中考复习方程与不等式专题含答案详解.docx
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中考复习方程与不等式专题含答案详解
方程与不等式专题。
一.选择题(共12小题)
1.使得关于x的不等式组
有解,且使分式方程
有非负整数解的所有的m的和是( )
A.﹣1B.2C.﹣7D.0
2.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围( )
A.k<1且k≠0B.k≠0C.k<1D.k>1
3.不论x,y取何实数,代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是( )
A.非实数B.正数C.负数D.非正数
4.关于x的分式方程
﹣
=1有增根,则m的值为( )
A.1B.4C.2D.0
5.有一个底面半径为10cm,高为30cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为( )
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
6.某商店出售两件衣服,每件卖了200元,其中一件赚了25%,而另一件赔了20%,那么商店在这次交易中( )
A.赚了10元B.亏了10元C.赚了20元D.亏了20元
7.已知关于x的方程x﹣
=
﹣1的解是正整数,则符合条件的所有整数a的积是( )
A.12B.36C.﹣4D.﹣12
8.方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解,则a的取值范围是( )
A.﹣1<a<0B.﹣1<a<1C.0<a<1D.
<a<1
9.按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资(薪金)中,扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额,全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%,超过1500元至4500元部分的税率为10%,若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税,则她的月工资是( )
A.6000元B.5500元C.2500元D.2000元
10.分式方程
=
无解,则m的值为( )
A.2B.1C.1或2D.0或2
11.若关于x的分式方程
有增根,则k的值是( )
A.﹣1B.﹣2C.2D.1
12.已知关于x的不等式组
有五个整数解,m的取值范围是( )
A.﹣4≤m<﹣3B.﹣8≤m<﹣6C.4<m≤6D.4≤m<6
二.填空题(共10小题)
13.已知点P(x,y)位于第二象限,并且y≤2x+6,x、y为整数,则点P的个数是 .
14.若不等式组
无解,则m的取值范围是 .
15.敌我两军相距14千米,敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑,现我军以7千米/小时的速度追击 小时后可追上敌军.
16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,若(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,则a的值为 .
17.已知x,y均为实数,且满足关系式x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,则
= .
18.若不等式组
无解,则m的取值范围是 .
19.一座桥长1200米,一列火车以每秒20米的速度通过这座桥,火车车身长300米,则火车从上桥到离开需要 秒.
20.若实数a,b满足(a2+b2)(a2+b2﹣8)+16=0,则a2+b2= .
21.方程
=x﹣1的根为 .
22.要使关于x的方程
有唯一的解,那么m≠ .
三.解答题(共6小题)
23.已知方程组
的解x、y满足x+y<1,且m为正数,求m的取值范围.
24.一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以8折(标价的80%)出售,结果获利28元,求这件夹克衫的成本是多少元?
25.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=6m,AC=8m,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速运动,已知点P移动的速度是20cm/s,点Q移动的速度是10cm/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的
?
26.在解方程组
时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,而得解为
,乙看错了方程组中的b,而得解为
,根据上面的信息解答:
(1)甲把a看成了什么,乙把b看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解.
27.阅读理解题:
定义:
如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1①,这个数i叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a+bi(a,b为实数),a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.
如果只把i当成代数,则i将符合一切实数运算规则,但要根据①式变通来简便运算.(不要把复数当成高等数学,它只是一个小学就学过的代数而已!
它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.)
例题1:
i3=i2•i=﹣1•i=﹣i;i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣(﹣1)=1
例题2:
(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i(5+i)×(3﹣4i)=15﹣20i+3i﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i
同样我们也可以化简
=
=
=2i
也可以解方程x2=﹣1,解为x1=i,x2=﹣i.
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:
i5= ,i6= ;
(2)计算:
(2+i)2;
(3)在复数范围内解方程:
x2﹣x+1=0.
28.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对邛海湿地周边污水进行处理,每台A型污水处理设备12万元,每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,每周处理污水的量不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?
最少是多少?
方程与不等式专题。
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.使得关于x的不等式组
有解,且使分式方程
有非负整数解的所有的m的和是( )
A.﹣1B.2C.﹣7D.0
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式,求得m的解集,再解分式方程得出x,根据x是非负整数得出m所有的m的和.
【解答】解:
∵关于x的不等式组
有解,
∴1﹣2m>m﹣2,
解得m<1,
由
得x=
,
∵分式方程
有非负整数解,
∴x=
是非负整数,
∵m<1,
∴m=﹣5,﹣2,
∴﹣5﹣2=﹣7,
故选C.
【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集,求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键.
2.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围( )
A.k<1且k≠0B.k≠0C.k<1D.k>1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义,令△>0且二次项系数不为0即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,
即(﹣6)2﹣4×9k>0,
解得,k<1,
∵为一元二次方程,
∴k≠0,
∴k<1且k≠0.
故选A.
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义,要知道:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
3.不论x,y取何实数,代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是( )
A.非实数B.正数C.负数D.非正数
【分析】先根据完全平方公式进行配方得到x2+y2+4x﹣6y+14=(x+2)2+(y﹣3)2+1,然后根据非负数的性质进行证明.
【解答】解:
x2﹣4x+y2﹣6y+13=x2﹣4x+4+y2﹣6y+9
=(x﹣2)2+(y﹣3)2,
∵(x+2)2≥0,(y﹣3)2≥0,
∴(x+2)2+(y﹣3)2≥0,
∴不论x、y取何值,代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13的值总是非负数,
故选A.
【点评】本题考查了配方法的应用:
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2;配方法的关键是:
先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
4.关于x的分式方程
﹣
=1有增根,则m的值为( )
A.1B.4C.2D.0
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案.
【解答】解:
将分式方程
﹣
=1两边同乘(x﹣1),
得m﹣2﹣2x=x﹣1.
若原分式方程有增根,
则必有x=1,
将x=1代入m﹣2﹣2x=x﹣1,
得m=4.
故选(B)
【点评】本题考查分式方程的解法,解题的关键是熟练运用分式方程的解法,本题属于基础题型.
5.有一个底面半径为10cm,高为30cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为( )
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系,即大杯的体积=12个小杯的体积,再利用圆柱体的体积公式列方程求解.
【解答】解:
设小杯的高为x,
根据题意得:
π×102×30=π×(10÷2)2•x×12
解得:
x=10
则小杯的高为10cm.
故选C.
【点评】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
6.某商店出售两件衣服,每件卖了200元,其中一件赚了25%,而另一件赔了20%,那么商店在这次交易中( )
A.赚了10元B.亏了10元C.赚了20元D.亏了20元
【分析】设第一件衣服的进价为x元,第二件的进价为y元,根据售价﹣成本=利润,即可得出关于x(y)的一元一次方程,解之即可求出x(y)的值,再将其代入400﹣x﹣y中即可得出结论.
【解答】解:
设第一件衣服的进价为x元,第二件的进价为y元,
根据题意得:
200﹣x=25%x,200﹣y=﹣20%y,
解得:
x=160,y=250,
∴400﹣x﹣y=400﹣160﹣250=﹣10(元).
答:
商店在这次交易中亏了10元.
故选B.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
7.已知关于x的方程x﹣
=
﹣1的解是正整数,则符合条件的所有整数a的积是( )
A.12B.36C.﹣4D.﹣12
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程,根据题意求出a的值,计算即可.
【解答】解:
x﹣
=
﹣1
去分母,6x﹣4+ax=2x+8﹣6
移项、合并同类项,(4+a)x=6,
x=
,
由题意得,a=﹣3、﹣2、﹣1、2,
则符合条件的所有整数a的积是﹣12,
故选:
D.
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.
8.方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解,则a的取值范围是( )
A.﹣1<a<0B.﹣1<a<1C.0<a<1D.
<a<1
【分析】由方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解,即可得不等式组
,解此不等式组即可求得答案.
【解答】解:
∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解,
∴
,
解得:
0<a<1.
故选C.
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法.此题难度较大,解题的关键是根据题意得到不等式组:
.
9.按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资(薪金)中,扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额,全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%,超过1500元至4500元部分的税率为10%,若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税,则她的月工资是( )
A.6000元B.5500元C.2500元D.2000元
【分析】设小明妈妈某月工资为x元,则应缴个人所得税额为(x﹣3500)元,由税率×税额=税金,建立方程求出其解即可.
【解答】解:
设小明妈妈某月工资为x元,则应缴个人所得税额为(x﹣3500)元,由题意,得
3%×1500+10%(x﹣3500﹣1500)=145,
解得:
x=6000.
答:
小明妈妈的月工资是6000元.
故选A.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,税率×税额=税金的运用,分段计费的计算方法的运用,解答时根据应缴个人所得税145元建立方程是难点.
10.分式方程
=
无解,则m的值为( )
A.2B.1C.1或2D.0或2
【分析】先把分式方程化为整式方程得到(1﹣m)x=﹣1,由于关于x的分式方程
=
无解,讨论:
x=1或方程(1﹣m)x=﹣1无解,当x=1时,(1﹣m)×1=﹣1,解得m=2,当方程(1﹣m)x=﹣1无解,1﹣m=0,解得m=1.
【解答】解:
把分式方程化为整式方程得到(1﹣m)x=﹣1,
∵关于x的分式方程
=
无解,
∴x=1或或方程(1﹣m)x=﹣1无解,
当x=1时,(1﹣m)×1=﹣1,解得m=2,
当方程(1﹣m)x=﹣1无解,1﹣m=0,解得m=1.
∴m=1或2,
故选:
C.
【点评】本题考查了分式方程的解:
使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解.也考查了分类讨论的思想.
11.若关于x的分式方程
有增根,则k的值是( )
A.﹣1B.﹣2C.2D.1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母(x﹣5)=0,得到x=5,然后代入化为整式方程的方程算出k的值.
【解答】解:
方程两边都乘(x﹣5),
得x﹣6+x﹣5=﹣k,
∵原方程有增根,
∴最简公分母(x﹣5)=0,
解得x=5,
当x=5时,k=1.
故选:
D.
【点评】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
12.已知关于x的不等式组
有五个整数解,m的取值范围是( )
A.﹣4≤m<﹣3B.﹣8≤m<﹣6C.4<m≤6D.4≤m<6
【分析】此题可先求解不等式组得到关于m的不等式解集,再根据整数解的个数确定m的取值范围.
【解答】解:
,
解①得:
x>
,
解②得:
x≤7,
则不等式组的解集是:
<x≤7.
不等式组有五个整数解,则一定是7,6,5,4,3,
则2≤
<3.
解得:
则4≤m<6,
故选:
D.
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:
同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
二.填空题(共10小题)
13.已知点P(x,y)位于第二象限,并且y≤2x+6,x、y为整数,则点P的个数是 6 .
【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x,y的取值范围,再根据y的取值范围求出x的整数解,进而可求出符合条件的y的值.
【解答】解:
∵点P(x,y)位于第二象限,∴x<0,y>0,
又∵y≤2x+6,∴2x+6>0,即x>﹣3,所以﹣3<x<0,x=﹣1或﹣2,
当x=﹣1时0<y≤4,y=1,2,3,4;
当x=﹣2时,y≤2,即y=1或2;
综上所述,点P为:
(﹣1,1),(﹣1,2)(﹣1,3),(﹣1,4),(﹣2,1),(﹣2,2)共6个点.
【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点,并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组,再根据解集求特殊值.
14.若不等式组
无解,则m的取值范围是 m<
.
【分析】先求出各个不等式的解集,因为不等式组无解,所以必须是大大小小找不到的情况,由此即可求出答案.
【解答】解:
解不等式组可得
,因为不等式组无解,所以m<
.
【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集,求不等式组中的字母的值,同样也是利用口诀求解.
注意:
当符号方向不同,数字相同时(如:
x>a,x<a),没有交集也是无解.
求不等式组解集的口诀:
同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).
15.敌我两军相距14千米,敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑,现我军以7千米/小时的速度追击 6 小时后可追上敌军.
【分析】设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军;等量关系为:
我军的路程=敌军路程+敌我两军相距14千米;可列出方程,解可得答案.
【解答】解:
设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军.
根据题意得:
7x=4(1+x)+14,
解得:
x=6.
【点评】注意追及问题中的等量关系,不要忘记加上原来相距的距离.
16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,若(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,则a的值为 ﹣4 .
【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,得出m+n=3,mn=a,整理(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,整体代入求得a的数值即可.
【解答】解:
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,
∴m+n=3,mn=a,
∵(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,
∴mn﹣(m+n)+1=﹣6
即a﹣3+1=﹣6
解得a=﹣4.
故答案为:
﹣4.
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣
,x1•x2=
.
17.已知x,y均为实数,且满足关系式x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,则
= ﹣
或2 .
【分析】当x=y时,容易求解;
当x≠y时,由关系式x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,可知x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根,由根与系数的关系,求出x+y与xy的值,再根据
=
,代入即可求值.
【解答】解:
当x≠y时,
∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,
∴x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根,
∴x+y=2,xy=﹣6,
∴
=
=
=﹣
.
当x,y的值相等时,原式=2.
故答案为:
﹣
或2.
【点评】本题容易忽视的情况是x,y可能是同一个值这一个情况.
18.若不等式组
无解,则m的取值范围是 m≥8 .
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分,可利用数轴进行求解.
【解答】解:
x<8在数轴上表示点8左边的部分,x>m表示点m右边的部分.当点m在8这点或这点的右边时,两个不等式没有公共部分,即不等式组无解.则m≥8.
故答案为:
m≥8.
【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值,利用数轴能直观的得到,易于理解.
19.一座桥长1200米,一列火车以每秒20米的速度通过这座桥,火车车身长300米,则火车从上桥到离开需要 75 秒.
【分析】从火车从上桥到离开的路程:
桥长+车身=1200+300=1500米,然后根据时间=路程÷速度列式可得结论.
【解答】解:
设火车从上桥到离开需要x秒,
则20x=1200+300,
x=75(秒),
则火车从上桥到离开需要75秒.
故答案为:
75.
【点评】本题考查一元一次方程的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的方程.
20.若实数a,b满足(a2+b2)(a2+b2﹣8)+16=0,则a2+b2= 4 .
【分析】把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使形式复杂的方程变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
【解答】解:
令a2+b2=x,则原方程可化为:
x(x﹣8)+16=0,
∴x2﹣8x+16=0,
即(x﹣4)2=0,
∴x﹣4=0,
解得x=4,
即a2+b2=4,
故答案为:
4.
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程,换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使复杂问题简单化,变得容易处理.
21.方程
=x﹣1的根为 4 .
【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围,将无理方程两边平方取消二次根号,整理得一元二次方程,解一元二次方程,将解代回x的取值范围验算即可得出答案.
【解答】解:
由二次根式性质得:
x+5≥0且x﹣1≥0,
∴x≥1.
将
=x﹣1两边平方得:
x+5=x2﹣2x+1,
整理得:
x2﹣3x﹣4=0,
分解因式:
(x﹣4)(x+1)=0,
得:
x1=4,x2=﹣1,
∵x≥1,
∴x=4.
故答案为:
4.
【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质,求解无理方程常用的方法是平方法,不过求出的解一定要带回无理方程进行验算,看是否符合二次根式的性质.
22.要使关于x的方程
有唯一的解,那么m≠ 3 .
【分析】根据解分式方程的一般步骤,可得方程的解,根据方程有唯一解,可得答案.
【解答】解:
方程两边都乘以(x﹣3),得
x﹣2(x﹣3)=m
x=6﹣m,
∵分式方程有唯一解,
6﹣m﹣3≠0,
m≠3,
故答案为:
3.
【点评】本题考查了分式方程的解,注意分式方程有解的条件是分母不能为零.
三.解答题(共6小题)
23.已知方程组
的解x、y满足x+y<1,且m为正数,求m的取值范围.
【分析】根据消元法,得出x、y的值,再根据x+y<1,且m为正数,可得答案.
【解答】解:
①×2﹣②,得3x=1+7m
x=
,
把x=
代入①得
+y=1+3m,
y=
,
∵x+y<1,
m
.
∵m>0,
∴0
.
【点评】本题考查了二元一次方程组的解,先求出二元一次方程组的解,再求出m的取值范围.
24.一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以8折(标价的80%)出售,结果获利28元,求这件夹克衫的成本是多少元?
【分析】设这件夹克的成本是x元,则标价就为1.5x元,售价就为1.5x×0.8元,由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可.
【解答】解:
设这件夹克的成本是x元,由题意,得
x(1+50%)×80%﹣x=28,
解得:
x=140.
答:
这件夹克的成本是140元.
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用,列一元一次方程解实际问题的运用,解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.
25.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=6m,AC=8m,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速运动,已知点P移动的速度是20cm/s,点Q移动的速度是10cm/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的
?
【分析】设运动时间为t秒,表示出PC、QC,再根据三角形的面积公式列出方程,然后根据一元二次方程的解法求解即可.
【解答】解:
设运动时间为t秒,则PC=8﹣0.2t,QC=6﹣0.1t,
由题意得,
(8﹣0.2t)(6﹣0.1t)=
×
×6×8,
整理得,t2﹣100t+900=0,
解得t1=10,t2=90(舍去),
答:
10秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的
.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,读懂题目信息,准确表示出PC、QC是解题的关键,注意单位要统一.
26.在解方程组
时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,而得解为
,乙看错了方程组中的b,而得解为
,根据上面的信息解答:
(1)甲把a看成了什么,乙把b看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解
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