截长补短构造全等.docx
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截长补短构造全等
板块一、
【例1】
全等三角形常见辅助线作法
截长补短
已知MBC中,=60',BD、CE分别平分NABC和.NACB,BD、CE交于点0,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.
ZBAG=NDAMBAE=ZEAG,AG是NEAF的平分线
2
过G引GH丄AE于H.因为AG是/EAF的平分线,所以GB=GH,从而RtAGBF也RtAGHE(HL),所以/F=/HEG,贝UAF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形),即AE=BC+CE.
说明我们也可以按分析
(2)的方法来证明结论,为此可先作/BAE的平分线AG交边BC于G,再作GH丄AE于H,通过证明△ABG◎△AHG知AB=AH=BC.下面设法证明HE=CE即可,请同学们自证.
【例4】
(“希望杯”竞赛试题)如图,AD丄AB,CB丄AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,/AMD=75°,/BMC=45°,则AB的长为(
【解析】
E.
C
B
过点D作BC的垂线,垂足为
•//AMD=75°,/BMC=45
•/DM=CM
•/AD丄AB,DE丄BC,CB丄AB,
•••/ADM=/EDC
•••△ADMNCDE
•••AD=DE
•••/DMC=60
•••CD=DM
/AMD=75°
【例5】
故ABED为正方形,AB=AD=h,选D.
已知:
如图,ABCD是正方形,ZFAD=/FAE.求证:
BE+DF=AE.
F
C
【解析】
【例6】
延长CB至M,使得BM=DF,连接AM.
•/AB=AD,AD丄CD,AB丄BM,BM=DF
•••△ABMNADF
•••/AFD=/AMB,/DAF=/BAM
•/AB//CD
•••/AFD=/BAF=/EAF+ZBAE=/BAE+ZBAM=/EAM•••/AMB=ZEAM
•••AE=EM=BE+BM=BE+DF.
以MBC的AB、AC为边向三角形外作等边
MBD、
MCE,连结CD、BE相交于点O.求证:
OA
【解析】
【例7】
E
平分乂doe-
E
因为MBD、MCE是等边三角形,所以
则ZBAE=NDAC,所以iBAE也山DAC
贝y有ZAB^ZADC,NAEB=^ACD,
在DC上截取DF=BO,连结AF,容易证得MDF也从BO,AACF也AAEO.进而由AF=AO.得NAFO=NAOF;
由ZAOE=ZAFO可得NAOF=NAOE,即OA平分NDOE.
如图所示,心ABC是边长为1的正三角形,心BDC是顶角为120。
的等腰三角形,以D为顶点作一个
60。
的NMDN,点M、N分别在AB、AC上,求MMN的周长.
AB=AD,
BE=DC.
AE=AC,乂CAE=NBAD=6tf,
【解析】
C
C
E
如图所示,延长AC到E使CE=BM.
在阳DM与MDE中,因为BD=CD,所以俎DM也如DE,故MD=ED.
因为ZBDC=120,乙MDN=60,所以NBDM+zTNDC又因为NBDM=NCDE,所以NMDN=NEDN=60:
1
NMBD=NECD
=90,
=60:
l
BM=CE,
在dMND与iEND中,DN=DN,ZMDN=^EDN=60?
DM=DE,所以如NDEND,贝yNE=MN,所以MMN的周长为2.
【例8】
如图所示,MBC是边长为1的正三角形,心BDC是顶角为120。
的等腰三角形,以D为顶点作一个60狛勺/MDN,点M、N分别在AB、AC上,求MMN的周长.
【解析】
如图所示,过D作DE交BC于E,使得BE=BM;过D作DF交BC于F,使得CF=CN.
因为ZBDC=120°,如DC为等腰三角形,所以ZDBC=30,又因为MBC为正三角形,所以NABC=60°.
注意到NDBC=NMBD,BM=BE,BD=BD,所以力BE也2BM,可知AM=CE.
=BF.
NMDB=NEDB,ZNDC=NFDC.
=120,
同理,曲CF也ADCN,AN则有DE=DM,DF=DN,又因为NMDN=60,NBDC则ZMDB+NNDC=180:
l
而NEDC=120°-NEDB=120*-NMDB,/BDF=120°-NFDC=120^-NNDC,故ZEDC+NBDF=240。
—NMDB-NNDC=60。
,因此NFDE=60。
则即DE也ANDM,MN=EF,进而可知MMN的周长为1.
另解:
如图所示,在AB上取一点E,使得BE=AN.在^AN和也DBE中,DA=DB,AN=BE,ndan=ndbe,因此Adan也adbe,从而dn=de.
在^MN和3ME中,DN=DE,MD=MD,厶MDN=60,
=180'
ZMDE=180、-(NDEM+NDME)=180T(NEBD+ZEDB)+(ZMAD+NMDA)]=仙-[(30°+ZEDB)+(30。
+NMDA卩=120:
'-NEDB-/MDA
=120—EDB-冏-NNDA)=120LnEDB-(60—EDB)=60\因此QMN也2ME,从而MN=ME,进而可知MMN的周长为1.
【例9】
五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180°求证:
AD平分/CDE
E
如图所示,延长AB至E使BE=BD,连接ED、EC.
由AC=AB+BD知AE=AC,
而NBAC=60:
|,贝UAAEC为等边三角形.
注意到NEAD=NCAD,AD=AD,AE=AC,
故MED也MCD.
从而有DE=DC,NDEC=NDCE,
故NBED=NBDE=NDCE+NDEC=NDEC.
所以NDEC=NDCE=20^,NABC=NBEC+NBCE=60:
'+20’;=80“.
【另解】在AC上取点E,使得AE=AB,则由题意可知CE=BD.
在MBD和从ED中,AB=AE,ZBAD=NEAD,AD=AD,贝yMBD也AAED,从而BD=DE,进而有DE=CE,NECD=NEDC,
ZAED=ZECD+NEDC=3ECD.
注意至UZABD=NAED,则:
13"P
ZABC+NACB=NABC+—NABC=—^ABC=180'—NBAC=120’,
22
故ZABC=80°.
【例11】在等腰MBC中,
A
AB=AC,顶角NA=20。
,在边AB上取点D,使AD=BC,求NBDC.
BC
【解析】以AC为边向
E
MBC外作正MCE,连接DE.
在MBC和生AD中,AD=BC,AB=EA,£EAD=NBAC+NCAE=20*+60;=80"=ZABC,贝yMBCSEAD.
由此可得ED=EA=EC,所以圧DC是等腰三角形.
由于NAED=NBAC=20:
',
则NCED=NAEC—NAED=60“-20=40,
从而ZDCE=70,厶DCA=NDCE—ZACE=70°-60=10:
',贝UNBDC=ZDAC+NDCA=2^+10=30.
【另解1】以AD为边在MBC外作等边三角形心ADE,连接EC.
在MCB和ACAE中,因此MCB也人CAE,从而ZCAB=NACE,在^AD和^ED中,故ACADSCED,从而NACD=ZECD,
NCAE=60+20=NACB,AE=AD=CB,AC=CA,
CE=AB=AC.
AD=ED,CE=CA,CD=CD,
NCAB=NACE=2ZACD,
故ZACD=10:
因此乂BDC=30'.
A
"A
A
C
【另解2】如图所示,以BC为边向MBC内部作等边心BCN,连接NA、ND.
在山DA和MNC中,CN=BC=AD,ZCAD=20’,
ZACN=NACB-NBCN=80:
'-60=20',
故NCA^ZACN,
而AC=CA,进而有MDA也AANC.
贝UZACD=NCAN=10?
故NBDC=NDAC+NDCA=30'.
【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形,然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.
【例12】如图所示,在MBC中,AC=BC,NC=200,又M在AC上,N在BC上,且满足NBAN=50°,
ZABM=60。
,求NNMB.
C
B
【解析】过M作AB的平行线交BC于K,连接KA交MB于P.连接PN,易知MPB、饷KP均为正三角形.
因为ZBAN=50°,AC=BC,NC=20°,
所以NANB=50°,BN=AB=BP,ZBPN=NBNP=80°,则ZPKN=40°,ZKPN=180°-60°-80°=40°,故PN=KN.
从而dMPN也凶MKN.
进而有NPMN=NKMN,厶NMB=-NKMP=30°.2
【另解】如图所示,在AC上取点D,使得/ABD=20°,
由NC=200、AC=BC可知NBAC=80°.而ZABD=20。
,故NADB=80。
BA=BD.在MBN中,Nban=50:
NABN=80。
故NANB=50。
,从而BA=BN,进而可得BN=BD.
而NDBN=NABC-NABD=80°-20°=60O,所以妃DN为等边三角形.
在MBM中,ZAMB=180°-NABM-NBAM=180°—80°—60°=40°,ZDBM=NADB-ZAMB=80。
-40。
=40。
故NDMB=NDBM,从而dm=DB.
从而ZNMB=—NNDB=30:
2
【例13】在四边形ABCD中,已知
我们已经得到dm=DN=DB,故D是ABMN的外心,
AB=AC,NABD=60,乙ADB=76,厶BDC=28,求NDBC的度数.
E
【解析】如图所示,延长BD至E,使DE=DC,由已知可得:
ZADE=180°—NADB=180°—76°=104lZADC=NADB+/BDC=76°+28°=104:
故NADE=NADC.
又因为AD=AD,DE=DC,
故MDE也MDC,
因此AE=AC,ZE=NACD,乙EAD=NCAD.又因为AB=AC,
故AE=AB,NABC=ZACB.
一,*
而已知NABD=60,所以AABE为等边三角形.
于是ZACD=NE=NEAB=60°,
故Ncad=180°—NADC—NACD=16°,
则NCAB=NEAB—NCAD—NEAD=28°,
从而ZABC=-(180O-NCAB)=76。
所以ZDBC=ZABC-NABD=16o.
故ZBED=NBCD=30:
1
【例16】(北京市数学竞赛试题)如图所示,在MBC中,乂BAC=nBCA=44[M为MBC内一点,使得NMCA=30:
NMAC=16:
求NBMC的度数.
【解析】
在MBC中,由NBAC=NBCA=44°可得AB=AC,厶ABC=92°.如图所示,作BD丄AC于D点,延长CM交BD于O点,连接OA,贝y有乂OAC=NMCA=30:
NBAO=NBAC-NOAC=44°_30°=14:
NOAM=NOAC—NMAC=30°—16°=14:
所以NBAO=NMAO.
又因为ZAOD=90_NOAD=90_30=60=NCOD,
所以NAOM=120*=NAOB.NBOM=120*
而AO=AO,因此MBO也UMO,
故OB=OM.
由于乂BOM=120:
【解析】
如图所示,延长BD交AC于EyNAEB=80=NBAE,AB=BE.在BC上截取BF=BA,连接FA,则MBF为等边三角形.
AAFG也他AE.
BE=BF,乙EBF=40:
易得NFEG=30°=NADE.餌EG也从DE,
在AC上截取AG=AB,连接GB、GD、GF,
由边角边公理知
在细EF中,因
贝MBEF=70:
由角边角公理知
于是EG=DE.
注意到NEBC=40'=NECB,
故EC=EB.
又由边角边公理知生DC也AEGB,
从而丄ECD=NEBG.
在MBG中,因AB=AG,厶BAG=80
则NABG=50:
从而ZEBG=30:
故NACD=30°
【习题1】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,/BDC=120
A
【解析】(旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明)
延长NC至E,使得CE=MB
•••△BDC是等腰三角形,且/BDC=120°
•••/DBC=/DCB=30°
•••△ABC是等边三角形.
•••/ABC=/ACB=/BAC=60°
•••/MBD=/ABC+/DBC=/ACB+ZDCB
=/DCN=/DCE=90°
在RtADBM和RtADCE中,BD=DC,MB=CE,
RtADMB也RtADCE.
•••DE=DM,/仁/2.
又•/1+/NDC=60°
•••/2+/NDC=/END=60°.
在^MDN与^EDN中,
ND=ND,/MDN=/EDN=60°,DE=DM
•••△MNDNEND
•••MN=EN=NC+MB
【习题2】在MBC内取一点M,使得NMBA=30,厶MAB=10,设NACB=80,,AC=BC,求NAMC.
【解析】如图所示,MBC的高CH与直线BM交于点E,则AE=BE•
而ZEAM=NEAB-NMAB=30:
'-10=20',
NEAC=NCAH—NEAB=(90?
-40*^30=20,
=ZMAB+NMBA=10+30=40';,
NAME
由两角夹一边法则可知MME也从CE,因此AM=AC,
/AMC=NACM=—(180,-NCAM)=70;
2
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