完整三角函数型应用题高一docx.docx
- 文档编号:25308212
- 上传时间:2023-06-07
- 格式:DOCX
- 页数:41
- 大小:109.70KB
完整三角函数型应用题高一docx.docx
《完整三角函数型应用题高一docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整三角函数型应用题高一docx.docx(41页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整三角函数型应用题高一docx
三角函数型应用题(高一)
1.如图:
某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道
(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的
接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB20米,AD103米,
记BHE.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;
(2)若
sincos2,求此时管道的长度L;(3)问:
当取何值时,污水净化效果最好?
并求出此时管道的长度.
1
EH
10
10
FH
sin
解:
(1)
cos,
EF
10
AF
10
sincos
由于BE
10tan103
103
,
tan
3
tan
3
[
]L
10
10
10
[
]
3
sin
sin
cos,
,
6
3
cos
6
3.
sin
cos
1
L20(2
1);
(2)sin
cos
2
2时,
L
10
10
10
10(sin
cos
1)
(3)
cos
sin
sin
cos
=
sin
cos
sin
cos
t2
1
[
]
设sin
cos
t
2
则
由于
6
3
,
t
sin
cos
2sin(
)
[
3
1
2]
所以
4
2
20
[
3
1
2]
L
1
2
t
在
内单调递减,
t
3
1
3时,L的最大值20(
3
1)米.
2
于是当
时
6
答:
当6或3时所铺设的管道最短,为20(31)米.
2
2.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=253米,为了便于居民平时休
闲散步,
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路
OE、EF和OF,考虑到小区整体规
划,
要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=90°,如图所示.
(1)设∠BOE=,试将OEF的周长l表示成
的函数关系式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为
400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?
并求出最低总费用.
D
F
AO
C
E
B
3
解:
(1)∵在Rt△BOE中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=
,∴OE=
25
.⋯⋯⋯⋯2分
cos
在Rt△AOF中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=
,∴OF=
25
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
sin
又∠EOF=90°,∴EF=
OE2
OF2
(25
)2
(25)2=
cos
25
cos
sin
sin
∴lOEOF
EF
25
25
25
cos
sin
cossin
25(sin
cos
1)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
即l
sin
.
cos
当点F在点D,角
最小,求得此
=π;
6
当点E在C点,角
最大,求得此
=π.
3
ππ
故此函数的定域[,].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
63
(2)由意知,要求路用最低,只要求
OEF的周l的最小即可.
由
(1)得,l
25(sin
cos
1)
ππ
cos
sin
,
[,
]
6
3
sin
cos
t2
1
t,sincos
,
2
∴l
25(sin
cos
1)
25(t1)
50⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分12
cos
sin
t2
1
t1
2
由,
5π
π7π
3
1
2,∴
31
121,
12
4
,得
2
t
t
12
2
从而
21
1
3
1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
分
1
t
当
π,即BE=25,lmin
25(2
1),
4
所以当BE=AE=25
米,路用最低,最低用
10000(21)元.⋯⋯⋯⋯16分
4
3.如图,ABCD是块边长为100m的正方形地皮,其中AST是一半径为90m的扇形小山,
其余部分都是平地,一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P在弧
ST上,相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上,求矩形停车场PQCR面积的最大值和最
小值。
DRC
S
PQ
ATB
解:
设
PAB
(0
90
),延长
RT交AB于
M
AM
90cos,MP
90sin
PQ
MB
100
90cos.
PRMRMP10090sin
S矩形PQRC
PQ
PR
(100
90cos
)(10090sin)
10000
9000(sin
cos)
8100sincos
(0
90),
令t
sin
cos
(1
t
2),sin
cos
t2
1
2
S矩形PQRC
10000
9000t
8100
t2
1
4050(t
10)2
950-10
10
2
9
故当t
时,S的最小值为950m2
当t
2时S
的(14050
9000
2)m2
9
5
4.如,在半径3、心角60o的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形
PNMQ,使点Q在OA上,点N,M在OB上,矩形PNMQ的面y,按下列要求写
出函数的关系式:
(1)①PNx,将y表示成x的函数关系式;②POB,将y
表示成的函数关系式;你用
(1)中的一个函数关系式,求出y的最大.
A
PQ
BO
NM
解:
(1)①因ON
3
x2
,OM
3x,
所以MN
3
x2
3x,⋯2分,
3
3
所以y
x(
3
x2
3x),x
(0,3).⋯⋯⋯⋯⋯
4分
3
2
②因PN
3sin
,ON
3cos,OM
3
3sin
sin
,
3
所以MN
ON
OM
3cos
sin
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
所以y
3sin
(
3cos
sin
),即y
3sin
cos
3sin2
,(
(0,))⋯8分
3
(2)y
3sin
cos
3sin2
3sin(2
)
3
,⋯⋯⋯⋯⋯
12分
6
2
Q(0,
)
2
(
5)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分所以ymax
3
.⋯⋯⋯14分
2
3
6
6
6
6
5.如下图,某小区准备绿化一块直径为
BC的半圆形空地,
ABC的内接正方形PQRS为
一水池,ABC外的地方种草,其余地方种花.若BC=a,
ABC=,设
ABC的面积为
S1,正方形PQRS的面积为S2,将比值S1称为“规划合理度”.
S2
(1
)试用a,表示S1和S2;
(2
)若a为定值,当
为何值时,“规划合理度”最小?
并求出这个最小值.
A
P
S
BQRC
7
(1)在Rt
ABC中,AB
acos,ACasin
,
S1
1AB
AC
1a2sin
cos
⋯⋯⋯⋯⋯3分
2
2
x
正方形的
x
BP
AP
xcos
,
sin
由BP
AP
AB,得
x
xcos
acos
,
sin
asin
cos
故x
1
sin
cos
所以S2
x2
(
asin
cos
)2⋯⋯⋯⋯⋯6分
1
sin
cos
1
2
(2)
S1
1
(1
sin
cos
)2
(1
2sin2)
1
1
S2
2
sin
cos
sin2
sin2
sin21,⋯⋯8分
4
令t
sin2
,因0
,
0
2
2
所以
,t
sin2
(0,1]⋯⋯⋯⋯⋯10
分
所以
S1
1
1
t
1
g(t),g(t)
1
1
0
,
S2
t
4
t2
4
所以函数g(t)在(0,1]上减,⋯⋯⋯⋯⋯12
分
因此当t
1
g(t)有最小g(t)min
g
(1)
9
,
4
此sin2
1,
4
⋯⋯⋯⋯⋯14分
所以当
9
,“划合理度”最小,最小
4
4
.⋯⋯⋯⋯⋯15分
8
6.如图所示,一条直角走廊宽为
2米。
现有一转动灵活的平板
2m
车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米。
直线EF分别交直线
AC、BC于M、N,过墙角D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q;
N
⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠
CAB,试求平板面的长
E
(用表示);
?
D
Q
⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米
F
B
2m
l
M
AP
C
2
,DN=
2
1
,EN=tan
,
解:
(1)DM=
,MF=
sin
cos
tan
2
2
-
1
-tan
EF=DM+DN-MF-=EN
+
tan
sin
cos
=2(sin
cos
)
1
(0
)
sin
cos
2
(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角
(0
),平板车的长度不能通过,
2
即平板车的长度
lmin;记sin
cos
t,1
t
2,有sin
cos
=t2
1,
2
=2(sin
cos
)
1=4t
2
sin
cos
t2
1
此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记
4t2
m,则t
m
2
4
)或直接求导,
以确定函数在[1,
2]上的单调性;当t
2时取得最小值42
2
9
7.(本小分15分)一棒欲通如所示的直角走廊,回答下列:
(1)求棒L关于的函数关系式:
L;
(2)求能通直角走廊的棒的度的最大.
2
解:
(1)如,AB
2,BC
2
L
2
2
ACABBC
0
cos
sin
cos
sin
(2)L
2cos
sin
sin
cos
令t
cos
sin
2sin
,因0
,所以t1,
2,
4
4
sin
cos
2
1t2
1
sin
cos
2
2
2
2t
2
2
2
1
随着
的增大而增大,
L
2
1
,当t1,
,t
t
t
t
1
t
t
A
所以t
1
0,
2
所以L
4,
2
t
2
所以能通个直角走廊的棒的最大度
4⋯⋯⋯15分
2
2
C
2
B
10
8.如图,A,B,C是三个汽车站,AC,BE是直线型公路.已知AB=120
km,∠BAC=
75°,∠ABC=45°.有一辆车(称甲车)以每小时
96(km)的速度往返于车站
A,C之间,
到达车站后停留10分钟;另有一辆车(称乙车)以每小时
120(km)的速度从车站B开往
另一个城市E,途经车站C,并在车站C也停留
10分钟.已知早上8点时甲车从车站A、
乙车从车站B同时开出.
(1)计算A,C两站距离,及B,C两站距离;
(2)若甲、乙两车
上各有一名旅客需要交换到对方汽车上,问能否在车站
C处利用停留时间交换.(3)求10
点时甲、乙两车的距离.(参考数据:
21.4,
3
1.7,62.4,111
10.5)
E
C
AB
(1)在△ABC中,∠ACB=60°.∵
AB
BC
AC
,
sin60
sin75
sin45
120sin45
120
2
2
406
96(km),
∴AC
3
sin60
2
120sin75
120
6
2
4
60
2
20
6
132(km).
BC
3
sin60
2
(2)甲车从车站
A开到车站C约用时间为96
1(小时)=60(分钟),即9点到C站,
96
至9点零10分开出.乙车从车站B开到车站C约用时间为132
1.1(小时)=66(分钟),
120
即9点零6分到站,9点零16分开出.则两名旅客可在
9点零6分到10分这段时间内交换
到对方汽车上.
(3)10点时甲车离开C
站的距离为50
96
80(km),乙车离开C站的距离为
60
4412088(km),两车的距离等于
60
80288228088cos608100121110=8111810.584(km).
11
9.如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知
已有两面墙的夹角为60°(即C60),现有可供建造第三面围墙的材料6米(两面墙
的长均大于6米),为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可能大,
记ABC,问当为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积最大?
解:
在
ABC中,由正弦定理:
AC
AB
BC
··············3分
sin
sin
sin(
)
3
3
化简得:
AC
4
3sin
BC
4
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 三角函数 应用题 docx