高三月考数学试题含答案.docx
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高三月考数学试题含答案
江苏省东台市创新学校xx高三12月月考数学试题
2019-2020年高三12月月考数学试题含答案
一、填空题:
(共14小题,每题5分,满分70分)
1.已知集合,,则=▲.
2.若复数为纯虚数,是虚数单位,则实数的值是▲.
3.已知复数,(为虚数单位).在复平面内,对应的点在第▲象限.
4.命题:
“,”的否定是▲.
5.已知是等差数列,若,则的值是▲.
6.若将甲、乙两个球随机放入编号为,,的三个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在,号盒子中各有一个球的概率是▲.
7.在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程是,
且经过点,则该双曲线的方程是▲.
8.若,则的值是▲.
9.若,,是实数,则的最大值是▲.
10.如图,在正三棱柱中,若各条棱长均为2,且
M为的中点,则三棱锥的体积是▲.
11.设函数是定义在上的奇函数,当时,,则关于的不等式的解集是▲.
12.已知光线通过点,被直线:
反射,反射光线通过点,则反射光线所在直线的方程是▲.
13.如图,已知中,,,是
的中点,若向量,且的终点在
的内部(不含边界),则的取值范围是▲.
14.已知函数,若关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是▲.
二、解答题本大题共6小题,15~17每小题14分,18~20每小题16分,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的内角的对边分别为,.
(1)若,,求的值;
(2)若,求的值.
16.如图,在四棱锥中,底面是菱形,且.
(1)求证:
;
(2)若平面与平面的交线为,求证:
.
17.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知为直径,且km,为圆心,为圆周上靠近的一点,为圆周上靠近的一点,且∥.现在准备从经过到建造一条观光路线,其中到是圆弧,到是线段.设,观光路线总长为.
(1)求关于的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)求观光路线总长的最大值.
18.已知函数(其中是自然对数的底数),,.
(1)记函数,且,求的单调增区间;
(2)若对任意,,均有
成立,求实数的取值范围.
19.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆,设是椭圆上的任一点,从原点向圆:
作两条切线,分别交椭圆于点,.
(1)若直线,互相垂直,求圆的方程;
(2)若直线,的斜率存在,并记为,,求证:
;
(3)试问是否为定值?
若是,求出该值;若不是,说明理由.
20.已知数列是等差数列,其前n项和为Sn,若,.
(1)求;
(2)若数列{Mn}满足条件:
,当时,-,其中数列单调递增,且,.
①试找出一组,,使得;
②证明:
对于数列,一定存在数列,使得数列中的各数均为一个整数的平方.
22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程是(是参数),若以为极点,轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线的极坐标方程.
23.
如图,在直三棱柱中,已知,,,点,分别在棱,上,且,,.
(1)当时,求异面直线与所成角的大小;
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求的值.
24.已知数列的各项均为正整数,对于任意n∈N*,都有
成立,且.
(1)求,的值;
(2)猜想数列的通项公式,并给出证明.
数学答题纸
一、填空题:
(共14小题,每题5分,满分70分)
1、2、3、4、
5、6、7、8、
9、10、11、
12、13、14、
二、解答题
15、
16、
17、
18、
19、
20、
xx高三年级摸底考试
数学附加题答题纸
21、
22、
23、
24、
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
1.2.3.二4.,5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
二、解答题本大题共6小题,15~17每小题14分,18~20每小题16分,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(2)因为,,
所以……………………………9分
……………………………11分
.
所以.……………………………………14分
16.
(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.
因为四边形ABCD为菱形,所以……2分
又因为,O为BD的中点,
所以……………………………………4分
又因为
所以,
又因为
所以……………………………………7分
(2)因为四边形ABCD为菱形,所以…………………………9分
因为
.
所以………………………………………11分
又因为,平面平面.
所以.………………………………………………14分
17.
(1)由题意知,,…………………………………2分
,…………………………………5分
因为为圆周上靠近的一点,为圆周上靠近的一点,且,
所以
所以,…………………………………………7分
(2)记,则,………………………………9分
令,得,………………………………………………11分
列表
x
(0,)
(,)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
所以函数在处取得极大值,这个极大值就是最大值,…………13分
即,
答:
观光路线总长的最大值为千米.……………………………14分
18.
(1)因为
,
所以
,……………………2分
令,因为,得或,……………………5分
所以的单调增区间为和;……………………6分
(2)因为对任意且,均有
成立,
不妨设,根据在上单调递增,
所以有
对恒成立,……………………8分
所以
对,恒成立,
即
对,恒成立,
所以和在都是单调递增函数,………………11分
当在上恒成立,
得在恒成立,得在恒成立,
因为在上单调减函数,所以在上取得最大值,
解得.………………………………13分
当在上恒成立,
得在上恒成立,即在上恒成立,
因为在上递减,在上单调递增,
所以在上取得最小值,
所以,……………………………15分
所以实数的取值范围为.………………………16分
19.
(1)由圆的方程知,圆的半径的半径,
因为直线,互相垂直,且和圆相切,
所以,即,①………………………………………1分
又点在椭圆上,所以,②……………………………………2分
联立①②,解得……………………………………………………3分
所以所求圆的方程为
.………………………4分
(2)因为直线:
,:
,与圆相切,
所以,化简得
………………6分
同理
,……………………………………………7分
所以是方程
的两个不相等的实数根,
…………………………8分
因为点在椭圆C上,所以,即,
所以
,即.………………………………10分
(3)是定值,定值为36,……………………………………………11分
理由如下:
法一:
(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
联立
解得
………………………………………12分
所以,同理,得,…………13分
由,
所以
………………………………………………………15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有,
综上:
.……………………………………………………16分
法二:
(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
因为,所以,即,……………12分
因为在椭圆C上,所以
,
即
,……………………………………………13分
所以
,整理得,
所以
,
所以.……………………………………………………15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有,
综上:
.………………………………………………16分
20.
(1)设数列的首项为,公差为,
由,,得
,……………………2分
解得,
所以
……………………………………………4分
(2)①因为,
若,
,
因为,
所以,,此方程无整数解;………………6分
若,
,
因为,
所以,,此方程无整数解;………………8分
若,
,
因为,
所以,,解得,
所以,满足题意…………………………………………………10分
②由①知,,,则,,,
一般的取
,………………………13分
此时
,
,
则=-=
,
所以为一整数平方.
因此存在数列,使得数列中的各数均为一个整数的平方.……16分
数学Ⅱ部分
21.【选做题】
A.(选修4—1:
几何证明选讲)
因为BE切⊙O于点B,所以,
因为,,由余弦定理得.………4分
又因为,所以,…………………8分
所以
.………………10分
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
设矩阵,这里,
因为是矩阵A的属于的特征向量,则有①,……4分
又因为是矩阵A的属于的特征向量,则有②…6分
根据①②,则有
…………………………………………………8分
从而
所以.……………………………10分
C.(选修4-4:
坐标系与参数方程)
由得两式平方后相加得,…………4分
因为曲线是以为圆心,半径等于1的圆.得.
即曲线的极坐标方程是.…………………………10分
D.(选修4-5:
不等式选讲)
因为……………………………5分
所以原不等式解集为R等价于所以
所以实数的取值范围为.………………………10分
22.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)因为AB=AC=1,3,,
所以各点的坐标为,,,.
,.…………2分
因为,,
所以
.所以向量和所成的角为,
所以异面直线与所成角为.……………4分
(2)因为,,所以.
设平面的法向量为,
则,且.
即,且.令,则.
所以是平面的一个法向量.………6分
又,则
,
又因为直线与平面所成角的正弦值为,
所以,解得,.………………10分
23.
(1)因为
,
当时,由
,即有,
解得.因为为正整数,故.………………………………2分
当时,由
,
解得,所以.…………………………………………………4分
(2)由,,,猜想:
………………………………5分
下面用数学归纳法证明.
1º当,,时,由
(1)知均成立.……………………………6分
2º假设成立,则,
由条件得
,
所以
,………………………………………8分
所以
…………………………9分
因为,,,
又,所以.
即时,也成立.
由1º,2º知,对任意,.……………………………………10分
2019-2020年高三12月月考数学(文)试题含答案(II)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={3,log2(a2+3a)},B={a,b},若A∩B={2},则实数a的值等于( )
A.1或-4B.1C.4D.-1或4
2.曲线在点处切线的倾斜角是()
A.1B.C.D.
3.数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为( )
A.5B.6C.7D.8
4.若,b=,,则()
A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b
5.过圆C:
x2+(y﹣1)2=4的圆心,且与直线l:
3x+2y+1=0垂直的直线方程是( )
A.2x﹣3y+3=0B.2x﹣3y﹣3=0C.2x+3y+3=0D.2x+3y﹣3=0
甲
乙
7
9m
2
3
n
248
6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m、n的比值=( )
A.1B.C.D.
7.设是两个不同的平面,是两条不同的直线,且,()A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
8.函数的图象向左平移(>0)个单位后关于原点对称,则的最小值为( )
A.B.C.D.
9.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( )
A.1B.2C.4D.8
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AA1BB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为()
11.执行如图所示的程序框图,则输出的“S+n”的值为( )
A.﹣19B.﹣20C.﹣21D.﹣18
12.点为双曲线的右焦点,点为双曲线左支上一点,线段与圆相切于点,且,则双曲线的离心率等于()
A.B.C.D.2
二、填空题:
本大题有4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卷的相应位置。
13.复数(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a=
14.函数f(x)=x3+sinx+xx(x∈R),若f(a)=xx,则f(﹣a)=_____
15.设变量x,y满足约束条件,则的最小值为___
16.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:
可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:
已知椭圆的标准方程为,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.如图,在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D,AC与BD交于点O.
(Ⅰ)求△OAB与△OBC的面积之比;(Ⅱ)求sin∠BAD的值.
18.学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况,利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析,抽出的100名学生的数学、语文成绩如表:
语文
优
良
及格
数学
优
8
m
9
良
9
n
11
及格
8
9
11
(Ⅰ)将学生编号为000,001,002,…499,500,若从第五行第五列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的5个人的编号(下面是摘自随机数表的第4~第7行);
12568599269696682731 050372931557121014218826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
(Ⅱ)若数学成绩优秀率为35%,求m,n的值;
(Ⅲ)在语文成绩为良的学生中,已知m≥13,n≥11,求数学成绩“优”比良的人数少的概率.
19.如图已知三棱锥P﹣ABC,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,∠BAC=90°,D,E分别为AB,PC的中点,BF=2FC.
(I)求证:
PD∥平面AEF;
(Ⅱ)求几何体P﹣AEF的体积
20.已知F是抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点,⊙M过坐标原点和F点,且圆心M到抛物线C的准线距离为
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)已知抛物线C上的点N(s,4),过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB,判断直线AB是否过定点?
并说明理由.
21.已知函数(a∈R).
(Ⅰ)当时,求的单调区间
(Ⅱ)当x1,x2∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C极坐标方程为ρ=asin(θ+),点M的极坐标为(4,),且点M在曲线C上.
(I)求a的值及曲线C直角坐标方程;
(II)若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.
选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(I)当a=﹣3时,求不等式的解集;
(II)若的解集包含1,2],求a的取值范围.
重庆十一中高xx级高三12月月考数学(文)答案
刘爱莲刘翠碧
一、选择题:
1、A2、D3、B4、C5、A6、D7、D8、B9、D10、C11、A12、C
二、填空题:
13.若复数(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a= 1 .
14.函数f(x)=x3+sinx+xx(x∈R),若f(a)=xx,则f(﹣a)=_xx______.
15.设变量x,y满足约束条件
,则z=()2x﹣y的最小值为______.
16.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:
可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:
已知椭圆的标准方程为,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
解:
椭圆的长半轴为5,短半轴为2,现构造一个底面半径为2,高为5的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,
根据祖暅原理得出椭球的体积V=2(V圆柱﹣V圆锥)=2(π×22×5﹣)=.
故答案为:
.
三、解答题
17.如图,在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D,AC与BD交于点O.
(1)求△OAB与△OBC的面积之比;
(2)求sin∠BAD的值.
【考点】余弦定理的应用.
【分析】
(1)运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式,计算即可得到所求值;
(2)由等腰三角形的定义和平行线的性质,结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC,运用余弦定理和同角的平方关系,计算即可得到所求值.
【解答】解:
(1)BD为∠ABC的平分线,
由角平分线定理知:
,2
即有;5
(2)由AD∥BC且AB=AC,
可得∠ABC=∠ACB=∠CAD,
即有sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD)=sin(∠BAC+∠ABC)=sinC,
在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,7
可得
,9
即有sinC==,
故sin∠BAD的值为.12
18.某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况,利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析,抽出的100名学生的数学、语文成绩如表:
语文
优
良
及格
数学
优
8
m
9
良
9
n
11
及格
8
9
11
(1)将学生编号为000,001,002,…499,500,若从第五行第五列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的5个人的编号(下面是摘自随机数表的第4~第7行);
1256859926 9696682731 0503729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 217633 5025 8392120676
(2)若数学成绩优秀率为35%,求m,n的值;
(3)在语文成绩为良的学生中,已知m≥13,n≥11,求数学成绩“优”比良的人数少的概率.
【解答】解:
(1)由随机数表法得到5个人的编号依次为:
385,482,462,231,309.…3
(2)由=0.35,得m=18,5
因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100,得n=17.7…
(3)由题意m+n=35,且m≥13,n≥11,
所以满足条件的(m,n)有:
(13,22)、(14,21)、(15,20)、(16,19)、(17,18)、(18,17)、
(19,16)、(20,15)、(21,14)、(22,13)、(23,12)、(24,11)共12种,10
且每组出现都是等可能的.…
记:
“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M,
则事件M包含的基本事件有(13,22)、(14,21)、(15,20)、(16,19)、(17,18)共5种,所以P(M)=.…12
19.如图已知三棱锥P﹣ABC,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,∠BAC=90°,D,E分别为AB,PC的中点,BF=2FC.
(I)求证:
PD∥平面AEF;
(Ⅱ)求几何体P﹣AEF的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:
如图,
在线段BC上,取BG=GF,连接PG,DG,
在△ABF中,∵BG=GF,AD=DB,∴GD∥AF,3
在△PCG中,∵CF=GF,PE=EC,∴EF∥PG,
又PG∩GG,∴平面PGD∥平面AEF,
则PD∥平面AEF;6
(Ⅱ)解:
∵PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,∠BAC=90°,
∴
=,9
又E为PC的中点,∴
.12
20.已知F是抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点,⊙M过坐标原点和F点,且圆心M到抛物线C的准线距离为
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)已知抛物线C上的点N(s,4),过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB,判断直线AB是否过定点?
并说明理由.
【解答】解:
(I)抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=﹣.
∵⊙M过坐标原点和F点,∴M在直线x=上.
∴M到抛物线的准线的距离d=,解得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.5
(II)把y=4代入抛物线方程得x=4.即N(4,4).
设A(,y1),B(,y2).
kNA=
=,kNB=
=,kAB=
=.7
∵直线NA和直线NB互相垂直,∴,即y1y2=﹣
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- 三月 数学试题 答案