北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案.docx
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北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案
初三数学二次函数的最值问题解析
例1.已知二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点,且函数有最大值是2,
(1)求:
二次函数图象的解析式
(2)设此二次函数图象的顶点为P,求:
△ABP的面积
分析:
与几何知识结合的函数问题,要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。
解:
(1)∵二次函数的图象与x轴交于点A(-2,0),B(3,0)
∴设解析式为
即
∴所求解析式为
另解:
∵图象过(-2,0),(3,0)
∴对称轴为
∴顶点为()
设,把代入即可
(2)∵,
AB边上的高即P到x轴的距离,为函数最大值2
∴
例2.如图,在矩形ABCD中,BD=20,AD>AB,设∠ABD=α,已知sinα是方程的一个实数根,点E、F分别是BC、DC上的点,EC+CF=8,设BE=x,△AEF的面积等于y
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当E、F两点在什么位置时,y有最小值?
并求出最小值
解:
(1)解方程可得
∵
在Rt△ABD中,AD=BD·sinα
∴
设BE为x,则有,
∵
∴
(2)
∴当时,y有最小值是46
故当BE=10,CF=2时,y有最小值是46
例3.如图,△ABC中,BC=4,∠B=45°,,M、N分别是AB、AC上的点,MN∥BC,设MN为x,△MNC的面积为S。
(1)求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)是否存在平行线段MN,使△MNC的面积等于2,若存在,求出MN的长;若不存在,请说明理由。
解:
(1)过点A作AD⊥BC,垂足为D,
则有
设△MNC的MN上的高为h
∵MN∥BC
∴
∴
(2)若存在这样的平行线段MN,使则方程必有实数解,即方程必有实数解,但该方程的判别式
,说明它没有实解,矛盾,所以不存在这样的平行线段MN,使
例4.某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商场决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数。
(1)试求y与x之间的关系式
(2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?
每月的最大利润是多少元?
解:
(1)设,依题意,得
解得:
∴
(2)设月利润为w,则
∵,∴w有最大值。
当时,w最大,最大利润为1920元。
例5.心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式:
(1)讲课开始后,第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?
能持续多少分钟?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
解:
(1)当时,,当时,
∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中
(2)当时,,该图像的对称轴为,在对称轴左侧,y随t的增大而增大,所以,当时,y有最大值240,当时,,y随t的增大而减小,所以,当时,y有最大值240
所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟
(3)当时,令
∴
当时,令,∴
所以,学生注意力在180以上的持续时间为(分钟)
所以,老师可经过适当安排,能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。
例6.已知,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧,
,求:
此抛物线的解析式。
解:
(1)当A、B两点在原点同侧时,如图1
图1
∵,
∵C(0,4),∴OC=4,∴OB=1
∴B(-1,0)
∵
∴A(-5,0)
设二次函数解析式,由于抛物线过点C
∴
∴,
即二次函数解析式
(2)当A、B两点在原点异侧时,如图2
图2
∵
又∵C(0,4),∴OC=4,OB=1,∴B(1,0)
由
即AB=4,∴A(-3,0)
设二次函数解析式为,由于抛物线过点C
∴
∴
即二次函数解析式为
例7已知一次函数
(1)根据表中给出的x值,计算对应的函数值,并填在表格中:
(2)观察第
(1)问表中有关数据,证明如下结论:
在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值均成立。
(3)试问:
是否存在二次函数,其图象经过点(-5,2),且在实数范围内,对于同一个值,这三个函数所对应的函数值均成立,若存在,求出函数的解析式,若不存在,请说明理由。
解:
(1)
(2)证明:
∵
∴当自变量x取任意实数时,均成立。
(3)由经过(-5,2),得①
∵
依题意,有②
由①、②可得
∴
恒大于0,
则满足:
令恒大于0,则:
满足
综上,可得
∴解析式为
例8已知二次函数的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P
(1)求这个二次函数的解析式
(2)设D为线段OC上一点,满足∠DPC=∠BAC,求:
点D的坐标
(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?
如果存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由。
解:
(1)将A(-3,6),B(-1,0)代入
得
(2)过A作AE⊥x轴,垂足为E,
设抛物线的对称轴交x轴于F,
则△AEC、△CFP均为等腰直角三角形
则∠EAC=∠FPC
∵∠DPC=∠BAC,∴∠EAB=∠FPD
∴△AEB∽△PFD
∴,易求
∴
∴
(3)存在:
①过M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心
∴MG=MH=ON,∵,且OM+MC=OC
∴,得,∴
②在x轴的负半轴上,存在一点M',
同理:
得
∴,即在x轴上存在满足条件的两个点。
【模拟试题】
一、填空题:
(1)抛物线的顶点坐标是_____________
(2)抛物线的对称轴是_____________,有最________值是__________
(3)有一个抛物线形桥拱,有最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中(如图1所示),则此抛物线的解析式为__________________________
图1
(4)二次函数的图象如图2所示,则函数值时,对应x的取值范围是_____________
图2
(5)已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则C点的坐标为_____________________
(6)已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-2和6,图象与y轴交点到原点的距离是3,则这个二次函数是__________________________
(7)把配方成的形式是__________________
(8)抛物线与x轴只有一个交点,则m为___________
二、选择题:
(1)二次函数的图象如图3所示,则下列结论正确的是()
图3
A.
B.
C.
D.
(2)二次函数的图象与一次函数,它们在同一直角坐标系中的图象可能是()
图4
(3)把抛物线的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是,则有()
A.B.
C.D.
三、解答题:
(1)已知二次函数的图象过点(0,5)
①求m的值,并写出二次函数的解析式
②求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值
(2)抛物线经过点P(4,5),与x轴交于A(,0),B(,0)两点,
①求抛物线的解析式
②在抛物线上是否存在点Q,使得△PAQ和△PBQ的面积相等?
若存在,求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由
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- 二次函数最值问题 北师大 初中 数学 九年级 下册 二次 函数 问题