离散数学复习题.docx
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离散数学复习题
、单项选择题
(A)若A
(C)若A
B,BC,则AC(B)若A
B,BC,贝UAC(D)若A
B,B
B,B
C,则A
C,则A
C
C
2.设Aa,
a,则下列选项错误的是
【B】
(A)a
P(A)(B)aP(A)(C)
A
P(A)
(D)AP(A)
3.设Aa,
b,c上的关系如下,有传递关系的有
【D】
(A)R1
a,c,c,a,a,b,b,a
(B)R2
a,c,c,a
(C)R3
a,b,c,c,b,a,b,c
(D)R4
a,a,
1.对任意集合
C,下述论断正确的是
A
4.R是A上的自反关系,则
B
5.
K4中含3条边的不同构生成子图有
7.欧拉回路是
8.5阶无向完全图的边数是
(A)a,b
(B)b,c(Qa,d,e(D)a,b,c
10.设A,BP(P(A))则下列选项错误的是
个数为
14.设G(V,E)为无向图,u,vV,若u,v连通,则
(A)d(u,v)0(B)d(u,v)0(C)d(u,v)0(D)d(u,v)0
15.欧拉回路是【B】
(A)路径(B)简单回路
(C)既是基本回路也是简单回路(D)既非基本回路也非简单回路
16.n个结点的无向完全图的边数是【D】:
2
(A)n(n1)(B)n(C)2n(D)n(n1)/2
17.设P:
我将去镇上,Q:
我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间时”符号化为【A】
(A)PQ,(B)QP,(C)QP,(D)QVP
18.下面哪个命题是命题“2是偶数或一3是负数”的否定?
【C】
(A)2是偶数或一3不是负数,(B)2是奇数或一3不是负数,
(C)2不是偶数且一3不是负数,(D)2是奇数且一3是不负数,
19.下面哪个联结词运算不可交换:
【B】
(A)A,(B),(C)V,(D)
20.命题公式(PA(PQ))Q是;【C】
(A)矛盾式,(B)蕴含式,(C)重言式,(D)等值式
21.下列命题联结词集合中,哪个是最小联结词组;【C】
(A),,(B),,(C)(D),
22.下面那一个命题是假命题;【A】
(A)如果2是偶数,那么一个公式的析取范式唯一,
(B)如果2是偶数,那么一个公式的析取范式不唯一,
(C)如果2是奇数,那么一个公式的析取范式唯一,
(D)如果2是奇数,那么一个公式的析取范式不唯一
23.谓词公式x(P(x)yF(y))Q(x)中变元x是;
(D)既是自由变元也是约束变元
24.设A(x):
x是人,B(x):
x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为;【D】
(B)
(A)000,001,110
(C)全体赋值
001,011,101,110,111
(D)无
26.下面语句中哪个是真命题;
(A)我在说谎,(B)严禁吸烟,
(C)如果1+2=3,那么雪是黑的,(D)如果1+2=5,那么雪是黑的
27.设P:
我们划船,Q:
我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为【
(A)PAQ,(B)PVQ,(C)(PQ),(D)PQ
28.下面哪个命题是命题“2是偶数或一3是负数”的否定?
【C】。
(B)2是偶数或一3不是负数,(B)2是奇数或一3不是负数,
(C)2不是偶数且一3不是负数,(D)2是奇数且一3是不负数,
29.下面哪个联结词运算不可交换【C】。
(A)A,(B)V,(C),(D)
30.下面哪个命题公式是重言式【B】。
(A)(PQ)A(QP),(B)(PAQ)P,
(C)(PVQ)A(PAQ),(D)(PVQ)
31.下列命题联结词集合中,哪个不是最小联结词组【C】。
(A),,(B),(C),,(D)
32.命题公式PQAR的对偶式是【D】。
(C)P(QVR),(B)PA(QVR),(C)PV(QAR),(D)PA(QVR)
33.谓词公式x(P(x)yF(y))Q(x)中变元乂是【D】。
(B)
(A)自由变元
约束变元,
(C)既不是自由变元也不是约束变元,(D)既是自由变元也是约束变元
“没有一个运动员不是强壮的”符号化为
34.设C(x):
x是运动员,G(x):
x是强壮的,命题
【C】。
(C)xyA(x,y)
yxB(x,y),(D)xyA(x,y)xyA(x,y)
、填空题
1.若集合A的基数A10,则其藉集的基数p(A)1024。
2.设Ax|100x200,x7n3,nZ,xZ,则|A|15。
3.设N表示非负整数集,,R:
NHN,xRy定义为x+2y=10,则Dom(R)={0,2,4,6,8,10}
Ran(R)={5,4,3,2,1,0}
4.A=2,3,4,5,6,8,10,12,24,R是A上的整除关系,那么A的极大元是10,24,极小元是2,
3,5,。
5.设A=1,2,3上的关系R1,1,1,2,1,3,3,3,则R具备反对称性、传递世,R不具备自反性、反自反性和对称性。
6.设G=(n,m)是简单图,v是G中度数为k的结点,e是G中的一条边,贝UG—e中有旦个结点,m^1条边。
7.3个结点可构成4—个不同构的简单无向图。
8.具有p个顶点的完全图Kp有pp2个生成树,p>2。
9.设G是一个有k个支的图,如果S是G的割集,则G-S恰有k+1个支。
10.设A=1,2,则AA=,A2。
11.集合A,a的藉集P(A),,a,,a。
12.设R是集合1,2,,10上的模7同余关系,则.2r_2,9_。
13.A=2,3,4,5,6,8,10,12,24,R是A上的整除关系,那么A的极大元是10,24,极小元是2,3,5,。
14.整数集上的小于关系“V”具有反自反、反对称和传递性。
15.设G=(n,m)是简单图,v是G中度数为k的结点,e是G中的一条边,则G—v中有n—1个结点,叶k条边。
16.3个结点可构成4个不同构的简单无向图。
17.具有p个顶点的完全图Kp有pP2个生成树,p>2。
18.设S是连通图G=(V,E)的割集,贝UG-S恰有2个支。
19.设P:
我生病,Q:
我去学校看电影
(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为PAQ。
(2)命题"只有在生病的时候,我才不去学校”符号化为P_Q_o
20.设P、Q为两个命题,德摩根律可表示为(PQ)PQ,(或
(PQ)PQ),吸收律可表示为p(PQ)P(或p(PQ)P)。
21.公式(PQ)的主析取范式为PQ,主合取范式的编码表示为M0M1M3。
22.xy(F(xy)G(y,z))xF(x,y)中,x的作用域为y(F(x,y)G(y,z)),y的作用域为(F(x,y)G(y,z)),x的作用域为P(x,y)。
23.谓词公式xF(x)xG(x)的前束范式为xy(F(x)G(y)。
24.设P:
我有钱,Q:
我去看电影
(1)命题"如果我有钱,那么我就去看电影”符号化为PQ。
(2)命题"虽然我有钱,但我不去看电影”符号化为PQ。
25.命题公式P(QS)的成真赋值为010,100,101,110,111,成假赋值为000,001,011。
26.
26.公式(PQ)的主析取范式为PQ,主合取范式的编码表示为MoMiM3。
27.xy(P(x,y)Q(y,z))xRxy)中,x的作用域为y(P(x,y)Q(y,z)),y的作用域为
(Rxy)Q(y,z)),x的作用域为P(x,y)。
28.谓词公式xRx)xC(x)yF(y)的前束范式为xzy(P(x)Q(z)R(y))。
三、计算题
(PVQ)AR))V((QVP)AR)
(PVQ)V(QVP))AR)
(PVQ)V(PVQ))AR)
TAR
故原式为可满足式
解:
合取范式:
pVq
析取范式:
3、给定集合A=0.1,2,3,且A中有关系:
R=(i,j)|i,jA,ji1或ji/2
S=〈i,j)|i,jA,ij2,计算R。
S
4、在120名学生参加考试,这次考试有A,B,C共3道题,考试结果如下:
有12人3道题都做对了,20人做对了A题和B题,16人做对了A题和C题,28人做对了B题和C题,做对了A题的有48人,做对了B题的有56人,还有16人一道题也没做对,求做对了C题的有多少人?
解:
设A,B,C分别为做对A题、B题、C题的人构成的集合,
故由题意有:
A48,B56AB20,AC16,BC28,
AB―C16ABC12016104
根据包含排斥原理可知:
abc||a|\b\|c||ab\|ac||bc\|abc,
C=20+16+28+104—12—48—56=52
故做对C题的有52人。
5、在1000名大学毕业生的调查中,有804人掌握了英语,205人掌握了日语,190人掌握了俄语,125人既掌握了英语又掌握了日语,57人既掌握了日语又掌握了俄语,85人既掌握了英语又掌握了俄语,求这1000名大学生中,英语、日语、俄语全掌握的有多少人。
解:
设A,B,C分别为掌握了英语、日语、俄语的人的集合,
则AUBUC1000,
AIB为既掌握英语又掌握日语的集;AIC为掌握英语和俄语,BIC为掌握日语和
俄语的人的集合,AIBIC为三种都掌握的人的集合,
故由题意得:
A
804,
B
250,C
|190,
AB125,
A
C
85,
B
C57,
AUBUC
1000
A
BC
ABC
a|b
C
AB|A
C
B
C|,
于是
=
=
英语、
=1000—804-250—190
=23
日语、俄语全掌握的只有
+125+85+57
23人。
6、设集合A=a,b,c,d,e上的二元关系为
R=a,a,a,b,a,ca,d,a,e,b,b,b,c,b,e,c,c,c,e,d,d,d,e,e,e
(1)写出R的关系矩阵。
(2)验证(A,R)是偏续集。
(3)画出Hasse图。
7、
(1)设集合A=a,b,c,P(A)是集合A的藉集,画出(P(A),)的Hasse图。
(2)设X=1,2,3,4,R=1,1,3,1,1,33,3,3,2,4,3,4,1,4,2,1,2,写出R的
关系矩阵,画出关系图。
8、已知有向图D=
求:
(1)D的邻接矩阵;
(2)D中*到V4长度为4的通路数为多少?
\J
V2匕匚一…*…一-——MV3
e5
(3)D中长度小于等于4的通路有多少?
其中有多少条是回路?
9、已知图8
求G的可达性矩阵P。
10、用真值表法求命题公式((p(pVq))(qAr))(pVr)的主析取范式和主合取范
式。
四、证明题
1、设A,B,C为任意三个集合,证明An(B\C)=(AnB)(An。
证:
xAI(BC),则xA且xBC
即而xA且xB但x~C,
于是xAIB但x~AIC,即x(AIB)(AIC)。
从而AI(BC)(AIB)(AIC)
反之,x(AIB)(AIC),有xAIB但x~AIC,即xA且xB但
由集合相等的定义得:
AI(BC)(AIB)(AIC)
2、设A,B,C为任意三个集合,证明:
A-(BUC)=(A—B)口(A—C)
s:
前提:
p(qr),
结论:
r
证明:
①ps
2p
3s
4p(qr)
5qr
6sq
7q
⑧r
x(A—B)n(AC)
所以A—(BUC)=(A—B)□(A—C)
3、写出下面推理的形式证明:
如果数a是实数,则它不是有理数就是无理数。
如果a不能
表示成分数,则它不是有理数。
a是实数且它不能表示成分数,所以a是无理数。
解设命题,p:
a是实数,q:
a是有理数,r:
a是无理数,a能表示成分数。
sq,ps
前提引入
1化简
2化简
前提引入
②④假言推理
前提引入
③⑥假言推理
⑤⑦析取三段论
4、写出下面推理的形式证明:
如果今天是星期一,则要进行英语或离散数学考试。
如果今
天英语老师有会,则不考英语。
今天是星期一,英语老师有会。
所以今天进行离散数学考试。
解符号化题目中的命题,设
p:
今天是星期一,q:
进行英语考试,r:
进行离散数学
考试,s:
英语老师有会。
前提:
p(qr),sq,p,s
证明:
①p(qr)
2p
3qr
4sq
5s
6q
⑦r
结论:
r
前提引入
前提引入
①②假言推理
前提引入
前提引入
④⑤假言推理
③⑥析取三段论
5、在自然推理系统P中,用附加前提引入法构造下面的推理证明:
前提:
结论:
fUS),
FHS
RVP,Q
证明:
(1)
RVP
前提引人
(2)R
P
(1)
置换
⑶R
附加前提引人
⑷P
⑵(3)
分离
(5)P
"(QrS)
前提引入
(6)Q
S(4)(5)
|分离
⑺Q
前提引人
(8)S
⑹⑺
分离
⑼R
rS
条件证明规则
6、在自然推理系统
P中,构造卜面的推理证明:
前提:
PVQ,fR,
CHS,
结论:
SVR
证明:
⑴P
VQ
前提引入
⑵
fQ
(1)
置换
⑶Q
rS
前提引入
(4)
rS
⑵(3)
三段论
(5)
SrP
(4)
置换
⑹P
rR
前提引入
⑺
SR
(5)(6)
三段论
(8)S
VR
(7)
置换
7、书上114页定理7.9及证明过程。
8、设无向图G中只有两个奇度顶点u与v,试证明u与v必连通。
证明:
用反证法。
假设u与v不连通,即u与v之间无通路,则u与v处于G的不同连通分支中。
不妨设u在G1,v在G2中。
于是,G1与G2作为G的子图,他们中均只含有一个奇度顶点,这与握手定理的推论矛盾。
9、设n阶无向简单图G有m条边,已知伦1(n-1)(n-2)+1,证明G必连通。
2
证明:
(1)任何n阶简单图的边数m均小于等于完全图Kn的边数1n(n-1)。
2
(2)若G中无孤立点,则a(G)>1。
用归纳法。
①n=1时,G为平凡图,显然G连通。
②
n=2时,m>l(n-1)(n-2)+1=1,此时G为K2,当然连通。
③设n=k(k>2),
2
伦1(k-1)(k-2)+1时结论成立,要证明当n=k+1,m>1k(k-1)+1时结论也成立。
22
(i)若G为K+1,G当然连通。
(ii)若G中含孤立点,一定推出矛盾。
删去G中的孤立点,记作G1。
贝UG1的边数
1k(k-1)+1,这与G1为阶数小于等于k的简单图矛盾,故G中不可能含孤立点。
2
(iii)由(i)、(ii)可知,只需对G不为完全图、又不含孤立点的情况加以证明。
G中存在
v0,使1
222
由归纳假设可知,G'是连通图,而G'为G的子图,故G也连通。
10、设G为n阶无向简单图,证明以下题目:
(1)当a(G)>兰时,证明G连通。
2
证明
(1)用反证法。
假设G至少有两个连通分支,设G1,G2为其中的两个,并设G1,G2的
阶数分别为n1和n2,则n1+n2vn,且min{n1,n2}<£。
于是,对任意的v€V(G1),
2
dG1(V)=dG(V)<£-1
222
(2)当a(G)>l(n+k-1)时,证明G是k-连通图。
2
证明:
设V'为V(G)的任意子集,且|V'|=k-1。
令G'=G-V',贝UG'为n-(k-1)=n-k+1=n'阶无
向简单图,而a(G')>a(G)-(k-1)
>1(n+k-1)-(k-1)
2
1(n+k-1-2k+2)
21(n-k+1)
2
In'2
由当a(G)>n时,G连通可知,G'连通,故G'为k-连通图。
2
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