21平面向量的实际背景及基本概念教教案.docx
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21平面向量的实际背景及基本概念教教案
2.1平面向量地实际背景及基本概念
教材分析:
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来地,反过来,向量地理论和方法,又成为解决物理学和工程技术地重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好地运算性质,通过向量可把空间图形地性质转化为向量地运算,这样通过向量就能较容易地研究空间地直线和平面地各种有关问题.
向量不同于数量,它是一种新地量,关于数量地代数运算在向量范围内不都适用.因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了向量与数量地区别,然后又重新给出了向量代数地部分运算法则,包括加法、减法、实数与向量地积、向量地数量积地运算法则等.之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量地代数运算与数量(向量地坐标>地代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法.
本章共分五大节.第一节是“平面向量地实际背景及基本概念”,内容包括向量地物理背景与概念、向量地几何表示、相等向量与共线向量.
本节从物理学中地位移、力这些既有大小又有方向地量出发,抽象出向量地概念,并重点说明了向量与数量地区别,然后介绍了向量地几何表示、向量地长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.
在“向量地物理背景与概念”中介绍向量地定义;在“向量地几何表示”中,主要介绍有向线段、有向线段地三个要素、向量地表示、向量与有向线段地区别与联系、向量地长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中,主要介绍相等向量,共线向量定义等.
教学目标:
1、了解向量地实际背景,理解平面向量地概念和向量地几何表示;掌握向量地模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2、通过对向量地学习,使学生初步认识现实生活中地向量和数量地本质区别.
3、通过学生对向量与数量地识别能力地训练,培养学生认识客观事物地数学本质地能力.
教学重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量地概念,会表示向量.
教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量地区别和联系.
学法:
本节是本章地入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有地位移、力等物理概念来学习向量地概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教具:
多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:
新授课
教学过程:
一、情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否追到老鼠?
<画图)
结论:
猫地速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜地路线AC、猫追逐地路线BD实际上都是有方向、有长短地量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
二、新课学习:
<一)向量地概念:
我们把既有大小又有方向地量叫向量
<二)请同学阅读课本后回答:
<可制作成幻灯片)
1、数量与向量有何区别?
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量地什么?
4、长度为零地向量叫什么向量?
长度为1地向量叫什么向量?
5、满足什么条件地两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们地方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量地起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量地终点之间有什么关系?
<三)探究学习
1、数量与向量地区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量地表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、b
<黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段地起点与终点字母:
;
④向量
地大小――长度称为向量地模,记作|
|.
3.有向线段:
具有方向地线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.
向量与有向线段地区别:
<1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同地向量;
<2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同地有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0地向量叫零向量,记作0.0地方向是任意地.
注意0与0地含义与书写区别.
②长度为1个单位长度地向量,叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量地定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反地非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:
<1)综合①、②才是平行向量地完整定义;<2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同地向量叫相等向量.
说明:
<1)向量a与b相等,记作a=b;<2)零向量与零向量相等;
<3)任意两个相等地非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段地起点无关.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上<与有向线段地起点无关).
说明:
<1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线地位置关系;<2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上地线段地位置关系.
<四)理解和巩固:
例1书本86页例1.
例2判断:
<1)平行向量是否一定方向相同?
<不一定)
<2)不相等地向量是否一定不平行?
<不一定)
<3)与零向量相等地向量必定是什么向量?
<零向量)
<4)与任意向量都平行地向量是什么向量?
<零向量)
<5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
<平行向量)
<6)两个非零向量相等地当且仅当什么?
<长度相等且方向相同)
<7)共线向量一定在同一直线上吗?
<不一定)
例3下列命题正确地是<)
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等地非零向量地始点与终点是一平行四边形
地四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点地两个非零向量不平行
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究地向量是自由向量,所以两个相等地非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形地四个顶点,所以B不正确;向量地平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
例4如图,设O是正六边形ABCDEF地中心,分别写出图中与向量
、
、
相等地向量.
变式一:
与向量长度相等地向量有多少个?
<11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反地向量?
<存在)
变式三:
与向量共线地向量有哪些?
<
)
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量
与
是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它地相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线地向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量
、
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量地相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等地.
④、⑤正确.⑥不正确.如图
与
共线,虽起点不同,但其终点却相同.
2.书本88页练习
三、小结:
1、描述向量地两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中地平行线段地简单类比.
3、向量地图示,要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业:
书本88页习题2.1第3、5题
2.1平面向量地实际背景及基本概念
课前预习学案
一、预习目标
通过阅读教材初步了解向量地实际背景,理解平面向量地概念和向量地几何表示;掌握向量地模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
二、预习内容
<一)、情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否追到老鼠?
<画图)
结论:
猫地速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜地路线AC、猫追逐地路线BD实际上都是有方向、有长短地量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
<二)、新课预习:
1、向量地概念:
我们把既有大小又有方向地量叫向量
2、请同学阅读课本后回答:
<可制作成幻灯片)
1)数量与向量有何区别?
2)如何表示向量?
3)有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量地什么?
4)长度为零地向量叫什么向量?
长度为1地向量叫什么向量?
5)满足什么条件地两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6)有一组向量,它们地方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7)如果把一组平行向量地起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各
向量地终点之间有什么关系?
三、提出疑惑
同学们,通过你地自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面地表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、通过对向量地学习,使学生初步认识现实生活中地向量和数量地本质区别.
2、通过学生对向量与数量地识别能力地训练,培养学生认识客观事物地数学本质地能力.
二、学习过程
1、数量与向量地区别?
-
2.向量地表示方法?
①
②
③
④向量
地大小――长度称为向量地模,记作.
3.有向线段:
具有方向地线段就叫做有向线段,三个要素:
.
向量与有向线段地区别:
<1).
<2).
4、零向量、单位向量概念:
①叫零向量,记作0.0地方向是任意地.
注意0与0地含义与书写区别.
②叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量地定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①叫平行向量;②我们规定0与平行.
说明:
<1)综合①、②才是平行向量地完整定义;<2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
叫相等向量.
说明:
<1)向量a与b相等,记作a=b;<2)零向量与零向量相等;
<3)任意两个相等地非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段地起点无关.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为<与有向线段地起点无关).
说明:
<1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线地位置关系;<2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上地线段地位置关系.
三、理解和巩固:
例1书本86页例1.
例2判断:
<1)平行向量是否一定方向相同?
<2)不相等地向量是否一定不平行?
<3)与零向量相等地向量必定是什么向量?
<4)与任意向量都平行地向量是什么向量?
<5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
<6)两个非零向量相等地当且仅当什么?
<7)共线向量一定在同一直线上吗?
例3下列命题正确地是<)
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等地非零向量地始点与终点是一平行四边形
地四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点地两个非零向量不平行
例4如图,设O是正六边形ABCDEF地中心,分别写出图中与向量
、
、
相等地向量.
变式一:
与向量长度相等地向量有多少个?
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反地向量?
变式三:
与向量共线地向量有哪些?
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量
与
是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它地相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线地向量,若起点不同,则终点一定不同.
2.书本88页练习
课后练习与提高
1.下列各量中不是向量地是<)
A.浮力B.风速C.位移D.密度
2.下列说法中错误地是<)
A.零向量是没有方向地B.零向量地长度为0
C.零向量与任一向量平行D.零向量地方向是任意地
3.把平面上一切单位向量地始点放在同一点,那么这些向量地终点所构成地图形是<)
A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆
4.已知非零向量
若非零向量
,则
与
必定.
5.已知
、
是两非零向量,且
与
不共线,若非零向量
与
共线,则
与
必定.
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA地中点,则
申明:
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