北师大版八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试A卷附答案详解.docx

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试A卷附答案详解

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试A卷（附答案详解）

1．如图所示的一块地，∠ADC=90°，，，，，求这块地的面积为（　　）m2．

A．54B．108C．216D．270

2．分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：

（），，；（），，；（），，；（），，，期中能构成直角三角形的有（）．

A．组B．组C．组D．组

3．如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：

2，则BD的长是（）

A．5B．5C．3D．3

4．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）

A．△ACF                           B．△ACE               C．△ABD                   D．△CEF

5．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，c＝37，a＝12，则b的值为（）

A．50B．35C．34D．26

6．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图）．图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是（）

A．B．C．D．

7．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（　　）

A．5B．6C．3D．4

8．王老师给出了下列三条线段的长度，其中能首尾相接构成直角三角形的是（　　）

A．1，2，3B．C．6，8，9D．5，12，13

9．如图，∠AOE=∠BOE=22.5°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=________．

10．为了推广城市绿色出行，小蓝车公司准备在十圩港沿岸AB段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D（如图），CA⊥AB于A、DB⊥AB于B，AB=4km，CA=2km，DB=1km．则停放点E应建在距点A_____km处，才能使它到两广场的距离相等．

11．三角形的三边长分别为3,4,5,则最长边上的高为____________.

12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度.

13．如右图所示AB＝AC，则C表示的数为____________．

14．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC=．分别以AB、AC为边在△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，则BE的长为_____．

15．如果,则=_________.

16．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．

（1）求证：

∠C＝90°；

（2）求BD的长．

17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：

⑴.请你分别观察与之间的关系，用含自然数的代数式表示，则

，，；

⑵.猜想：

以为三边的三角形是否为直角三角形？

证明你的结论.

18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？

请说明理由；

（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

该城市受到台风影响的最大风力为几级？

19．如图，将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），为其交点.

（1）探求与的数量关系，并说明理由;

（2）如图②，若分别为上的动点.

①当的长度取得最小值时，求的长度;

②如图③，若点在线段上，，则的最小值为.

20．如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，AB=4，求BC的长．

21．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．

（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；

（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD＝4m吗？

为什么？

（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？

参考答案

1．C

【解析】

连接AC，根据勾股定理，由直角△ACD可以求得斜边AC=15m，根据AC，BC，AB的长，求它们的平方，根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差S=S△ABC-S△ACD=AC•BC-CD•AD=×15×36-×9×12=270-54=216m2．

故选：

C.

点睛：

本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC是直角三角形是解题的关键．

2．B

【解析】

（1）∵，

∴长为3、4、5的线段能够构成直角三角形；

（2）∵，

∴长为5、12、13的线段能构成直角三角形；

（3）∵，

∴长为8、15、17的线段能构成直角三角形；

（4）∵，

∴长为3、4、5的线段不能构成直角三角形.

综上所述，上述四组线段中，能构成直角三角形的有3组.

故选B.

点睛：

根据勾股定理的逆定理可知：

三条线段中，若是最长线段，且，则这三条线段能围成直角三角形.

3．B

【解析】

∵等腰梯形ABCD四边长度的众数为5，

∴AB=CD=5.

∵上、下底之比为1：

2，

∴可设上、下底分别为x，2x.

∵四条边的平均数为，

∴,

∴x=5，

∴AD=5，BC=10，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ABC=60°，

∴∠DBC=30°，

∵等腰梯形ABCD，AB=DC，

∴∠C=∠ABC=60°，

∴∠BDC=90°，

∴在Rt△BDC中，

由勾股定理得：

.

故选B.

点睛：

本题考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是求出BC、DC长和得出△DCB是直角三角形．

4．C

【解析】

【分析】

利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.

【详解】

在△ABC中，AB==，BC==，AC=2，

A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；

B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；

C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=2=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；

D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.

5．B

【解析】∵∠C=90°，由勾股定理可得：

b2=a2－c2=372－122=1225，b=35.

故选B.

点睛：

本题关键在于对勾股定理的运用.

6．B

【解析】

【分析】

设正方形MTKN的面积为x，八个全等三角形每个的面积为y，依据题意，得到关于x与y的方程，即可解答.

【详解】

解：

设正方形形MTKN的面积设为x，八个全等的三角形面积每个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=10，

故3x+12y=10，x+4y=，

所以S2=x+4y=．故选B.

【点睛】

此题要求熟练掌握图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=10求出是解决问题的关键．

7．A

【解析】

设EF=x，则CF=x-1，

∵EF∥AB，

∴∠CFE=∠B=40°，

又∵∠CEF=∠1=50°，

∴∠C=180°-50°-40°=90°，

∴CE2+CF2=EF2，即32+（x-1）2=x2，解得：

x=5，

∴EF=5.

故选A.

8．D

【解析】

【分析】

根据三角形的三边长，求出a2、b2、c2，根据a2+b2=c2即可根据勾股定了的逆定理判断.

【详解】

根据12+22=1+4≠9=32，可知不能构成直角三角形，故不正确；

根据（）2=3，（）2=4，（）2=5，不能够成直角三角形，故不正确；

根据62+82=36+64=100≠92，不能够成直角三角形，故不正确；

根据52+122=25+144=169=132，能够成直角三角形，故正确.

故选：

D.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是求出三角形的三边是否符合a2+b2=c2的关系.

9．

【解析】

【分析】

作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据勾股定理求出EF，根据等腰三角形的性质解答.

【详解】

作EH⊥OA于H，∵∠AOE＝∠BOE＝22.5°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH＝EC＝1，∠AOB＝45°，∵EF∥OB，∴∠EFH＝∠AOB＝∠FEH＝45°，∴FH＝EH＝1，EF＝＝，∠FEO＝∠FOE，∴OF＝EF＝.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

10．

【解析】

【分析】

设AE=xkm，根据点E到两广场的距离相等，利用勾股定理列方程，解方程即可．

【详解】

设AE=xkm时，它到两广场的距离相等，则BE=（4﹣x）km，由题意得：

22+x2=（4﹣x）2+12

解得：

x=．

故这个单车停放点E应建在距点Akm处，它到两广场的距离相等．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．

11．2.4

【解析】

解：

∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，斜边为5．设斜边上高为h，根据三角形的面积公式得：

×3×4=×5×h，解得：

h=2.4．故选D．

12．2.2

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．

【详解】

如图：

在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴AB2=0.72+2.42=6.25.

在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2，

∴BD2+22=6.25，

∴BD2=2.25，

∵BD>0，

∴BD=1.5米，

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.

故答案为2.2.

13．

【解析】

因为图中直角三角形的两直角边为1，2，

∴斜边长为：

=，那么1和C之间的距离为.则点C表示的数为：

1−.

故答案为1−.

14．3

【解析】