量并控制的一般变量，称为解释变量（自变量）•P"时，该回

归模型为一元线性回归模型；当P_2时，就称该式为多元线性回归模型

2.2.2多元线性回归模型的基本假设

（1）解释变量Xi,X2，…，Xp是确定性变量，不是随机变量，且要求ran（kX）=p•1：

：

：

n,并要求样本量的个数应大于解释变量的个数.

⑵随机误差项；具有零均值和等方差，即E（；J=0,i=1,2，…,n

（3）对于自变量X1,X2/,Xp的所有值，；的方差二2都相同

⑷误差项；是一个服从正态分布的随机变量，即；~N（0,二2）且相互独立.

2.2.3多元线性回归参数的求解

对X1,X2,,Xp,y进行n次观测,得到一组观测值

（Xi1,Xi2,,Xip,yi）,i=1,2,,n.

即有

yr[Xi「仁p；i,；i〜N（0^2）,i=1,2,,n.

线性回归的目标是：

从自变量和因变量的观测数据出发，求未知参数

岛，E,…，％的估计值凫，弭，…，仅p,使得平方和Q达到最小

Q=為[yi—Co「必1「pmXip）]2.

i4

Q是p,“…」p的函数，所以这是一个多元函数求最小值的问题，我们可

以通过求偏导数、解下列方程组的方法，来确定Q的最小值点

的最小二乘估计•（有时，线性回归问题中可能会不出现常数项。

也可以类似地求解）•

当自变量个数n比较多时,线性回归的具体计算是很烦琐复杂的，且人工计

算工作量很大.我们在解决实际问题时，可以利用这些现成软件如SPSS软件,

十分方便迅速地完成线性回归的计算

2.2.4线性回归方程显著性检验⑷

（1）提出假设

Ho：

：

1=：

2=...=:

p=0线性关系不显著.

H1:

、，：

2,.,：

p至少有一个不等于0.

（2）计算检验统计量F

n2

'yp

心

n『

无（yi-？

2/（n-p-1）

i#

⑶确定显著性水平:

.:

和分子自由度k、分母自由度n-k-1,找出临界值F.

⑷做出决策•若F•F：

.,拒绝Ho

2.3非线性回归

在许多实际问题中变量之间的关系并不都是线性的•通常我们遇到某些现象的因变