全国卷理科数学十年真题分类汇编导数.docx
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全国卷理科数学十年真题分类汇编导数
导数
一.基础题组
x
1.【2010新课标,理3】曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为()
x2
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
【答案】A
2.【2008全国1,理6】若函数的图像与函数的图像关于直线
yf(x1)ylnx1
yxf(x)
对称,则()
2x12x2x1
A.B.C.D.
eee
2x2
e
【答案】B.
2y12x12x
【解析】由ylnx1xe,fx1e,fxe.
3.【2012全国,理21】已知函数f(x)满足f(x)=f′
(1)e
1
x-1
2.
-f(0)x+x
2
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
1
(2)若f(x)≥x
2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2
【解析】
(1)由已知得f′(x)=f′
(1)e
x-1-f(0)+x.
所以f′
(1)=f′
(1)-f(0)+1,即f(0)=1.
又f(0)=f′
(1)e
-1,所以f′
(1)=e.
1
从而f(x)=e
x-x+x2.
2
由于f′(x)=e
x-1+x,
故当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
从而,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
x
(2)由已知条件得e-(a+1)x≥b.①
1b
(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x时,可得e
x-(a+1)x<b,因此①a1
式不成立.
(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.
1
所以f(x)≥x
2+ax+b等价于2
b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②
因此(a+1)b≤(a+1)
2-(a+1)2ln(a+1).
设h(a)=(a+1)
2-(a+1)2ln(a+1),
则h′(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).
11
所以h(a)在(-1,e1)上单调递增,在(e1,+∞)上单调递减,
22
1
故h(a)在a=e1处取得最大值.
2
ee
从而h(a),即(a+1)b≤.
22
11
e
2
2b
当a=e1,时,②式成立,
2
1
故f(x)≥x
2+ax+b.2
e
综合得,(a+1)b的最大值为.
2
4.【2009全国卷Ⅰ,理22】
设函数=x1、x2,且x1∈-1,0],x2∈1,2].
f(x)
3+3bx2+3cx有两个极值点x
(Ⅰ)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)
的区域;
1
(Ⅱ)证明:
-10≤f(x2)≤.
2
满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.
121
(Ⅱ)由题设知f′(x2)=3x2bxc
2+6bx
x22
22
13c
3
于是f(x2)=x2xx
2+3bx2+3cx
2
2=.
2222
由于x2∈1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,故
13
-4+3c≤f(x2)≤c.
22
又由(Ⅰ)知-2≤c≤0,
1
所以-10≤f(x2)≤.
2
5.【2008全国1,理19】(本小题满分12分)
32
fxxaxxaR
()1
已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
f(x)
21
(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数,求的取值范围.
,
33
2
aa32
≤
33
23
(2),且解得:
a
2
aa31
≥
33
a≥
7
4
二.能力题组
1.【2011全国新课标,理9】由曲线yx,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积
为()
1016
A.B.4C.D.6
33
【答案】C
【解析】
2.【2011全国,理8】曲线y=e
-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三
角形的面积为()
112
A.B.C.D.1
323
【答案】:
A
2x
2x1
【解析】:
|
(2)|2,故曲线ye在点(0,2)处的切线方程为
x0x0
ye
1
y2x2y0yx
,易得切线与直线和围成的三角形的面积为。
3
3.【2009全国卷Ⅰ,理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()
A.1B.2C.-1D.-2
【答案】B
x1
4.【2008全国1,理7】设曲线在点处的切线与直线垂直,
y(3,2)axy10
x1
则()
a
11
A.2B.C.D.
22
2
【答案】D.
x1221
【解析】由yyyaa.
1,','|,2,2
2x3
x1x1x12
x1
xbe
5.【2014课标Ⅰ,理21】(12分)设函数f(x)aelnx,曲线yf(x)在点
x
(1,f
(1))处的切线方程为ye(x1)2.
(I)求
a,b;
(II)证明:
f(x)1.
【答案】(I)a1,b2;(II)详见解析.
三.拔高题组
1.【2013课标全国Ⅰ,理21】(本小题满分12分)设函数f(x)=x
2+ax+b,g(x)=ex(cx
+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
【解析】:
(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.
而f′(x)=2x+a,g′(x)=e
x(cx+d+c),
故b=2,d=2,a=4,d+c=4.
从而a=4,b=2,c=2,d=2.
(2)由
(1)知,f(x)=x
2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).
设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke
x(x+1)-x2-4x-2,
则F′(x)=2ke
x(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).
由题设可得F(0)≥0,即k≥1.
令F′(x)=0得x1=-lnk,x2=-2.
①若1≤k<e1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)
2,则-2<x
>0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在-2,+∞)的最小值
为F(x1).
2
而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.
1
故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e
2,则F′(x)=2e2(x+2)(e
x
-2).
-e
从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.
而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e
2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.
从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
综上,k的取值范围是1,e
2].
alnxb
2.【2011全国新课标,理21】已知函数f(x),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))
x1x
处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
lnxk
(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x),求k的取值范围.
x1x
x1
axxb
(ln)f(x)
【解析】
(1).
22
(x1)x
f
(1)1b1
1
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),故即解得
1a1
2f
(1)b
222
a1
b1
22
k(x1)(x1)
(ⅰ)设k≤0.由h(x)知,当x≠1时,h′(x)<0.而h
(1)=0,故当x
2
x
1
∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得
2
1x
1
1
2
x
h(x)0
.
lnxk
从而当x>0,且x≠1时,f(x)()0,
x1x
lnxk
即f(x).
x1x
1
(ⅱ)设0<k<1.由于当x∈(1,)时,(k-1)(x
2+1)+2x>0,故h′(x)>0.而h
(1)1k
11
=0,故当x∈(1,)时,h(x)>0,可得h(x)0,与题设矛盾.
2
1k1x
(ⅲ)设k≥1.此时h′(x)>0,而h
(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得
1
1
2
x
h(x)0
.与题设矛盾.
综合得,k的取值范围为(-∞,0].
2x
()ln(1+)
x2
3.【2011全国,理22】
(1)设函数fxx,证明:
当x>0时,f(x)>0;
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20
91
19
次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明:
p().
2
10e
2x
由
(1)知:
当x>0时,ln(1x),
x2
2
因此.
(1)ln(1x)2
x
11010
192
在上式中,令,则,即.
x19ln>2()>e
999
91
19
所以p().
2
10e
4.【2010新课标,理21】(12分)(理)设函数f(x)=e
x-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
【解析】:
(1)a=0时,f(x)=e
x-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单
调减少,在(0,+∞)上单调增加.
(2)f′(x)=e
x-1-2ax.
由
(1)知e
x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,
故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
从而当1-2a≥0,
1
即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,
2
于是当x≥0时,f(x)≥0.
1
由e
x>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).从而当a>时,
2
x-1+2a(e
f′(x)<e
-x-1)=e-x(e
x-1)(ex-2a),
故当x∈(0,ln2a)时,f′(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.
1
综合得a的取值范围为(-∞,].
2
5.【2008全国1,理22】(本小题满分12分)
设函数f(x)xxlnx.数列an满足0a11,an1f(an).
(Ⅰ)证明:
函数在区间是增函数;
f(x)(0,1)
(Ⅱ)证明:
aa11;
nn
ab
≥1
(Ⅲ)设
(1),整数k.证明:
ab.
ba,
1k1
a1lnb
(ⅱ)假设当xk(kN*)时,aa11成立,即0a1≤akak11
kk
那么当时,由在区间是增函数,0a≤akak1得
nk1f(x)(0,1]
11
f(ak)f(ak)f
(1)an1f(an)ak1f(ak),ak2f(ak1)
.而,则,
1
aank1
aa11kknn
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,aa11恒成立.
nn
6.【2006全国,理21】(本小题满分14分)
1x
ax
已知函数f(x).
e
1x
(Ⅰ)设a0,讨论yf(x)的单调性;
(Ⅱ)若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围。
【解析】:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(,1)(1,).对f(x)求导数得
f(x)
2
ax
(1
2
x)
2
a
e
ax
.
2
2x
2x
(i)当时,fx)e,在和均大于0,所以
a2(f(x)(,0),(0,1)(1,)
2
(1x)
f(x)在(,1),(1,)为增函数.
(ii)当0<a<2时,)>0,在,为增函数.
f(xf(x)(,1)(1,)
a2
a21.(iii)当时,0
a
a2a2
令f(x)0,解得x,x.
1a
2
a
当变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表,
(,
a2
a
)
(
a2a2
,)
aa
a2
(,1)
a
(1,
)
f(x)
+-++
f(x)
↗↘↗↗
a2a2
(1,)f(x)(,)(1
,)
在,,为增函数,
aa
a2a2
f(x)(,)
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x(0,1)1e1
(iii)当时,对任意,恒有且,得
1x
f(x)
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时,对任意恒有
a,2x(0,1)f(x)1.
x
7.【2015高考新课标1,理12】设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的
整数x,使得f(x0)0,则的取值范围是()
0
333333
(A)-,1)(B)-,)(C),)(D),1)
2e2e42e42e
(ii)当0<a<2时,)>0,在,为增函数.
f(xf(x)(,1)(1,)
a2
a21.(iii)当时,0
a
a2a2
令f(x)0,解得x,x.
1a
2
a
当变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表,
(,
a2
a
)
(
a2a2
,)
aa
a2
(,1)
a
(1,
)
f(x)
+-++
f(x)
↗↘↗↗
a2a2
(1,)f(x)(,)(1
,)
在,,为增函数,
aa
a2a2
f(x)(,)
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x(0,1)1e1
(iii)当时,对任意,恒有且,得
1x
f(x)
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时,对任意恒有
a,2x(0,1)f(x)1.
x
7.【2015高考新课标1,理12】设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的
整数x,使得f(x0)0,则的取值范围是()
0
333333
(A)-,1)(B)-,)(C),)(D),1)
2e2e42e42e
(ii)当0<a<2时,)>0,在,为增函数.
f(xf(x)(,1)(1,)
a2
a21.(iii)当时,0
a
a2a2
令f(x)0,解得x,x.
1a
2
a
当变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表,
(,
a2
a
)
(
a2a2
,)
aa
a2
(,1)
a
(1,
)
f(x)
+-++
f(x)
↗↘↗↗
a2a2
(1,)f(x)(,)(1
,)
在,,为增函数,
aa
a2a2
f(x)(,)
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x(0,1)1e1
(iii)当时,对任意,恒有且,得
1x
f(x)
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时,对任意恒有
a,2x(0,1)f(x)1.
x
7.【2015高考新课标1,理12】设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的
整数x,使得f(x0)0,则的取值范围是()
0
333333
(A)-,1)(B)-,)(C),)(D),1)
2e2e42e42e
(ii)当0<a<2时,)>0,在,为增函数.
f(xf(x)(,1)(1,)
a2
a21.(iii)当时,0
a
a2a2
令f(x)0,解得x,x.
1a
2
a
当变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表,
(,
a2
a
)
(
a2a2
,)
aa
a2
(,1)
a
(1,
)
f(x)
+-++
f(x)
↗↘↗↗
a2a2
(1,)f(x)(,)(1
,)
在,,为增函数,
aa
a2a2
f(x)(,)
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x(0,1)1e1
(iii)当时,对任意,恒有且,得
1x
f(x)
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时,对任意恒有
a,2x(0,1)f(x)1.
x
7.【2015高考新课标1,理12】设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的
整数x,使得f(x0)0,则的取值范围是()
0
333333
(A)-,1)(B)-,)(C),)(D),1)
2e2e42e42e
(ii)当0<a<2时,)>0,在,为增函数.
f(xf(x)(,1)(1,)
a2
a21.(iii)当时,0
a
a2a2
令f(x)0,解得x,x.
1a
2
a
当变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表,
(,
a2
a
)
(
a2a2
,)
aa
a2
(,1)
a
(1,
)
f(x)
+-++
f(x)
↗↘↗↗
a2a2
(1,)f(x)(,)(1
,)
在,,为增函数,
aa
a2a2
f(x)(,)
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x(0,1)1e1
(iii)当时,对任意,恒有且,得
1x
f(x)
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
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